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        時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散波方程的無(wú)單元Galerkin法分析*

        2022-03-10 08:38:12李小林
        關(guān)鍵詞:算例邊界條件步長(zhǎng)

        吳 迪, 李小林

        (重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,重慶 401331)

        引 言

        時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散波方程可以用來(lái)模擬一些重要的物理現(xiàn)象[1-2],比如黏彈性介質(zhì)中機(jī)械波的傳播、具有記憶的非Markov 擴(kuò)散過(guò)程、以及非晶態(tài)半導(dǎo)體中的電荷運(yùn)輸.有限差分法[1-5]和有限元法[5-8]等方法在近年來(lái)被用于數(shù)值求解此方程.

        無(wú)網(wǎng)格法基于點(diǎn)的近似,擺脫了有限差分和有限元等方法中網(wǎng)格單元的限制,具有實(shí)施便利和精度高等優(yōu)勢(shì)[9].Yang 等[10]和Kumar 等[11]發(fā)展了數(shù)值求解時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散波方程的無(wú)網(wǎng)格配點(diǎn)法.無(wú)單元Galerkin法[8,12-13]是一種基于移動(dòng)最小二乘近似的全局弱式無(wú)網(wǎng)格法,比無(wú)網(wǎng)格配點(diǎn)法具有更好的穩(wěn)定性.Dehghan 和Abbaszadeh 通過(guò)使用L1 逼近公式離散時(shí)間變量,在文獻(xiàn)[14]中建立了數(shù)值求解時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散波方程的無(wú)單元Galerkin 法,但是只處理了Neumann 邊界條件,沒有包含無(wú)單元Galerkin 法不易處理的Dirichlet 邊界條件.他們?cè)谖墨I(xiàn)[8]和[15]中用插值型無(wú)單元Galerkin 法,數(shù)值求解了含有Dirichlet 邊界條件的時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散波方程,但是在構(gòu)造形函數(shù)時(shí)需要使用特殊的奇異權(quán)函數(shù).

        本文研究了Caputo 意義下的時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散波方程的無(wú)單元Galerkin 法.首先,類似于文獻(xiàn)[8,14-15],基于文獻(xiàn)[1]中的L1 逼近公式,離散時(shí)間變量.其次,為了有效處理Dirichlet 邊界條件并避免使用奇異權(quán)函數(shù),本文通過(guò)罰函數(shù)方法處理Dirichlet 邊界條件,建立了該方程的無(wú)單元Galerkin 法離散線性代數(shù)方程組.然后,借鑒文獻(xiàn)[16-17]的技巧理論分析了時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散波方程的無(wú)單元Galerkin 法的誤差.最后,利用數(shù)值算例,進(jìn)一步論證了該方法的有效性和精度.

        1 問題描述

        考慮如下時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散波方程[1]:

        初始條件為

        邊界條件為

        其中c為擴(kuò)散波動(dòng)系數(shù), Δu=?2u/?x2+?2u/?y2, Ω 是問題區(qū)域, Γ1是 Dirichlet 邊界, Γ2是 Neumann 邊界,n是邊界?Ω=Γ1∪Γ2上 的外法向單位向量,f(x,y), ψ (x,y) ,φ (x,y), ξ (x,y), γ (x,y)是已知函數(shù),且

        是Caputo 意義下的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù),Γ (·)為Gamma 函數(shù).

        2 無(wú)單元Galerkin 法數(shù)值離散

        2.1 時(shí)間離散

        令τ 表示時(shí)間步長(zhǎng),un=u(x,y,nτ),則Caputo 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)可利用L1 逼近公式[1, 3]近似為

        將?αun/?tα和?αun?1/?tα的表達(dá)式代入式(7),并利用式(6)可得

        2.2 Galerkin 變分方程

        橢圓邊值問題(10)可用無(wú)單元Galerkin 法迭代求解.由于移動(dòng)最小二乘近似生成的形函數(shù)缺乏插值性質(zhì),用無(wú)單元Galerkin 法求解問題(10)時(shí),Dirichlet 邊界條件的施加較困難[18],可以采用罰函數(shù)法來(lái)處理.引入罰因子β,則橢圓邊值問題(10)可近似為

        2.3 無(wú)網(wǎng)格離散

        這里

        其中 M是移動(dòng)最小二乘近似中的逼近算子.為了便于數(shù)值計(jì)算,由Gauss 公式和式(11)中的邊界條件,進(jìn)一步可得

        將式(18)代入式(16),可得

        由v的任意性,在式(19)中讓v依 次取 φ1, φ2, ···, φN,則橢圓邊值問題(10)的無(wú)網(wǎng)格離散為

        其中

        同理可得當(dāng)n=1時(shí),橢圓邊值問題(10)可離散為如下線性代數(shù)方程組:

        其中

        由方程組(21)可以依次迭代求解得到Un.最終,由式(17)可以求出時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散波方程的無(wú)單元Galerkin 法近似解.

        3 誤差分析

        定理1設(shè)un∈Hq+1(Ω) 是 問題(10)的解析解,為近似變分問題(16)的數(shù)值解,則時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散波方程的無(wú)單元Galerkin 法有如下誤差:

        所以

        由文獻(xiàn)[16]可得

        4 數(shù)值算例

        4.1 算例1

        考慮如下時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散波方程[8]:

        初始條件和邊界條件分別為

        u(x,y,0)=0, (x,y)∈Ω,

        u(x,y,t)=t2sin(x+y), (x,y)∈?Ω,t∈[0,1].

        該問題的解析解為u(x,y,t)=t2sin(x+y).

        圖1 給出了 α =1.65,h=1/50和 τ =1/40 時(shí),無(wú)單元Galerkin 法獲得的近似解Uh和 誤差 |Uh?u|,數(shù)據(jù)顯示誤差小于 1 .5×10?4,說(shuō)明該方法的計(jì)算精度較高.為了研究罰因子 β 對(duì)誤差的影響,圖2 給出了 α=1.65,τ=1/200 時(shí) ,常數(shù)罰因子 β 和變化罰因子 β =Cβh?2對(duì)誤差和收斂性的影響.罰因子β 取為常數(shù)時(shí),太大或太小都會(huì)讓誤差增加;罰因子 β =Cβh?2隨著空間步長(zhǎng)h變 化時(shí),誤差始終隨著空間步長(zhǎng)h的減小而減小,在后面的計(jì)算中選取罰因子β =102h?2.

        圖1 算例1 在α =1.65,h =1/50 和τ =1/40時(shí)的近似解和誤差:(a) 近似解;(b) 誤差Fig.1 Graphs of approximate solutions and resulting errors with α = 1.65, h =1/50 and τ =1/40 in example 1: (a) the approximate solutions;(b) the resulting errors

        圖2 常數(shù)罰因子β 和變化罰因子β =Cβh?2 對(duì)誤差和收斂性的影響:(a) 常數(shù)罰因子β ;(b) 變化罰因子β=Cβh?2Fig.2 The error and convergence for fixed penalty factor β and variable penalty factor β =Cβh?2 : (a) for fixed penalty factor β ;(b) for variable penalty factor β=Cβh?2

        當(dāng) α =1.65, 1.75,1.85,圖3(a)給出了h=1/20 時(shí) ,無(wú)單元Galerkin 法關(guān)于時(shí)間步長(zhǎng)τ 和 空間步長(zhǎng)h的收斂性;圖3(b)給出了 τ=1/1 000時(shí) ,無(wú)單元Galerkin 法關(guān)于空間步長(zhǎng)h的 收斂性.圖3(a)使用的時(shí)間步長(zhǎng) τ為1/8,1/16,1/32,1/64;圖3(b)使用的空間步長(zhǎng)h為1/2,1/4,1/8,1/16,對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為9,25,81,289.圖3(a)和(b)中的數(shù)值結(jié)果分別表明,無(wú)單元Galerkin 法關(guān)于時(shí)間步長(zhǎng)和空間步長(zhǎng)都得到了很好的收斂結(jié)果.

        圖3 算例1 關(guān)于時(shí)間步長(zhǎng)τ 和空間步長(zhǎng)h 的收斂性:(a) 時(shí)間步長(zhǎng)τ;(b) 空間步長(zhǎng)hFig.3 The convergence with respect to time step τ and spatial step h in example 1: (a) for time step τ; (b) for spatial step h

        影響域半徑可設(shè)置為Sscale·h[9,17],其中Sscale是控制影響域大小的參數(shù).當(dāng) τ =1/10 和h=1/20時(shí),圖4 展示了Sscale對(duì)誤差的影響,結(jié)果表明,影響域大小對(duì)誤差的影響較小,在后面的計(jì)算中選取Sscale=2.5.表1 比較了無(wú)單元Galerkin 法(EFG)和有限元法(FEM)[8]在不同分?jǐn)?shù)階情況下的L∞誤差,結(jié)果表明無(wú)單元Galerkin 法具有更高的計(jì)算精度.

        圖4 影響域參數(shù)Sscale 對(duì)誤差的影響Fig.4 Effects of influence domain parameter Sscale on errors

        表1 比較有限元法和無(wú)單元Galerkin 法的 L∞誤差Table 1 Comparison of L∞ errors between the finite element and the element-free Galerkin methods

        4.2 算例2

        考慮如下時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散波方程[8]:

        初始條件和邊界條件分別為

        u(x,y,0)=0, (x,y)∈Ω,

        u(x,y,t)=0, (x,y)∈?Ω,t∈[0,1].

        該問題的解析解為u(x,y,t)=t2+αsin(x)sin(y).

        當(dāng) α =1.5時(shí) ,圖5(a)和(b)分別給出了h=π/40和 τ =1/256, 無(wú)單元Galerkin 法(EFG)關(guān)于時(shí)間步長(zhǎng)τ 和空間步長(zhǎng)h的收斂性.為了比較,圖5 同時(shí)給出了Galerkin 有限元法(Galerkin FEM)[8]和交替方向隱式有限元法(ADI FEM)[6]的計(jì)算結(jié)果.數(shù)值結(jié)果表明無(wú)單元Galerkin 法得到了很好的收斂結(jié)果,并且比兩種有限元法的計(jì)算精度更高.表2 中比較了當(dāng) α=1.25,h=π/40時(shí),Galerkin 有限元法[8]、交替方向隱式有限元法[6]和無(wú)單元Galerkin 法的L2誤差,顯然無(wú)單元Galerkin 法計(jì)算精度更高.

        圖5 算例2 關(guān)于時(shí)間步長(zhǎng)τ 和空間步長(zhǎng)h 的收斂性:(a) 時(shí)間步長(zhǎng)τ;(b) 空間步長(zhǎng)hFig.5 The convergence with respect to time step τ and spatial step h in example 2: (a) for time step τ; (b) for spatial step h

        表2 比較h =π/40時(shí) ,三種方法的 L2誤差Table 2 Comparison of L2 errors obtained from 3 numerical methods with h=π/40

        5 結(jié) 論

        本文構(gòu)造了數(shù)值求解時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散波動(dòng)方程的無(wú)單元Galerkin 法,詳細(xì)推導(dǎo)了該方法的計(jì)算公式和理論誤差.誤差理論表明,數(shù)值解的誤差與時(shí)間步長(zhǎng)τ、空間步長(zhǎng)h和 罰因子β 有關(guān),并且在時(shí)間方向和空間方向的收斂速率分別約為O(τ3?α)和O(h2).數(shù)值算例驗(yàn)證了該方法的有效性和理論分析結(jié)果,并且數(shù)值結(jié)果表明本文方法比有限元等方法擁有更高的計(jì)算精度.本文采用了L1 公式對(duì)時(shí)間變量進(jìn)行離散,未來(lái)還可以研究利用L(1-2)公式、加權(quán)位移的G-L 公式等高階數(shù)值解法去離散時(shí)間變量,同時(shí)還可以嘗試結(jié)合更多的無(wú)網(wǎng)格方法去構(gòu)建求解時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散波方程的時(shí)空高階格式.另一方面,本文所研究的時(shí)間分?jǐn)?shù)階僅為常數(shù),未來(lái)還可以對(duì)變時(shí)間分?jǐn)?shù)階微分方程的數(shù)值求解進(jìn)行研究.

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