葉洪清

(浙江省杭州市余杭文昌高級(jí)中學(xué) 311121)

三角函數(shù)與解三角形是高考重點(diǎn)內(nèi)容之一，也是學(xué)生較容易取得滿分的題型，但是筆者在一次參與高三數(shù)學(xué)聯(lián)考的閱卷過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)較多學(xué)生對(duì)解三角形的大題束手無(wú)策，閱卷過(guò)程中也出現(xiàn)了較多的空白卷，針對(duì)該題的低得分率，本文作出了一些思考，現(xiàn)做簡(jiǎn)要分析.

1 試題呈現(xiàn)

(1)求sin(A-B)的值;

試題分析本題主要考查學(xué)生分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力以及對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力，極大程度上考查了學(xué)生的思維能力以及運(yùn)算能力. 大部分考生對(duì)第(1)小題感到束手無(wú)策，覺得跟平時(shí)的解三角形題型不一樣，因此導(dǎo)致該題的得分偏低，但在閱卷過(guò)程中也出現(xiàn)了一些解題的亮點(diǎn)，但這些亮點(diǎn)僅僅是來(lái)自于平時(shí)數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)異的學(xué)生.

2 課堂論解

①

同理可得

②

由①②,得

可得2a2+ab-6b2=0.

點(diǎn)評(píng)解法1與解法2都可以得到第(1)小題的正確答案，但是對(duì)學(xué)生的思維能力要求較高，而且運(yùn)算過(guò)程較為繁瑣，只有具備較強(qiáng)的運(yùn)算能力和邏輯推理能力才能得出正確答案.特別是解法2，先求得邊長(zhǎng)之間的關(guān)系，然后再運(yùn)用同角三角函數(shù)關(guān)系式求解正余弦值，計(jì)算量就會(huì)變得很大. 而考卷中給出的正解如下：

點(diǎn)評(píng)解法3先采用正弦定理進(jìn)行邊化弦，采用倍角公式變形逆用進(jìn)行降次，再進(jìn)行配角，然后用兩角和的余弦公式展開化簡(jiǎn)，最后進(jìn)行求值，該解法過(guò)程非常順暢，對(duì)公式的應(yīng)用也比較自然.

為何學(xué)生給出的解題過(guò)程與標(biāo)準(zhǔn)答案大相徑庭？是因?yàn)轭}型偏離了常規(guī)的命題意途？還是學(xué)生缺少這種解決新問(wèn)題的能力？還是學(xué)生并沒(méi)有掌握課堂上的所學(xué)知識(shí)？我們?cè)賮?lái)看一個(gè)錯(cuò)解：

錯(cuò)解由兩角和的正弦公式和余弦定理可得，

sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB

點(diǎn)評(píng)該解題結(jié)果雖然是正確的，但是解題過(guò)程是錯(cuò)誤的，而且錯(cuò)的非常明顯，學(xué)生主要是對(duì)于正弦定理認(rèn)識(shí)不足，直接將弦與邊等同起來(lái)，這也是大多數(shù)學(xué)生在平時(shí)運(yùn)用正弦定理時(shí)容易犯的錯(cuò)誤，但為何該解題過(guò)程得到了正確的答案？我們是否可以對(duì)該解題過(guò)程稍加修飾來(lái)獲得正確的答案呢？答案是肯定的.

則sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB

從以上錯(cuò)解中可以看出學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)應(yīng)用的條件不夠熟悉，只有等式兩邊都含有弦(邊)的時(shí)候才能通過(guò)正弦定理直接化為邊(弦)，教師在正弦定理的應(yīng)用教學(xué)中應(yīng)該引入常數(shù)，讓學(xué)生自身去閱讀并領(lǐng)悟正弦定理所能應(yīng)用的條件與情景，親身體驗(yàn)新知識(shí)的接受過(guò)程，讓學(xué)生知其然，知其所以然. 事實(shí)上，學(xué)生的創(chuàng)造力是無(wú)窮的，我們教師在從教過(guò)程中也應(yīng)該時(shí)刻滿足學(xué)生的好奇心，幫助示范引導(dǎo)，千萬(wàn)不要直觀地否定學(xué)生的解答，盡量放慢課堂教學(xué)步伐，傾聽學(xué)生的奇思妙想，引導(dǎo)學(xué)生選擇不同的方法去解決各種新穎問(wèn)題，并學(xué)會(huì)在不同方法的比較中領(lǐng)悟各種方法的本質(zhì)以及適用的情境，從而突破解題瓶頸，達(dá)到靈活解題的目的.

針對(duì)以上問(wèn)題，筆者在講解該題時(shí)除了給出以上解法外，還指出了學(xué)生在解題過(guò)程中需要避免的問(wèn)題，而讓筆者感到意外的是，學(xué)生通過(guò)比較條件，提出這么一個(gè)問(wèn)題：是否有sin2A-sin2B=sin(A-B)sin(A+B)成立？如果等式成立，怎么證明？面對(duì)學(xué)生提出的這一奇怪結(jié)論，本人并沒(méi)有直接否定，而是引導(dǎo)學(xué)生思考，從剛才的解答過(guò)程與方法中尋找所要證明的元素，動(dòng)員學(xué)生積極思考，運(yùn)用已有的知識(shí)進(jìn)行論證，因此結(jié)論成立是肯定的，證明過(guò)程只需運(yùn)用二倍角公式以及參照解法3的步驟就可以得到此結(jié)論(此處省略)，而且也為了讓學(xué)生加深對(duì)這一公式的記憶，證明過(guò)程由學(xué)生自己獨(dú)立完成，這也體現(xiàn)了學(xué)生的奇思妙想與驚人的創(chuàng)造力，敢于大膽猜想 ，積極嘗試.

為加深學(xué)生對(duì)本節(jié)課所學(xué)知識(shí)的掌握程度，讓學(xué)生能夠?qū)?shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容及其形態(tài)內(nèi)化為認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，使新舊認(rèn)知充分碰撞，使所獲得的新認(rèn)知具有心理意義，從而進(jìn)一步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)，提升解題的驅(qū)動(dòng)力和數(shù)學(xué)學(xué)科的綜合素養(yǎng)，筆者給出了如下試題以供學(xué)生練習(xí).

例2 (1)在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c，且滿足(a2-b2)sin(A+B)=(a2+b2)sin(A-B),試判斷△ABC的形狀.

(2)在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c，且2sin(A-B)=asinA-bsinB,a≠b.

(1)求邊c；

(2)若△ABC的面積為1，且tanC=2，求a+b的值.

3 解題反思

在對(duì)題目進(jìn)行求解之后，我們應(yīng)該讓學(xué)生進(jìn)行自我解題反思，特別是進(jìn)行實(shí)踐基礎(chǔ)上的理性反思，反思如何發(fā)現(xiàn)問(wèn)題以及采取什么方法去解決問(wèn)題，反思這其中運(yùn)用了哪些基本的思想方法和技能技巧以及會(huì)發(fā)生怎樣的錯(cuò)誤和原因，而在給學(xué)生平時(shí)的試題訓(xùn)練中，也應(yīng)當(dāng)立足通性通法的考查，講究題型新穎，重在本質(zhì)，以此來(lái)區(qū)分學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，盡量給學(xué)生以“眼前一亮，煥然一新”的感覺.浙江省近幾年的數(shù)學(xué)高考命題設(shè)計(jì)大致也是從數(shù)學(xué)問(wèn)題本身出發(fā)，構(gòu)造含樸實(shí)的素材和豐富內(nèi)蘊(yùn)的試題，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的內(nèi)在本質(zhì)與現(xiàn)實(shí)背景，回歸教材，堅(jiān)持出基礎(chǔ)題，考靈活題，突出對(duì)考生綜合能力的考查. 因此，我們教師的教學(xué)需要合理定位，立足教材，精選習(xí)題，在平時(shí)數(shù)學(xué)教學(xué)中充分認(rèn)識(shí)學(xué)生的個(gè)體水平差異性，讓每位學(xué)生主動(dòng)學(xué)自己的數(shù)學(xué)，正確應(yīng)對(duì)每位學(xué)生的學(xué)習(xí)要求，給予學(xué)生充足的思考求解時(shí)間，準(zhǔn)確定位高考目標(biāo)，強(qiáng)調(diào)對(duì)運(yùn)算能力和思維能力的培養(yǎng)，讓學(xué)生形成良好的思維品質(zhì)，同時(shí)，在平時(shí)的課堂訓(xùn)練與高考模擬中，也應(yīng)該強(qiáng)調(diào)心態(tài)的重要性， 讓學(xué)生學(xué)會(huì)調(diào)整心態(tài)，從而應(yīng)對(duì)紛繁復(fù)雜的高考試題.

4 感悟小結(jié)

新高考的改革對(duì)我們數(shù)學(xué)教師也提出了新的要求，特別是在平時(shí)的教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)注重知識(shí)與發(fā)展的過(guò)程，通過(guò)一題多解，幫助學(xué)生理清知識(shí)的發(fā)展邏輯和知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，通過(guò)變式拓展領(lǐng)悟知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展規(guī)律，每一位數(shù)學(xué)教師都應(yīng)該深入鉆研教材編排的意圖，研究教材中教學(xué)目標(biāo)與教學(xué)內(nèi)容，進(jìn)而確定相應(yīng)的教學(xué)方法和教學(xué)策略，提升自己的思想修養(yǎng)、文化素養(yǎng)和專業(yè)技能，加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展的延續(xù)性與連貫性，突出知識(shí)點(diǎn)之間本身存在的內(nèi)在聯(lián)系，增強(qiáng)數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)，關(guān)注概念的理解和運(yùn)用，有意識(shí)地啟發(fā)學(xué)生多角度思考問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)比較方法的繁簡(jiǎn)，培養(yǎng)學(xué)生透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)的眼光，拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)理性思維，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)自主探究、自主鉆研，提升學(xué)生分析問(wèn)題的能力以及解決問(wèn)題的能力，幫助建立良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，充分實(shí)現(xiàn)知識(shí)與能力的結(jié)合，讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，積累數(shù)學(xué)思想和實(shí)踐的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，形成良好的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).