劉 怡，陳玲萍

(湖南工程學(xué)院，湖南 湘潭 411100)

0 引言

一般而言，S-N曲線在對(duì)數(shù)形式下通常表現(xiàn)為三級(jí)線性關(guān)系，分別是低周疲勞線性區(qū)域、高周疲勞線性區(qū)域和無限疲勞壽命線性區(qū)域。前兩者在S-N曲線上表現(xiàn)為斜線段，后者在S-N曲線上表現(xiàn)為水平線段。

對(duì)于某型直升機(jī)主減速器分扭構(gòu)型圓柱齒輪而言，其接觸疲勞壽命特性也可以用S-N曲線來描述。通常而言，其表達(dá)形式有如下3種：

1)Stromeyer方程

(1)

式中：S為交變載荷；S∞為材料的疲勞極限；Sa為應(yīng)力幅；N為疲勞壽命；A和α為疲勞曲線的形狀參數(shù)。

2)冪函數(shù)形式

(2)

式中：m和C為疲勞曲線的形狀參數(shù)。

3)三參數(shù)對(duì)數(shù)形式

lgN=C-mlg(S-S∞)

(3)

在公式(1)-公式(3)中，{A，α，S∞}，{m，C}，{m，C，S∞}均為疲勞曲線的形狀參數(shù)，由材料原件或結(jié)構(gòu)件的疲勞試驗(yàn)獲得。

在以上各類型表達(dá)方式之中，本文選用冪函數(shù)的對(duì)數(shù)形式的表達(dá)式，即對(duì)公式(2)進(jìn)行對(duì)數(shù)變換，可以得到：

lgN=lgC-mlgSa

(4)

式(4)可以看成兩元一次的線性關(guān)系表達(dá)式，因此選用該表達(dá)式來描述某型直升機(jī)主減速器分扭構(gòu)型圓柱齒輪的疲勞特性，具有兩方面的優(yōu)點(diǎn)：一是由于作為兩參數(shù)的表達(dá)形式，在結(jié)構(gòu)上比三參數(shù)的表達(dá)形式更為精簡(jiǎn)；二是由于作為兩元一次線性方程的表達(dá)形式，便于后期針對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合處理。

可以看到，一旦確定了齒輪的接觸疲勞S-N曲線，并且得到了某工況下的齒輪接觸應(yīng)力幅值，我們即可依據(jù)該確定的S-N曲線得到該齒輪在該工況下的疲勞壽命。齒輪的接觸疲勞S-N曲線可以通過試驗(yàn)的方法得到，本文中不加以展開，于是重點(diǎn)工作就轉(zhuǎn)變成齒輪接觸應(yīng)力幅值的求解。

傳統(tǒng)的齒輪接觸應(yīng)力幅值通常取交變循環(huán)載荷作用下接觸應(yīng)力的平均值，與之相比不同的是，本文將齒輪接觸應(yīng)力幅值用最大接觸應(yīng)力值來代替。這種替換方法與傳統(tǒng)方法相比較為保守，但對(duì)于嚴(yán)苛的直升機(jī)主減速器的可靠性要求，具有較高的保證。因而更適用于直升機(jī)主減速器中齒輪的疲勞壽命分析。

分扭構(gòu)型圓柱齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)廣泛存在于帶有雙發(fā)動(dòng)機(jī)的軍用直升機(jī)主減速器中，其目的是為了適應(yīng)具有高轉(zhuǎn)速、重載荷和多工況綜合作用下的直升機(jī)主減速器的工作環(huán)境，提高各部件的可靠性。基于這種特點(diǎn)，有必要對(duì)其最重要的二、三級(jí)傳動(dòng)鏈的齒輪(分扭級(jí)直齒輪和并車級(jí)人字齒輪)進(jìn)行疲勞強(qiáng)度的校核和疲勞壽命的分析。對(duì)于齒輪的疲勞壽命關(guān)聯(lián)性因素，齒輪的應(yīng)力分析最能反映齒輪的壽命狀態(tài)。有限元法是一種計(jì)算復(fù)雜力學(xué)模型的有效方法，由于ABAQUS適合解決非線性接觸問題，故本文選用ABAQUS對(duì)直齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)和人字齒傳動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行最大接觸應(yīng)力的有限元分析，從而給出了一種利用軟件求解最大接觸應(yīng)力和最大彎曲應(yīng)力的方法，為后續(xù)對(duì)齒輪進(jìn)行疲勞壽命預(yù)測(cè)提供依據(jù)。

1 有限元分析

1.1 原理闡述

根據(jù)動(dòng)量守恒原理(靜態(tài)問題)，連續(xù)介質(zhì)在接觸力學(xué)的表現(xiàn)可以得到以下控制方程：

σij+bi=ρa(bǔ)i

(5)

其中，σij是應(yīng)力張量，bi是體積力張量，ρ是密度，ai是加速度。由公式(1)可以看出，應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系和應(yīng)變-位移關(guān)系對(duì)于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的研究是非常有必要的。針對(duì)接觸問題，根據(jù)其運(yùn)動(dòng)學(xué)條件和動(dòng)力學(xué)條件，考慮位移、應(yīng)力、應(yīng)變等參數(shù)，可以得到以下約束方程：

g(X)=0，X∈Γc

(6)

(7)

(8)

其中，Γc是發(fā)生接觸的邊界條件，g(X)是點(diǎn)集X在這兩個(gè)幾何體之間的距離，t是接觸力，n是外法線向量。公式(6)表示的是兩接觸實(shí)體接觸區(qū)域之間不存在縫隙，公式(7)表示的是兩接觸體之間的法向接觸力只能是壓力，公式(8)表示的是切向力與接觸力之間的表達(dá)關(guān)系。

在有限元方法中，處理接觸問題主要有兩種計(jì)算方法：變分等式方法和變分不等式方法。以位移張量u為自變量，則變分不等式可表示為：

B(u，v)+J(u，w)-J(u，u)≥f(w-u)

(9)

其中，B(u，v)、J(u，v)以及f(v)的表達(dá)式分別如下所示，

(10)

(11)

(12)

在以上計(jì)算公式中，σij為應(yīng)力張量，εij為應(yīng)變張量，bi為體積力張量，ti為接觸力張量，Ω為兩接觸體所占體積，Γt為位移施加的邊界，Γc為載荷施加的邊界。并且，u和w要滿足以下兩個(gè)條件：

a)u=w=0，位于Γt邊界上；

b)nw-g≤0，位于Γc邊界上。

變分等式的方法一般被廣大的商業(yè)軟件包所廣泛采用，其表達(dá)式為：

(13)

其中：上標(biāo)t和0分別表示的是時(shí)間變量為t時(shí)刻和初始時(shí)刻。文中對(duì)應(yīng)力指標(biāo)的分析，選用ABAQUS有限元分析軟件，計(jì)算方法選擇變分等式進(jìn)行數(shù)值解析。

由于有限元法的應(yīng)用范圍很廣，可以計(jì)算更復(fù)雜的問題，如沖擊和斷裂等，所以選擇有效的算法來計(jì)算接觸分析就顯得尤為重要。對(duì)于復(fù)雜的問題，預(yù)測(cè)何時(shí)何地發(fā)生接觸是非常困難和繁瑣的任務(wù)。有時(shí)候，兩實(shí)體已經(jīng)發(fā)生了接觸。而有時(shí)，在當(dāng)前步驟或者更遠(yuǎn)的下一步會(huì)發(fā)生接觸，所以接觸的狀態(tài)不能提前預(yù)知。在有限元中，對(duì)于接觸的分析可以通過將其描述成為求解接觸區(qū)域內(nèi)的位移場(chǎng)，從而在接觸邊界條件的約束下，將系統(tǒng)勢(shì)能達(dá)到最小值。邊界條件的約束算法常用的是：拉格朗日乘子法和罰函數(shù)法。

拉格朗日乘子法的系統(tǒng)矩陣的表達(dá)式為：

(14)

其中，*K為剛度矩陣，tFc為拉格朗日的乘子向量-未知接觸力向量，U為節(jié)點(diǎn)位移的向量，Q為在接觸面的約束矩陣，*R為在節(jié)點(diǎn)接觸部位的載荷向量，τP為節(jié)點(diǎn)外載荷向量。

罰函數(shù)法的原理是將接觸非線性問題轉(zhuǎn)化為材料非線性問題。其表達(dá)公式為：

(*K+Kα)U=*R-τPa

(15)

其中，*K是由懲罰參數(shù)得到的，而τPa由間隙函數(shù)得到的。此時(shí)如果兩實(shí)體相互接觸，抗力會(huì)阻止它們的邊界進(jìn)行相互滲透。

在拉格朗日乘子法中，拉格朗日乘數(shù)為了滿足運(yùn)動(dòng)條件而產(chǎn)生一種抗力。而罰函數(shù)法中，懲罰參數(shù)就像一個(gè)彈簧的加入，以此來抵抗兩實(shí)體進(jìn)行接觸。拉格朗日乘子法更準(zhǔn)確，但總體剛度矩陣的大小有明顯的增大。收斂的刑罰方法的精度則取決于所選的懲罰參數(shù)。如果參數(shù)太大，由于系統(tǒng)矩陣是病態(tài)的，計(jì)算結(jié)果可能會(huì)偏離正確值。但是如果太小，接觸對(duì)可能會(huì)出現(xiàn)不合理的滲透。在實(shí)際分析中，導(dǎo)致非線性的原因是不同的，因此求解接觸問題時(shí)需根據(jù)不同的工況進(jìn)行選擇。本文為了盡可能準(zhǔn)確的計(jì)算出接觸應(yīng)力和主應(yīng)力的分布情況和大小，因此在計(jì)算過程中主要采用拉格朗日乘子法。

1.2 分扭級(jí)和并車級(jí)齒輪幾何建模

對(duì)齒輪接觸分析的第一步就是對(duì)其進(jìn)行幾何建模，一般的有限元軟件能建立簡(jiǎn)單的幾何模型，由于齒輪結(jié)構(gòu)的幾何形狀較為復(fù)雜，建模時(shí)參數(shù)流程設(shè)計(jì)較為繁雜，且容易出錯(cuò)，因此考慮采用常用的三維軟件SolidWorks對(duì)分扭級(jí)和并車級(jí)齒輪進(jìn)行幾何建模。其中關(guān)于SolidWorks開發(fā)Geartrax插件能用于精確齒輪的自動(dòng)設(shè)計(jì)和齒輪副的設(shè)計(jì)，能對(duì)直齒輪、斜齒輪、錐齒輪、鏈輪蝸輪蝸桿、帶輪進(jìn)行設(shè)計(jì)。Geartrax直齒輪生成插件如圖1所示。

對(duì)于漸開線圓柱齒輪幾何建模，只需在Geartrax插件中輸入齒輪對(duì)的模數(shù)、齒數(shù)、齒數(shù)比、齒寬等就能在SolidWorks中分別生成大小齒輪。并在SolidWorks中將生成的齒輪裝配，圖2為兩級(jí)傳動(dòng)系統(tǒng)單獨(dú)拆分出來的示意圖，圖3、圖4分別為分扭直齒輪幾何模型和并車人字齒幾何模型。

在ABAQUS中直接導(dǎo)入已建立好的齒輪模型，并設(shè)置相應(yīng)的材料參數(shù)。本文所用分扭級(jí)和并車級(jí)的齒輪材料均為9310鋼，其基本力學(xué)性能如表1所示。

表1 齒輪材料的基本力學(xué)性能

對(duì)于分扭級(jí)傳動(dòng)系統(tǒng)(直齒輪)可以直接在ABAQUS中通過六線法[1]對(duì)單齒進(jìn)行切分后直接劃分出結(jié)構(gòu)化的網(wǎng)格模型，然后通過陣列得到全齒的模型。由于大輪輪齒較多，為了簡(jiǎn)化計(jì)算過程，本文對(duì)大輪只選用部分齒(兩個(gè)大輪各選用9齒)進(jìn)行計(jì)算。推算出的有限元模型見圖5、圖6，有限元單元?jiǎng)澐殖?節(jié)六面體的網(wǎng)格單元。其中共包含單元總數(shù)1035264個(gè)，節(jié)點(diǎn)總數(shù)1182236個(gè)。

Litvin等做過很多關(guān)于齒輪接觸分析的研究[2-5]，其所用的齒輪接觸分析大多為三齒或者五齒模型，因此上述采用部分齒來代替全齒進(jìn)行接觸分析的方法是可行的。

在要分析的存在接觸的輪齒之間通過拉格朗日乘子法建立接觸關(guān)系。以齒輪的中心點(diǎn)作為模型建立的參考點(diǎn)，并在參考點(diǎn)上對(duì)應(yīng)點(diǎn)位設(shè)計(jì)新的坐標(biāo)系。結(jié)合齒輪內(nèi)圈點(diǎn)位的布局情況，構(gòu)建齒輪內(nèi)圈相關(guān)的耦合約束模型。非完整齒輪的兩側(cè)面也應(yīng)與參考點(diǎn)一起進(jìn)行耦合。選取各參考點(diǎn)上的坐標(biāo)系作為相應(yīng)耦合約束中的坐標(biāo)系。

1.3 邊界條件的設(shè)定

為確保齒輪在初始設(shè)定值呈收斂特征，文中對(duì)于設(shè)計(jì)的兩種模型，分成4個(gè)分析步驟對(duì)齒輪系統(tǒng)的接觸程度進(jìn)行分析。

(1)分扭級(jí)傳動(dòng)系統(tǒng)的邊界條件

分扭級(jí)由一個(gè)小輪和兩個(gè)大輪組成，在有限元分析時(shí)通過給小輪施加轉(zhuǎn)角，大輪施加扭矩的方式進(jìn)行分析。

分析步1：在齒面接觸部位存在齒輪間隙處，作為齒輪運(yùn)轉(zhuǎn)的初始值，通過對(duì)大齒輪施加較小的轉(zhuǎn)動(dòng)作用力，而此時(shí)小齒輪加固定邊界條件，這樣兩個(gè)齒輪才能夠完全接觸，降低齒輪的間隙，實(shí)現(xiàn)在初始狀態(tài)下齒輪迭代收斂。

分析步2：保持小輪固定約束，釋放大輪參考節(jié)點(diǎn)上的旋轉(zhuǎn)位移約束，給兩個(gè)大輪施加初始扭矩，但該扭矩值不宜過大。

分析步3：將小齒輪的邊界條件進(jìn)行固定，增加大齒輪的負(fù)載扭矩力，使其達(dá)到設(shè)定值的50%。

分析步4：保持大輪的扭矩值和邊界條件不變，釋放小輪的旋轉(zhuǎn)自由度，將小齒輪沿著旋轉(zhuǎn)軸繞自身旋轉(zhuǎn)至設(shè)計(jì)的角度，從而能夠模擬小齒輪與接觸面的齒合作用，降低大齒輪負(fù)載扭矩過高帶動(dòng)齒輪運(yùn)轉(zhuǎn)的工況值[6]。

(2)并車級(jí)傳動(dòng)系統(tǒng)的邊界條件

由于并車級(jí)是一個(gè)大輪和兩個(gè)小輪組成的系統(tǒng)，因此在對(duì)其進(jìn)行有限元分析時(shí)載荷和邊界條件的施加方式與分扭級(jí)存在一定的差別，各分析步的具體施加方式如下：

分析步1：在齒面接觸部位存在齒輪間隙處，作為齒輪運(yùn)轉(zhuǎn)的初始值，通過對(duì)小齒輪自由轉(zhuǎn)度上施加較小的作用力，而此時(shí)大齒輪加固定邊界條件。

分析步2：將大齒輪按固定條件進(jìn)行約束，釋放小齒輪在參考點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)位移約束，并對(duì)小齒輪增加初始扭矩值，但扭矩值的選取不能過高。

分析步3：將大齒輪持續(xù)固定約束，調(diào)整小齒輪的負(fù)載扭矩值，使得該扭矩值達(dá)到設(shè)定的最高額定值。

分析步4：設(shè)定小齒輪的扭矩值、邊界條件恒定狀態(tài)，調(diào)整大齒輪的旋轉(zhuǎn)自由度，將齒輪沿著模型的軸線部位旋轉(zhuǎn)，從而能夠模擬大齒輪與接觸面的齒合作用，降低大齒輪負(fù)載扭矩過高帶動(dòng)齒輪運(yùn)轉(zhuǎn)的工況值。

2 分析與總結(jié)

待ABAQUS完成上述分析后，在ABAQUS后處理中可以直接讀取得到分扭級(jí)和并車級(jí)的最大接觸應(yīng)力和最大彎曲應(yīng)力的變化情況。有限元方法對(duì)模型的接觸應(yīng)力分布，解析后的結(jié)果見圖7、圖8。

根據(jù)有限元分析結(jié)果可知，分扭級(jí)的重合度小于2，并車級(jí)的重合度小于3。因此，分扭級(jí)從第二齒進(jìn)入嚙合時(shí)刻開始分析(在3.11時(shí)刻第二次進(jìn)入嚙合)，且由于分扭級(jí)的網(wǎng)格劃分的較密，計(jì)算量大，最終只計(jì)算到3.7時(shí)刻時(shí)即終止計(jì)算。從上述圖形可知，該計(jì)算結(jié)果中包含兩對(duì)完整的輪齒的接觸過程，已能說明分扭級(jí)的齒根彎曲應(yīng)力和接觸應(yīng)力的變化情況。并車級(jí)從第三齒進(jìn)入嚙合的時(shí)刻開始分析(在3.23時(shí)刻第三齒進(jìn)入嚙合)，由于并車級(jí)重合度較高，讓其計(jì)算到4.0時(shí)刻后再退出有限元計(jì)算。

結(jié)合上述邊界條件可知，分扭級(jí)時(shí)小輪施加轉(zhuǎn)角，相當(dāng)于小輪作主動(dòng)輪，輪齒從齒根嚙合到齒頂，所以在單齒嚙合區(qū)其彎曲應(yīng)力逐漸增大。同理，分扭級(jí)大輪在單齒嚙合區(qū)彎曲應(yīng)力逐漸減小。圖6的分析結(jié)果與上述結(jié)論完全一致，由此也可說明整個(gè)分析過程是正確的。

由圖7和圖8可知，兩種情況下小輪的齒根彎曲應(yīng)力要大于大輪，在分扭級(jí)大小輪的接觸應(yīng)力差別不大且兩個(gè)大輪的接觸應(yīng)力和彎曲應(yīng)力基本一致。并車級(jí)大輪的接觸應(yīng)力大于小輪且兩個(gè)小輪的接觸應(yīng)力和彎曲應(yīng)力基本一致。齒輪在基礎(chǔ)部位的疲勞值，在文中選取應(yīng)力達(dá)到最大值的疲勞狀態(tài)進(jìn)行計(jì)算。

根據(jù)圖7和圖8可知分扭級(jí)和并車級(jí)的最大接觸應(yīng)力和齒根位置的最大主應(yīng)力與通過AGMA和HB標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算給出的結(jié)果比較如表2所示。

由表2可知，有限元分析結(jié)果和理論結(jié)果基本一致。但是并車級(jí)的接觸應(yīng)力與理論值偏差較大。主要是因?yàn)樵搶?duì)齒輪存在一定的邊緣接觸(如圖9(b)所示)。

在ABAQUS中可以觀察到兩種情況下不同時(shí)刻小輪上的接觸應(yīng)力和齒根應(yīng)力的分布情況，分別如圖9、圖10所示。

由圖9(a)可以看出，分扭級(jí)齒輪系統(tǒng)在工作時(shí)齒寬方向的接觸較為均勻。由圖9(b)可知，并車級(jí)齒輪在嚙合過程中靠近輪齒端面和齒頂?shù)牡胤骄嬖谝欢ǖ倪吘壗佑|。由于邊緣接觸易引起應(yīng)力集中(圖9(b))，從而大大影響輪齒的接觸疲勞壽命，因此這種現(xiàn)象應(yīng)盡量避免。在工程中常通過修形的方法來避免邊緣接觸。

通過上述分析可知，本文選用ABAQUS對(duì)直齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)和人字齒傳動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行最大接觸應(yīng)力的有限元分析，計(jì)算得到了兩種傳動(dòng)系統(tǒng)在嚙合過程中的最大接觸應(yīng)力和最大彎曲應(yīng)力的變化情況。后續(xù)可以根據(jù)得到的接觸應(yīng)力和彎曲應(yīng)力與S-N曲線進(jìn)行計(jì)算從而對(duì)齒輪進(jìn)行疲勞壽命預(yù)測(cè)。