唐睿君,李 倩,劉顯明

(1.湖北民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 恩施 445000；2.湖北民族大學(xué) 信息工程學(xué)院，湖北 恩施 445000)

GW150914引力波事件[1]、事件視界望遠(yuǎn)鏡對(duì)M87黑洞陰影圖像的描繪[2]有力支持了愛(ài)因斯坦廣義相對(duì)論的正確性.然而，眾所周知廣義相對(duì)論理論存在紫外發(fā)散、不可重整化，帶來(lái)了引力量子化的困難，這一直是困擾理論物理學(xué)家的重大難題.最近，Horava提出了一種非相對(duì)論性可重整化的量子引力理論——Horava-Lifshitz(HL)引力理論，該理論在紅外尺度上能回到廣義相對(duì)論，在紫外尺度上通過(guò)破壞洛倫茲對(duì)稱性來(lái)建立一個(gè)紫外(ultraviolet)完備理論[3-4].該理論目前已經(jīng)在宇宙學(xué)和黑洞物理中得到廣泛地應(yīng)用[5-10].

在強(qiáng)引力場(chǎng)中研究測(cè)地線的結(jié)構(gòu)能夠探測(cè)致密天體的物理特征，這一直是物理學(xué)與天文學(xué)領(lǐng)域的熱點(diǎn)問(wèn)題[11-17].應(yīng)用有效勢(shì)的方法可以方便地研究黑洞的測(cè)地線結(jié)構(gòu).近年來(lái)，Hu等[14]通過(guò)有效勢(shì)的方法討論規(guī)則Hayward黑洞時(shí)空中的類時(shí)測(cè)地線和類光測(cè)地線.Enolskii等[18]也研究了HL引力下漸進(jìn)平直時(shí)空中的黑洞[19]中的粒子運(yùn)動(dòng).

本文將應(yīng)用有效勢(shì)的方法詳盡地討論HL黑洞時(shí)空中的類時(shí)和類光測(cè)地線結(jié)構(gòu)，著重關(guān)注HL黑洞時(shí)空中的參數(shù)ω對(duì)類時(shí)測(cè)地線中不穩(wěn)定圓軌道、穩(wěn)定圓軌道、最小半徑束縛軌道以及類光測(cè)地線中不穩(wěn)定圓軌道、HL黑洞陰影半徑的影響.

1 Horava-Lifshitz(HL)黑洞時(shí)空下測(cè)地線結(jié)構(gòu)

1.1 軌道運(yùn)動(dòng)方程與有效勢(shì)

漸近平直時(shí)空背景中的HL黑洞的線元為[19]

(1)

(2)

ω為HL參數(shù)，當(dāng)r?(M/ω)1/3時(shí)[19]，此解對(duì)應(yīng)為廣義相對(duì)論中的史瓦西黑洞.

HL黑洞時(shí)空中運(yùn)動(dòng)粒子的拉格朗日方程為

(3)

(4)

(5)

式(4)、(5)中的積分常數(shù)E和L分別是粒子的能量和角動(dòng)量.

(6)

(7)

當(dāng)a=1時(shí)，為類時(shí)測(cè)地線；當(dāng)a=0時(shí)，為類光測(cè)地線.文中后面的討論中取黑洞的質(zhì)量M=1.

1.2 類時(shí)測(cè)地線結(jié)構(gòu)

下面用有效勢(shì)的方法研究HL時(shí)空中的類時(shí)測(cè)地線.首先利用控制變量法討論粒子角動(dòng)量L和參數(shù)ω對(duì)有效勢(shì)的影響.由圖1(a)可見(jiàn)，在ω=0.6的情形下，角動(dòng)量L的逐漸增大引起粒子有效勢(shì)勢(shì)壘高度的增大.圖1(b)描述了在角動(dòng)量取L=4.15時(shí)，有效勢(shì)勢(shì)壘高度隨著參數(shù)ω的增大而減小，同時(shí)當(dāng)ω?1時(shí)對(duì)應(yīng)為傳統(tǒng)的史瓦西黑洞時(shí)空中的情況.

(a) 不同角動(dòng)量L (b) 不同參數(shù)ω圖1 粒子有效勢(shì)Fig.1 The effective potential of particle

接下來(lái)應(yīng)用有效勢(shì)的方法討論類時(shí)測(cè)地線結(jié)構(gòu).取L=4.15，ω=0.6，畫(huà)出粒子有效勢(shì)圖像如圖2所示.由圖2可知粒子運(yùn)動(dòng)軌道包括不穩(wěn)定圓軌道、穩(wěn)定圓軌道、束縛軌道、吸收軌道.

進(jìn)一步利用方程(5)、(6)，做坐標(biāo)變換，并對(duì)φ再次求導(dǎo)可得粒子運(yùn)動(dòng)方程：

(8)

(9)

下面將逐一分析圖2所出現(xiàn)的各種軌道類型.

圖2 類時(shí)測(cè)地線有效勢(shì)Fig.2 The effective potential of time-like geodesic

1) 圓軌道.圖2所表示的有效勢(shì)曲線中的極值點(diǎn)對(duì)應(yīng)粒子圓軌道的半徑，滿足條件：

(10)

(a) 不穩(wěn)定圓軌道 (b) 受擾動(dòng)的不穩(wěn)定圓軌道(c) 受擾動(dòng)的不穩(wěn)定圓軌道圖3 類時(shí)測(cè)地線Fig.3 Time-like geodesic

圖4 不穩(wěn)定圓軌道半徑隨ω的變化圖5 類時(shí)穩(wěn)定圓軌道 Fig.4 Variation of the unstable circular orbit radius with ωFig.5 The stable circular orbit of time-like geodesic

圖6表明在角動(dòng)量L=4.15不變時(shí)，穩(wěn)定圓軌道半徑將隨著ω的增大而減小，同時(shí)ω趨于無(wú)窮時(shí)，對(duì)應(yīng)為史瓦西黑洞的穩(wěn)定圓軌道半徑 13.353M.

圖6 穩(wěn)定圓軌道半徑隨ω的變化 圖7 最內(nèi)層穩(wěn)定圓軌道半徑隨ω的變化

2) 吸收軌道和束縛軌道.

3) 最小半徑束縛軌道.當(dāng)粒子能量值E=1時(shí)，粒子有一個(gè)最小半徑的束縛軌道rmb.圖9研究了當(dāng)角動(dòng)量L=4.15時(shí)，參數(shù)ω對(duì)rmb的影響.由圖9可知，最小半徑束縛軌道rmb隨著ω的增加而增大，直至接近史瓦西黑洞中的最小半徑束縛軌道半徑3.159M.

圖8 類時(shí)吸收和類時(shí)束縛軌道 圖9 最小半徑束縛軌道隨ω的變化Fig.8 The absorption and bound orbit of time-like geodesic Fig.9 Variation of the smallest radius of bound orbit with ω

1.3 類光測(cè)地線結(jié)構(gòu)

下面將研究類光測(cè)地線結(jié)構(gòu).從圖10可得到：當(dāng)角動(dòng)量L=4.15恒定時(shí)，類光測(cè)地線的有效勢(shì)勢(shì)壘高度隨著參數(shù)ω的增大而減小(圖10(a))；當(dāng)固定參數(shù)ω=0.6時(shí)，可得有效勢(shì)勢(shì)壘高度隨著角動(dòng)量L的逐漸增大而增大(圖10(b)).與類時(shí)測(cè)地線一樣，當(dāng)ω?1時(shí)對(duì)應(yīng)為傳統(tǒng)的史瓦西黑洞時(shí)空中的情況.

接下來(lái)取L=4.15,ω=0.6，研究類光測(cè)地線的特征軌道(如圖11).

(11)

由圖11可知，與類時(shí)測(cè)地線不同的是：光子的軌道類型中沒(méi)有穩(wěn)定圓軌道和束縛軌道，只有不穩(wěn)定圓軌道、吸收軌道和逃逸軌道.下面分析圖11所出現(xiàn)的各種軌道類型.

(a) 不同參數(shù)ω (b) 不同角動(dòng)量L圖10 類光測(cè)地線的有效勢(shì)圖像Fig.10 Effective potential image of null geodesic

圖11 類光測(cè)地線的特征軌道Fig.11 Characteristic orbit of null geodesic

(a) 不穩(wěn)定圓軌道 (b) 受擾動(dòng)的不穩(wěn)定圓軌道 (c) 受擾動(dòng)的不穩(wěn)定圓軌道圖12 不穩(wěn)定圓軌道和受擾動(dòng)的不穩(wěn)定圓軌道的類時(shí)測(cè)地線Fig.12 The unstable circular orbit and disturbed unstable circular orbit of null geodesic

圖13 光子不穩(wěn)定圓軌道半徑隨ω的變化Fig.13 Variation of the unstable circular orbit radius with ω for null geodesic

取角動(dòng)量L=4.15時(shí)，圖13研究了參數(shù)ω對(duì)光子不穩(wěn)定圓軌道半徑的影響.結(jié)果表明：不穩(wěn)定軌道半徑隨著ω的增大而增大，同時(shí)當(dāng)ω趨于無(wú)窮時(shí)對(duì)應(yīng)到史瓦西時(shí)空中的不穩(wěn)定圓軌道半徑3M.

2) HL黑洞陰影半徑.黑洞陰影半徑與不穩(wěn)定圓軌道半徑的關(guān)系為[20]

(12)

圖14 黑洞陰影半徑隨ω的變化 圖15 類光吸收軌道和類光逃逸軌道Fig.14 Variation of black hole shadow radius with ω Fig.15 The absorption and escape orbit of null geodesic

2 結(jié)語(yǔ)

利用有效勢(shì)的方法仔細(xì)地研究了HL黑洞的測(cè)地線結(jié)構(gòu)，特別討論了HL引力參數(shù)ω對(duì)特征軌道的影響.研究結(jié)果表明：

1) 對(duì)于類時(shí)測(cè)地線，不穩(wěn)定圓軌道半徑ru、最內(nèi)層穩(wěn)定圓軌道半徑rms以及最小半徑束縛軌道rmb都比廣義相對(duì)論中的相應(yīng)半徑小，且它們都隨著HL黑洞時(shí)空中參數(shù)ω的增大而增大，當(dāng)ω趨于無(wú)窮大時(shí)，回到史瓦西時(shí)空中對(duì)應(yīng)半徑3.869M、6M、3.159M；穩(wěn)定圓軌道半徑rs比廣義相對(duì)論中穩(wěn)定圓軌道半徑大，且隨著ω的增大而減小，當(dāng)ω趨于無(wú)窮大時(shí)，回到史瓦西時(shí)空中對(duì)應(yīng)半徑值13.353M.