江蘇睢寧縣雙溝鎮(zhèn)中心小學(xué)（221212）歐慧敏

“倍量關(guān)系”問題在小學(xué)數(shù)學(xué)中高年級(jí)的練習(xí)中經(jīng)常出現(xiàn)。雖然它的結(jié)構(gòu)不算復(fù)雜，思考難度也不是很大，但是面對(duì)不同的問題描述時(shí)，學(xué)生卻難以順利地進(jìn)行解答，甚至很多學(xué)生覺得解決這類問題極其困難，無從下手。因此，要想學(xué)生更好地理解“倍量關(guān)系”問題，積累相應(yīng)的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，構(gòu)建解決這類問題的數(shù)學(xué)模型，教師就要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)整體把握問題的方法，形成有效的整體感知，從而讓思考更有針對(duì)性，讓問題研究方向更明確，最終解決問題，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維向更深處漫溯。

教學(xué)過程

多媒體出示題目：如果把3杯果汁倒入一個(gè)玻璃壺中，連壺一起稱重是580克；如果把5杯果汁倒入一個(gè)玻璃壺中，連壺一起稱重是820克。問：這個(gè)玻璃壺重多少克？一杯果汁有多少克？

（題目一出示，課堂頓時(shí)沸騰起來）

生1：老師，這道題是不是出錯(cuò)了，一會(huì)兒果汁，一會(huì)兒玻璃壺的，兩個(gè)問題好解答嗎？

生2：這道題中有兩個(gè)不同的問題，還真是不好解決??！

……

（教師沒有應(yīng)答，而是采取觀望的態(tài)度。課堂頓時(shí)安靜下來，有的學(xué)生與同伴交流，有的學(xué)生皺眉沉思，有的學(xué)生在本子上寫寫畫畫……學(xué)生都在積極地尋找解決問題的方法）

師：老師發(fā)現(xiàn)有部分同學(xué)在畫圖思考，你們的研究有突破嗎？

生3：我也試著畫圖，但是感覺難以畫清楚，因?yàn)榧纫嫴Ａ?，又要畫果汁?/p>

師：是個(gè)難題??！大家一起來開動(dòng)腦筋，想辦法克服這個(gè)困難。

（學(xué)生再次進(jìn)行思考和討論，這次畫圖的學(xué)生明顯增多）

生4：我們小組用一個(gè)長方形代表玻璃壺，這樣就可以往里面倒果汁了。（出示右圖）倒入3杯果汁，就在長方形內(nèi)畫出相同的3個(gè)小長方形；倒入5杯果汁，就在長方形內(nèi)畫出相同的5個(gè)小長方形。不過，只能畫出圖來，還是沒有找到問題的解決方法。

生5：我們小組也是采取畫圖的方法，不過和你們畫的圖不一樣。（出示右圖）我們先把玻璃壺畫成一個(gè)圓，然后在它的右邊畫出3個(gè)相同的長方形；再同樣畫一個(gè)玻璃壺，在它的右邊畫出5個(gè)相同的長方形。這時(shí)我們發(fā)現(xiàn)玻璃壺是一樣的，它在每一次的稱重中都是固定不變的。第一次倒3杯果汁，總重量是580克；第二次倒5杯果汁，總重量是820克。如果把玻璃壺和3杯果汁的部分都去掉，第二次就多出2杯果汁，而重量也就是多出的部分，即820-580=240（克），這240克不就是2杯果汁的重量嗎？這樣一杯果汁就有240÷2=120（克）。

生6：我有點(diǎn)明白了。就是把前后兩次相同的玻璃壺、3杯果汁看成同樣多的部分，那第二次多出的2杯果汁就對(duì)應(yīng)著原來的重量差，即820-580=240（克），那么一杯果汁就是240÷2=120（克）。

生7：從圖中可知，就是把相同的部分去掉，多出來的2杯果汁就是總重量的差，即240克，那么一杯果汁就是120克。這還真奇妙！通過畫圖，問題解決起來就容易多了。

師：通過分析圖，很容易看出其中的數(shù)量關(guān)系，所以我們要多學(xué)著用畫圖的策略解決問題。其實(shí)，第一位同學(xué)的畫圖也是可以的，只不過理解起來有難度，大家再想想就會(huì)有新的思路了。

生8：是的！第一位同學(xué)畫的圖可以先想出來再分析，即580克=玻璃壺+3杯果汁，820克=玻璃壺+5杯果汁，從中就能發(fā)現(xiàn)規(guī)律了。

生9：你的分析和語言表達(dá)非常好。我感覺到用文字來思考也很方便。玻璃壺+3杯果汁=580（克），玻璃壺+5杯果汁=820（克），這樣就會(huì)發(fā)現(xiàn)820-580=240（克），實(shí)際上就是2杯果汁的重量，即一杯果汁的重量是120克。

……

師：今天大家研究問題很積極，思考也很有見地。那么，你們有些什么收獲？

生10：我感覺畫出一個(gè)合適的示意圖，對(duì)研究問題很有幫助。

生11：將畫圖與文字表達(dá)結(jié)合起來，也會(huì)讓問題研究容易些。

師：不錯(cuò)！畫圖雖然是很好的解決問題的策略，但我們還得把它與數(shù)量關(guān)系對(duì)應(yīng)起來，這樣研究問題的效率會(huì)大大提高哦！

……

實(shí)踐反思

從上述教學(xué)案例可以看出，教師給予學(xué)生探究的自由與時(shí)空，他們可以充分地發(fā)揮自己的聰明才智，運(yùn)用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)去分析問題、解決問題，靈動(dòng)地展示自己的學(xué)習(xí)個(gè)性。同樣，這樣的學(xué)習(xí)歷程也是學(xué)生自我判斷、自我反思的過程，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)能力的發(fā)展、數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升大有裨益，也是極具深遠(yuǎn)意義的。

1.相信學(xué)生能行

現(xiàn)代教育學(xué)和心理學(xué)研究表明：信任是深度交往的前提。同理，教師相信學(xué)生能行，則是學(xué)生學(xué)習(xí)的動(dòng)力之源，更是他們樹立美好愿景的力量之源。

基于此，在“倍量關(guān)系”問題教學(xué)中，教師始終把學(xué)生置于探究的最前沿，引導(dǎo)他們嘗試、探討和質(zhì)疑，使他們不斷迸發(fā)思維的火花，展現(xiàn)自己的聰明才智。教師則退居“二線”，在必要的時(shí)候給予學(xué)生指導(dǎo)與幫助，從而保證學(xué)生探究的方向不發(fā)生偏移，使學(xué)生的注意力和興趣始終聚焦于問題的研究之中。

回顧整個(gè)教學(xué)過程，出現(xiàn)多次師生對(duì)話，從中不難看出，教師真正把問題探究的主動(dòng)權(quán)交給了學(xué)生，并給予學(xué)生充分的信任。如“老師發(fā)現(xiàn)有部分同學(xué)在畫圖思考，你們的研究有突破嗎”，這是教師的第一次引導(dǎo)，目的非常明確，就是引導(dǎo)學(xué)生把注意力集中到畫圖策略的運(yùn)用上，避免學(xué)生空想、胡亂猜測等無目的學(xué)習(xí)行為發(fā)生，從而提高教學(xué)的有效性，為打造高效課堂服務(wù)。又如，“其實(shí)，第一位同學(xué)的畫圖也是可以的，只不過理解起來有難度，大家再想想就會(huì)有新的思路了”，教師提示學(xué)生研究問題的方法有很多，雖然方法有差異，但不是一無是處的，可能不太認(rèn)可的方法反而閃現(xiàn)著智慧的光芒。正因?yàn)榻處煹目隙ê驼J(rèn)可，學(xué)生的思維不斷發(fā)生碰撞，想到了將圖意用等量關(guān)系式表達(dá)出來，這樣的表示更加凸顯問題的本質(zhì)，能夠提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，也讓他們的學(xué)習(xí)個(gè)性得到充分彰顯。也許，這就是信任的魅力所在，也是信任的力量所在。

2.鼓勵(lì)特立獨(dú)行

特立獨(dú)行不是指學(xué)習(xí)的另類，而是學(xué)習(xí)個(gè)性的彰顯。因此，在組織學(xué)生探究時(shí)，教師要鼓勵(lì)學(xué)生大膽思考，從不同的方向、不同的角度去分析與解決問題，實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)的突破。首先，營造寬松自由的氛圍，讓質(zhì)疑成為點(diǎn)燃思維的導(dǎo)火索。課堂上，教師沒有把學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)局限在一個(gè)范圍內(nèi)，而是讓他們盡其所思、想其所想，助推學(xué)生的思維發(fā)生碰撞，激發(fā)學(xué)生的靈感。于是，就有學(xué)生大膽質(zhì)疑：“老師，這道題是不是出錯(cuò)了，一會(huì)兒果汁，一會(huì)兒玻璃壺的，兩個(gè)問題好解答嗎？”這時(shí)，就會(huì)有更多的學(xué)生敢于發(fā)表自己的觀點(diǎn)，如“這道題中有兩個(gè)不同的問題，還真是不好解決啊”等。質(zhì)疑和困惑有時(shí)并不是學(xué)習(xí)的真正難點(diǎn)，學(xué)習(xí)的真正難點(diǎn)是沒有思路，沒有點(diǎn)燃思維的星星之火，而質(zhì)疑恰好是點(diǎn)燃星星之火的火種。其次，創(chuàng)設(shè)適宜的探究情境，促使學(xué)生迸發(fā)出思維的火花。如上述教學(xué)中，學(xué)生產(chǎn)生疑惑，這是最需要點(diǎn)撥的時(shí)候。教師根據(jù)學(xué)生的表現(xiàn)，問道：“老師發(fā)現(xiàn)有部分同學(xué)在畫圖思考，你們的研究有突破嗎？”這看似是對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)進(jìn)展的詢問，實(shí)質(zhì)上是給予學(xué)生更多的啟迪，讓他們意識(shí)到畫圖策略是一種不錯(cuò)的選擇，如此才有了后續(xù)教學(xué)中的那份精彩與絢麗。

當(dāng)然，這期間并非一帆風(fēng)順的，有些學(xué)生還是不知從何處下手解題。如有學(xué)生發(fā)出這樣的感慨：“我也試著畫圖，但是感覺難以畫清楚，因?yàn)榧纫嫴Ａ?，又要畫果汁?！边@樣教學(xué)既讓學(xué)生意識(shí)到用畫圖策略解決問題并非萬能的，甚至效果是不明顯的，又能激發(fā)學(xué)生的探究意識(shí)：“老師都認(rèn)可的畫圖策略，為什么你會(huì)這樣說呢？我偏不信這個(gè)邪，我要通過畫圖好好地研究這道題?！币苍S，這就是學(xué)生繼續(xù)畫圖思考、繼續(xù)進(jìn)行小組交流的動(dòng)力所在吧！

3.不斷引導(dǎo)反思

反思對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)大有裨益，正因?yàn)閷W(xué)生對(duì)問題不斷反思，才會(huì)從中獲得啟發(fā)，找到問題解決的關(guān)鍵，迸發(fā)出研究、分析問題的靈感。在不同的思維碰撞中，學(xué)生對(duì)畫圖策略的運(yùn)用會(huì)更加熟練，會(huì)逐步掌握解決問題的要領(lǐng)。如課堂上第一批學(xué)生呈現(xiàn)的示意圖，圖意清晰，給人一目了然的感覺，盡管他們難以清楚地闡述其中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，但對(duì)于其他學(xué)生的思考有很大的促進(jìn)作用。緊接著，第二批學(xué)生呈現(xiàn)示意圖，他們不僅改變了原先的圖示，而且對(duì)各種數(shù)量關(guān)系的表述也更加清晰、有條理，他們對(duì)圖示的解讀就成為解決問題的關(guān)鍵。如“這時(shí)我們發(fā)現(xiàn)玻璃壺是一樣的，它在每一次的稱重中都是固定不變的……”這樣的解讀，不僅是打開思維困局的“金鑰匙”，更是點(diǎn)燃思維的星星之火。因此，我們看到了可喜的一幕：學(xué)生不僅自己能把這道“倍量關(guān)系”題解讀得非常清晰，而且可以給其他學(xué)生的學(xué)習(xí)提供思維指引，從而出現(xiàn)了更多精辟的分析，如“從圖中可知，就是把相同的部分去掉，多出來的2杯果汁就是總重量的差，即240克，那么一杯果汁就是120克”等。不難看出，引領(lǐng)學(xué)生對(duì)一些解決問題的關(guān)鍵之處進(jìn)行反思，能夠收獲不一樣的精彩。

4.鼓勵(lì)總結(jié)提煉

古語云“學(xué)而不思則罔”，這說明了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要思維做支撐。這樣學(xué)生才能在思考中理解、在理解中內(nèi)化，并在反思中明晰數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)的突破，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)愈發(fā)靈動(dòng)、富有生機(jī)。因此，在數(shù)學(xué)課堂中，教師不僅要教授解決問題的基本方法與策略，還要重視問題探究過程中的思維啟發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生深入理解其中的數(shù)學(xué)思想方法，挖掘?qū)W生的潛能。同時(shí)，教師還要幫助學(xué)生積累相關(guān)的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，為他們的持續(xù)學(xué)習(xí)、探究提供動(dòng)力支持。

（1）鼓勵(lì)反思，舉一反三

上述教學(xué)，教師引導(dǎo)學(xué)生用畫圖策略解讀與分析問題，并在學(xué)生的思考中逐步滲透數(shù)學(xué)思想方法，為學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升提供了有意義的“養(yǎng)料”。同時(shí)，教師還引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行必要的學(xué)習(xí)梳理，以此加速學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)程，使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更具智慧。如在圖示分析與研究的基礎(chǔ)上，教師鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行深入探究，拓展學(xué)生的學(xué)習(xí)視角，使學(xué)生習(xí)得了更多的數(shù)學(xué)知識(shí)。有學(xué)生就提出“我感覺到用文字來思考也很方便：玻璃壺+3杯果汁=580（克），玻璃壺+5杯果汁=820（克），這樣就會(huì)發(fā)現(xiàn)820-580=240（克），實(shí)際上就是2杯果汁的重量，即一杯果汁的重量是120克”“將畫圖與文字表達(dá)結(jié)合起來，也會(huì)讓問題研究容易些”等思考。這樣通過反思，學(xué)生學(xué)會(huì)舉一反三，完善了自己的認(rèn)知。

（2）引導(dǎo)提煉，總結(jié)規(guī)律

數(shù)學(xué)課堂中，教師既要重視對(duì)學(xué)生反思的引導(dǎo)，使學(xué)生完善自己的知識(shí)體系，又要教會(huì)學(xué)生總結(jié)提煉的方法，幫助學(xué)生掌握規(guī)律和積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。如上述教學(xué)，教師指導(dǎo)學(xué)生比較不同的圖示，引發(fā)學(xué)生更為深入的思考，并組織學(xué)生進(jìn)行辯論，使學(xué)生對(duì)“倍量關(guān)系”問題的本質(zhì)愈發(fā)明晰。通過對(duì)學(xué)習(xí)過程進(jìn)行反思，學(xué)生明白解決“倍量關(guān)系”問題的本質(zhì)就是把握住變量和不變量：首先剔除不變量，明確前后數(shù)量的變化是由變量引起的；其次，梳理總結(jié)其中的規(guī)律，找出問題解決的關(guān)鍵；再次，形成規(guī)律和有效的數(shù)學(xué)思維方式，使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更理性，充溢著思考的活力。

總之，教師要從整體上布局，善于用整體的觀點(diǎn)組織和設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，努力讓每一個(gè)學(xué)生成為知識(shí)的探究者、問題的研究者，使他們積極投身于數(shù)學(xué)探究之中。同時(shí)，教師在教學(xué)中要因勢利導(dǎo)，切實(shí)做好學(xué)生學(xué)習(xí)的引領(lǐng)者，適時(shí)啟發(fā)他們探尋現(xiàn)象背后的奧秘，引導(dǎo)他們進(jìn)行更加深入的思考，使他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更有靈性、更富智慧。