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        例談分式函數(shù)值域的幾種求法

        2022-03-09 01:49:24婁愛(ài)玉
        關(guān)鍵詞:解題方法

        婁愛(ài)玉

        函數(shù)的值域問(wèn)題十分常見(jiàn),其中分式函數(shù)值域問(wèn)題較為復(fù)雜,采用常規(guī)的方法通常很難快速求得函數(shù)的值域.那么,如何求解分式函數(shù)值域問(wèn)題呢?通過(guò)研究,筆者找到了三種求分式函數(shù)值域的方法,下面結(jié)合實(shí)例進(jìn)行探討.

        一、分離常數(shù)法

        當(dāng)遇到形如 f(x)= 、f(x)= 的分式函數(shù)時(shí),可采用分離常數(shù)法來(lái)求其值域.先把分子湊成分母的倍數(shù),然后將常數(shù)從分式中分離出來(lái),最后求分離后分式的值域,即可求原函數(shù)的值域.

        例1 .求函數(shù) y = (x - 1) 2 x 2 + 1 的值域.

        解答本題,要先將題目中所給的函數(shù)式進(jìn)行變形,使其整式與分式分離;再分 x =0、x >0、x <0三種情況討論 x + 的最值;最后運(yùn)用基本不等式求x + 的最值,即可求得函數(shù)的值域.

        二、判別式法

        判別式法常用于求解形如 y =(a2+ d2≠0)的分式函數(shù)最值問(wèn)題.在求最值時(shí),要先把 y 看作參數(shù),將函數(shù)式變形為關(guān)于 x 的一元二次方程;然后根據(jù)一元二次方程有實(shí)根,得到判別式△≥0;最后通過(guò)解不等式,求 y 的取值范圍,從而確定原函數(shù)的值域.

        例2.求函數(shù) y = 的值域.

        運(yùn)用判別式法求函數(shù)的值域,需注意函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù) R ,不能是其某個(gè)子區(qū)間.

        三、換元法

        換元法是解答數(shù)學(xué)問(wèn)題的常用方法之一.在求分式函數(shù)的值域時(shí),可將分式中的某個(gè)部分用一個(gè)新元替換,以便將復(fù)雜的函數(shù)式簡(jiǎn)化,通過(guò)求關(guān)于新元函數(shù)的最值,求得原函數(shù)的值域.

        例3.求函數(shù) f(x)= 的值域.

        令 x = tan θ,便可將關(guān)于 x 的二次分式轉(zhuǎn)化為關(guān)于θ的一次分式,再通過(guò)三角恒等變換,將函數(shù)式化簡(jiǎn)為正弦函數(shù)式,從而利用正弦函數(shù)的有界性和單調(diào)性求得函數(shù)的值域.運(yùn)用換元法,可將函數(shù)式簡(jiǎn)化,從而達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的效果.

        求解分式函數(shù)值域問(wèn)題的方法還有很多,上面談及的三種解題方法都是比較常用的.在解題時(shí),我們不能生搬硬套,要仔細(xì)觀察目標(biāo)函數(shù)式,根據(jù)函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),選擇最為合適的一種方法來(lái)解題,這樣才能真正提升解題的效率.

        (作者單位:江蘇省吳江中學(xué))

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