徐登明，李非亞

（中國民航大學a.中歐航空工程師學院；b.理學院，天津 300300）

近年來，隨著量子信息學的興起，無偏基（MUB）逐漸被人們廣泛關注。無偏基在量子信息理論中起著舉足輕重的作用，為量子態(tài)的測量提供了一組最優(yōu)測量基[1]，使得量子測量過程變得簡潔高效。另外，無偏基在量子狀態(tài)層析、量子密碼、量子糾錯等方面也發(fā)揮著重要作用[2]。

在有限維復向量空間CK中，確定無偏基的最大組數N（K）是無偏基的主要研究內容。1989年，Wootters等[3]證明CK中最多存在K+1 組無偏基，即N（K）≤K+1，當K是素數冪時，N（K）=K+1，而當K是非素數冪時，確定無偏基的最大組數仍是一個尚未解決的問題，許多學者為此做了大量工作。如：Weiner[4]證明了N（K）≠K；Song 等[5]利用拉丁方的性質證明了在CK（K=n2，n為正整數）中N（K）≥K+1；文獻[6-7]利用張量積的性質給出了K=K1K2維空間中幾類無偏基的構造。

一般情況下，構造CK上的無偏基非常困難。2005年，Klappenecker 等[8]提出了近似無偏基（AMUB）的概念，將無偏基的內積條件進行弱化，對非素數冪維K=p-1 的情形，構造了K+1 組近似無偏基。此后，王威揚等[9]和Li 等[10]利用有限域及有限環(huán)上的高斯（Gauss）和及雅克比（Jacobi）和，對非素數冪維K=q-1 或K=q+1 等情形構造了CK中的K+1 組及K+2組近似無偏基。

文中利用有限域上的兩類指數和，對K=（q1-1）×（q2- 1）（q1，q2為素數冪）的情形，分別構造了CK中min{q1，q2}及min{q1，q2}+1 組近似無偏基。

1 預備知識

1.1 無偏基（MUB）與近似無偏基（AMUB）

定義1設B1= {|v1〉，|v2〉，…，|vK〉}和B2= {|u1〉，|u2〉，…，|uK〉}分別是復向量空間CK的一組單位正交基，若任意|vi〉∈B1與|uj〉∈B2都有

則稱B1和B2為CK的兩組無偏基（MUB）。

若CK中的m 組單位正交基B1，B2，…，Bm兩兩無偏，則稱為一組無偏基集。

定義2設B1={|v1〉，|v2〉，…，|vK〉}和B2={|u1〉，|u2〉，…，|uK〉} 分別是復向量空間CK的一組單位正交基，若任意|vi〉∈B1與|uj〉∈B2都有

則稱B1和B2為CK的兩組近似無偏基（AMUB）。

若CK中的m 組單位正交基B1，B2，…，Bm兩兩近似無偏，則稱為一組近似無偏基集。

1.2 指數和

設Fq是一個有限域，Fq*表示該有限域不含元素。f（x）為Fq上的一個置換多項式，滿足f（0）=0，并且對任意1≠α∈Fq，f（αx）-f（x）都是Fq上的置換多項式。設φ是Fq上的乘法特征，χ是Fq上的加法特征。定義指數和

由文獻[11]有

詳細證明過程見文獻[11]。容易看出，當f（x）=x 時，指數和S（φ，χ）即為有限域Fq上的Gauss 和。

設λ也是Fq上的一個乘法特征。設g∈Aut（Fq*）是Fq*上的一個自同構，且對任意1≠α∈Fq，都是Fq*上的一個置換，令g（0）=0。定義指數和

由文獻[12]有

詳細證明過程見文獻[12]。

1.3 有限域的直積

設Fq1，Fq2是兩個有限域，qi=pmii （i=1，2）是素數冪。設R=Fq1×Fq2，則R 是一個環(huán)且|R|=q1q2。設R 上的乘法群

則|R*|=（q1-1）（q2-1）。

設χ(1)，χ(2)是Fq1，Fq2上的典范加法特征，λ(1)，λ(2)是Fq1，Fq2上的乘法特征，U 是模為1 的復數乘法群。

設（R，+）為R 上的加法群，定義映射

其中χ（α）=χ(1)（α1）χ(2)（α2），易證χ是環(huán)R 上的典范加法特征[7]。

設R*是乘法群，定義映射

其中λ（α）=λ(1)（α1）λ(2)（α2），則λ是環(huán)R 上的乘法特征。

2 近似無偏基構造

設K=（q1-1）（q2-1）（qi為素數冪），利用1.2 節(jié)中指數和S（φ，χ）與T（λ，φ）的模的值以及1.3 節(jié)中環(huán)R 上加法特征和乘法特征的定義，本文給出兩類近似無偏基的構造。

2.1 構造I

設Fq1，Fq2是兩個有限域，不妨設q1≤q2。令R=Fq1×Fq2，根據1.3 節(jié)，。

因此，由L的定義知，對任意μi≠μj∈L，都有且。

設α=（α1，α2）∈R-R*，根據補充定義，當μ(1)與μ(2)中有一個是非平凡特征時，μ（α）=μ(1)（α1）μ(2)（α2）=0。

保持上述記號不變，給出如下定理。

定理1設，z=（1-x，1-y）∈R}。

令K=|D|=（q1-1）（q2-1）。對任意以及μ∈L，定義向量

對每一個μ∈L，令

則Bμ是CK的一組單位正交基。記B*={|e1〉，|e2〉，…，|eK〉}為CK的標準正交基。令，則是CK中的基數為q1的近似無偏基集。

證明首先證明Bμ是一組單位正交基，設|v(λ，φ，μ)〉∈Bμ，由于

故|v(λ，φ，μ)〉為單位向量。

設|v(λ1，φ1，μ)〉∈Bμ，|v(λ2，φ2，μ)〉∈Bμ，其中（λ1，φ1）≠（λ2，φ2），則

因此，Bμ是CK上的一組單位正交基。

對每個|v(λ，φ，μ)〉∈Bμ及|ei〉∈B*，顯然有|〈v(λ，φ，μ)|ei〉=。

設|v(λ1，φ1，μ1)〉∈Bμ1，|v(λ2，φ2，μ2)〉∈Bμ2，其中μ1≠μ2∈L，且，則

由于

又μ(1)，μ(2)均為非平凡特征，由補充定義可知，μ(1)（0）=0，μ(2)（0）=0。所以

根據式（2）得

證畢。

2.2 構造Ⅱ

設Fq1，Fq2是兩個有限域，q1≤q2。類似于2.1 節(jié)，令R=Fq1×Fq2。

設f1（x），f2（x）分別是Fq1，Fq2上的一個置換多項式，fi滿足：fi（0）=0 以及對任意α≠1，fi（αx）-fi（x）都是Fqi（i=1，2）上的置換多項式。

設c=（a，b）∈R，由1.3 節(jié)，對任意α=（α1，α2）∈R，有

記Fq1={a1，a2，…，aq1}，Fq2={b1，b2，…，bq2}。因為q1≤q2，取子集{b1，b2，…，bq}?Fq2。令S={（a1，b1），（a2，b2），…，（aq1，bq）}。若記ci=（ai，bi），則S= {c1，c2，…，cq1}。由S的定義知，對任意ci≠cj∈S，都有ai≠aj且bi≠bj成立。也即，若ci≠cj∈S，由χci≠χcj都有且成立。

保持上述記號不變，給出如下定理。

定理2設，f2（y））∈R}。

令K=|D|=（q1-1）（q2-1）。對任意，φ∈以及χc∈，其中c∈S，定義向量

對每一個c∈S，令

則Bc是CK中的一組單位正交基。記B*={|e1〉，|e2〉，…，|eK〉}為CK的標準正交基。令，則是CK中的基數為q1+1 的近似無偏基集。

證明首先證明Bc是一組單位正交基。

設|v(λ1，φ1，χc)〉∈Bc，|v(λ2，φ2，χc)〉∈Bc，其中（λ1，φ1），，由于

故Bc是CK上的一組單位正交基。

由c1≠c2知，a1≠a2且b1≠b2，故與均非平凡。根據式（1）得

證畢。

3 結語

文中設K=（q1-1）（q2-1），利用有限域上的指數和S（φ，χ）及T（λ，φ），在CK中分別構造了min{q1，q2}及min{q1，q2}+1 組近似無偏基，這豐富了非素數冪維復向量空間中近似無偏基的構造。但構造的近似無偏基組數有限，進一步希望能找到更有效的方法在非素數冪維復向量空間中構造更大基數的近似無偏基集。