關(guān)玉銘， 戈新生

（北京信息科技大學(xué) 機電工程學(xué)院，北京 100192）

引 言

對于航空發(fā)動機，葉片是其至關(guān)重要的組成部分，其性能直接決定發(fā)動機可能達到的最高轉(zhuǎn)速.對于這種結(jié)構(gòu)，一般將其視作高速旋轉(zhuǎn)運動的中心剛體-撓性梁結(jié)構(gòu).目前，對中心剛體-撓性梁結(jié)構(gòu)的研究大多為Euler-Bernoulli 梁[1-2].Euler-Bernoulli 梁多為細長梁，其力學(xué)特性忽略了剪切變形以及剪切變形對轉(zhuǎn)動慣量的影響，因此不少學(xué)者對考慮了剪切變形影響的Timoshenko 梁進行了大量研究[3-5].1987 年，Kane 等[6]通過對旋轉(zhuǎn)的懸臂梁實驗提出了“動力剛化”這一概念，動力剛化即模型的廣義剛度隨轉(zhuǎn)速的提高而增大的現(xiàn)象，對于這種現(xiàn)象，國內(nèi)外許多學(xué)者對其進行了深入研究.方建士、章定國等[7-9]對旋轉(zhuǎn)的懸臂梁進行了研究，在考慮橫向變形引起縱向變形的二次耦合項的前提下，應(yīng)用Hamilton 原理和假設(shè)模態(tài)法推導(dǎo)出了帶動力剛化項的一次近似耦合模型.楊輝、洪嘉振等[10-12]驗證了在高速旋轉(zhuǎn)情況下，采用零次模型計算梁的橫向振動響應(yīng)時會產(chǎn)生錯誤的結(jié)論.針對“中心剛體-柔性梁結(jié)構(gòu)”這種剛?cè)狁詈夏Ｐ偷膭恿W(xué)特性，蔡國平、洪嘉振做了充分的研究[13-14].而對于Timoshenko 梁的動力剛化現(xiàn)象研究較少，Hao 等[15]通過Hamilton 變分原理建立了雙向功能梯度Timoshenko 梁動力學(xué)模型并采用傳統(tǒng)方法推導(dǎo)出了動力剛化矩陣，Banerjee[16]建立了含有離心力的Timoshenko 梁動力學(xué)模型，并推導(dǎo)了動力剛度矩陣.You 等[17]運用Hamilton 原理建立了考慮剪切變形的柔性梁動力學(xué)模型，并通過有限元方法進行離散，探究了Timoshenko 梁的動力學(xué)特性.對于傳統(tǒng)Timoshenko 梁，因沒有考慮剪切變形所產(chǎn)生的角加速度，導(dǎo)致消去轉(zhuǎn)角位移后所得到的四階微分方程中含有撓度對時間的四階偏導(dǎo)數(shù)項，因該項的存在導(dǎo)致出現(xiàn)兩個固有頻率.因此，陳镕等[18-19]考慮了剪切對轉(zhuǎn)動慣量的影響，導(dǎo)出了修正的Timoshenko 梁動力學(xué)模型，并對修正Timoshenko 梁的動力學(xué)特性進行了分析，給出梁模型僅對應(yīng)一個固有頻率.陜晉軍等[20]對非約束模態(tài)和約束模態(tài)的求解方法進行了研究，并對二者頻率進行了定量分析，得出撓/剛慣量比大小對固有頻率影響較大，因此當(dāng)撓/剛慣量比較大時要想得到較為準(zhǔn)確的固有頻率，采用非約束模態(tài)進行求解更為準(zhǔn)確.Low 等[21]通過實驗方法得出非約束模態(tài)建模方法優(yōu)于約束模態(tài).Xiao 等[22]針對離心力對懸臂梁結(jié)構(gòu)廣義剛度的影響進行了探究，得出離心張力會引起系統(tǒng)剛度增加，離心壓縮力會引起系統(tǒng)剛度減小.Timoshenko 梁是在Euler 梁的基礎(chǔ)上考慮剪切的影響，為Euler 梁的一種復(fù)雜情況，因此理論上離心力應(yīng)對其存在同樣的效應(yīng).本文以中心剛體-Timoshenko 梁為力學(xué)模型，建模過程中考慮梁上所受離心張力，并求解其約束模態(tài)振型函數(shù)和固有頻率以及非約束模態(tài)振型函數(shù)和固有頻率，最后給定轉(zhuǎn)動規(guī)律，通過數(shù)值仿真對兩種模態(tài)下模型的廣義剛度和梁末端響應(yīng)進行分析.

1 系統(tǒng)動力學(xué)方程

首先，將航空發(fā)動機近似視作中心剛體-撓性梁系統(tǒng)，以Timoshenko 梁為研究對象，如圖1 所示.考慮粗短梁，其變形二次耦合項較小，可假設(shè)為零.以中心剛體質(zhì)心O為原點建立慣性坐標(biāo)系XOY，中心剛體與梁連接點為Oc，并以O(shè)c為原點建立連體坐標(biāo)系XcOcYc，a為中心剛體半徑.取梁上微元質(zhì)量dm為研究對象，點P為微元質(zhì)量質(zhì)心，Ux(x,y,t) 為 梁的軸向變形，Uy(x,y,t)為 梁的橫向變形.微元質(zhì)量dm變形如圖2 所示， θ(x,t)為截面轉(zhuǎn)角，γ(x,t)為剪切角，Q和M分別表示微元質(zhì)量所受剪力和變矩， θ (0,t)為中心剛體與梁連接處轉(zhuǎn)動角度同時也表征中心剛體的轉(zhuǎn)動角度.為點P′在慣性坐標(biāo)系下的位置矢量.根據(jù)非線性變形理論可得

圖1 中心剛體-Timoshenko 梁系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 The structural diagram for the central rigid body-Timoshenko beam system

圖2 梁上微元質(zhì)量變形Fig.2 The mass deformation of an infinite simal element on the beam

其中，v(x,t) 為 軸向變形，γ (x,t) 為 剪切角，w(x,t)為 撓度.梁變形后點P′的坐標(biāo)為

將其投影到慣性坐標(biāo)系下為

考慮離心力產(chǎn)生的軸向變形對模型廣義剛度的影響，因此假設(shè)v(x,t)=0,微元質(zhì)量在慣性坐標(biāo)系下沿X，Y方向的速度分別為

式中 ()′表示對變量x求一階偏導(dǎo)數(shù),單下劃線部分為引入離心力的產(chǎn)生項， ρ為 線密度， κ為剪切系數(shù)[24]，對于矩形截面，I為截面慣性矩.當(dāng)為自由振動時，q(x,t)=0，式（15）為

2 基于非約束模態(tài)的離散動力學(xué)方程

設(shè)梁的橫向振動變形為

3 非約束模態(tài)動力學(xué)方程特征問題求解

假設(shè)梁撓性振動和轉(zhuǎn)角模態(tài)展開為

其中φ (x)，Θ (x)為 振型函數(shù)， ω為 頻率.將式（25）代入式（20）可得振型函數(shù)φ (x)的偏微分方程.

對于非約束模態(tài)，其邊界條件為

將非約束模態(tài)邊界條件代入式（31）、（32）可求得系數(shù)A1～A4，C1～C4， 非約束模態(tài)振型函數(shù)φ (x)以及非約束模態(tài)固有頻率.

4 數(shù)值仿真

為研究轉(zhuǎn)速對廣義剛度及響應(yīng)的影響，給出模型在不同恒定轉(zhuǎn)速的仿真結(jié)果.轉(zhuǎn)動規(guī)律為

T為姿態(tài)機動時間，T= 100 s， Ω0為恒定轉(zhuǎn)速.Timoshenko 梁參數(shù)如表1 所示.

表1 Timoshenko 梁參數(shù)Table 1 Parameters of the Timoshenko beam

根據(jù)第3 節(jié)求得的頻率方程，進一步求解得到非約束模態(tài)柔性結(jié)構(gòu)前二階固有頻率為ω1=0．623 5 rad/s, ω2=1．689 2 rad/s.因柔性結(jié)構(gòu)第一階固有頻率較為重要，本節(jié)給出動力學(xué)模型在約束模態(tài)與非約束模態(tài)情況下，K取第一階固有頻率時，廣義剛度隨 轉(zhuǎn)速的關(guān)系，如圖3～6 所示，此時恒定轉(zhuǎn)速 Ω0分別取0.1 rad/s，0.5 rad/s，1 rad/s，5 rad/s.

圖3 恒定轉(zhuǎn)速為0.1 rad/s 的廣義剛度Fig.3 The generalized stiffness at a constant speed of 0.1 rad /s

圖4 恒定轉(zhuǎn)速為0.5 rad/s 的廣義剛度Fig.4 The generalized stiffness at a constant speed of 0.5 rad /s

圖5 恒定轉(zhuǎn)速為1 rad/s 的廣義剛度Fig.5 The generalized stiffness at a constant speed of 1 rad /s

圖6 恒定轉(zhuǎn)速為5 rad/s 的廣義剛度Fig.6 The generalized stiffness at a constant speed of 5 rad /s

圖7 恒定轉(zhuǎn)速為0.1 rad/s 的廣義剛度Fig.7 The generalized stiffness at a constant speed of 0.1 rad /s

圖8 恒定轉(zhuǎn)速為0.5 rad/s 的廣義剛度Fig.8 The generalized stiffness at a constant speed of 0.5 rad / s

圖9 恒定轉(zhuǎn)速為10 rad/s 含離心力模型的廣義剛度Fig.9 The generalized stiffness of the model with centrifugal forces at a constant speed of 10 rad / s

從圖11 可以看出，當(dāng)轉(zhuǎn)速很低時，兩曲線幾乎重合，模型是否包含離心力F(x)，對梁末端響應(yīng)影響較小.當(dāng)轉(zhuǎn)速增大至Ω0=0．5 rad/s 接 近一階固有頻率 ω1時，離心力對梁末端響應(yīng)的影響開始明顯，不含離心力模型的響應(yīng)振幅與含離心力模型偏差較大，如圖12 所示.當(dāng)轉(zhuǎn)速提升至 Ω0=10 rad/s時不含離心力模型響應(yīng)發(fā)散，與圖10 廣義剛度曲線小于零的情況相對應(yīng)，模型失效，此時含離心力模型響應(yīng)依然收斂，存在動力剛化現(xiàn)象，如圖13 所示.

圖10 恒定轉(zhuǎn)速為10 rad/s 不含離心力模型的廣義剛度Fig.10 The generalized stiffness of the model without centrifugal forces at a constant speed of 10 rad / s

圖11 恒定轉(zhuǎn)速為0.1 rad/s 時，梁末端振動響應(yīng)Fig.11 Vibration responses of the beam end at a constant speed of 0.1 rad / s

圖12 恒定轉(zhuǎn)速為0.5 rad/s 時，梁末端振動響應(yīng)Fig.12 Vibration responses of the beam end at a constant speed of 0.5 rad / s

圖13 恒定轉(zhuǎn)速為10 rad/s 時，梁末端振動響應(yīng)Fig.13 Vibration responses of the beam end at a constant speed of 10 rad / s

5 結(jié) 論

本文以中心剛體-Timoshenko 梁系統(tǒng)為力學(xué)模型，考慮非約束模態(tài)與約束模態(tài)的差異，探究此時離心力對模型的廣義剛度和振動響應(yīng)的影響，得出如下結(jié)論：

1） 低轉(zhuǎn)速時，非約束模態(tài)與約束模態(tài)模型的廣義剛度偏差較大，高轉(zhuǎn)速時，由于離心力的影響，非約束模態(tài)與約束模態(tài)模型的廣義剛度偏差較小.

2） 非約束模態(tài)條件下，離心力對中心剛體-Timoshenko 梁模型的廣義剛度影響較大，隨著轉(zhuǎn)速的提升，廣義剛度不斷增大，存在動力剛化現(xiàn)象.

3） 如果不考慮離心力以及變形二次項，高轉(zhuǎn)速時中心剛體-Timoshenko 梁模型會出現(xiàn)廣義剛度為負(fù)的現(xiàn)象，且此時求得的振動響應(yīng)發(fā)散，因此中心剛體-Timoshenko 梁模型建模過程中，應(yīng)充分考慮離心力的影響.