夏鴻鳴， 楊麗新， 顧梓玉

(1.天水師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅 天水 741001; 2.陜西科技大學(xué) 文理學(xué)院,陜西 西安 710021)

分?jǐn)?shù)階微積分是整數(shù)階微積分的推廣，但是由于分?jǐn)?shù)階微積分缺乏實(shí)際的應(yīng)用背景，所以發(fā)展相對(duì)緩慢[1].近年來(lái)，由于分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)在工程等領(lǐng)域的應(yīng)用，有關(guān)分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)的研究引起了很多學(xué)者的關(guān)注[2-4].另一方面，混沌是非線性系統(tǒng)的一種隨機(jī)現(xiàn)象，廣泛存在于各類系統(tǒng)中.混沌系統(tǒng)主要包含2大類吸引子：自激吸引子和隱藏吸引子.這2類吸引子具有完全不同的動(dòng)力學(xué)特征，文獻(xiàn)[5]研究了一類特殊三維自治動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)隱藏吸引子的數(shù)值仿真，文獻(xiàn)[6]討論了振蕩系統(tǒng)的隱藏吸引子.混沌同步屬于混沌控制的范疇，根據(jù)誤差系統(tǒng)，有不同類別的同步形式，如投影同步、反相同步、組合同步等[7].混沌同步在實(shí)際中有很多的應(yīng)用，如保密通信等.鑒于此，本文中，筆者基于所提出的分?jǐn)?shù)階新系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了有效的控制器，實(shí)現(xiàn)了此分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)的組合同步.

1 分?jǐn)?shù)階新系統(tǒng)及動(dòng)力學(xué)模型

學(xué)者們通過(guò)施加反饋控制器，提出了一個(gè)四維的整數(shù)階混沌系統(tǒng)，并對(duì)其動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行深入討論.系統(tǒng)方程描述如下:

(1)

其中x,y,z,w表示狀態(tài)變量,a,b,d,m是正參數(shù),c是實(shí)數(shù).

研究結(jié)果表明,系統(tǒng)(1)在特定的條件下沒(méi)有平衡點(diǎn)，隱藏吸引子的存在條件表明系統(tǒng)(1)存在隱藏吸引子.基于此整數(shù)階非線性系統(tǒng)提出對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)，并對(duì)其動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行深入討論.相應(yīng)的分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)表達(dá)式描述如下：

(2)

系統(tǒng)(2)的平衡點(diǎn)可通過(guò)解下面的方程組得到:

(3)

如果c=0,系統(tǒng)(2)就有平衡點(diǎn)線E={(x,y,z,w)|x=z=0,y=p,w=-ap/m},其中p是實(shí)數(shù);如果c≠0,系統(tǒng)(2)沒(méi)有平衡點(diǎn).根據(jù)隱藏吸引子的定義，分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)(2)能產(chǎn)生隱藏吸引子.

2 分?jǐn)?shù)階新系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為分析

2.1 基于系統(tǒng)參數(shù)的隱藏吸引子

首先,固定系統(tǒng)參數(shù)取值a=10,b=4,c=1,d=1,m=0.001,調(diào)整系統(tǒng)的階數(shù)qi(i=1,2,3,4),假設(shè)系統(tǒng)是等階分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)，即q1=q2=q3=q4=q.圖1給出幾個(gè)典型的隱藏吸引子.

a.q=0.82; b.q=0.91.

為了進(jìn)一步研究新系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為,分岔圖是比較有效的方式之一，以系統(tǒng)的階數(shù)為分岔參數(shù)，得到如圖2所示的分岔圖，q從0.82變化到0.99，可以看出，當(dāng)q=0.84時(shí)，系統(tǒng)產(chǎn)生切分岔，當(dāng)q?0.848時(shí)，系統(tǒng)呈現(xiàn)混沌態(tài).

圖2 分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)(2)隨系統(tǒng)階數(shù)q∈(0.82,0.99)變化的分岔圖

等階分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)是最簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)，因?yàn)椴坏入A系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為特別復(fù)雜，重點(diǎn)考慮幾種比較特殊的取值.系統(tǒng)(2)對(duì)應(yīng)的隱藏吸引子如圖3所示.可以看出，當(dāng)階數(shù)取值不同時(shí)，吸引子的狀態(tài)完全不同，如周期態(tài)和混沌態(tài).

a.q1=0.88,q2=0.88,q3=0.95,q4=0.95; b.q1=0.90,q2=0.90,q3=0.99,q4=0.99.

固定分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)的階數(shù)取值，觀察系統(tǒng)的隱藏吸引子狀態(tài).分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)的階數(shù)為q=0.95,調(diào)整參數(shù)b的取值.系統(tǒng)(2)的吸引子如圖4所示.當(dāng)參數(shù)的取值不同時(shí)，系統(tǒng)的隱藏吸引子可以為周期以及不同的混沌態(tài).圖5給出了系統(tǒng)隨b變化的分岔圖，可以發(fā)現(xiàn)和圖4的行為是吻合的.

a.b=1.70; b.b=1.98.

圖5 系統(tǒng)隨b變化的分岔圖

當(dāng)系統(tǒng)的部分參數(shù)取值為a=10,c=1,d=1,m=0.001,q=0.95，1.5≤b≤2.1,系統(tǒng)的分岔圖如圖5所示.當(dāng)1.5≤b≤1.9時(shí)，系統(tǒng)呈現(xiàn)出1周期和倍周期行為，之后出現(xiàn)混沌吸引子.

2.2 基于初始條件的隱藏吸引子

選取系統(tǒng)的階數(shù)為q=0.95，參數(shù)值為a=10,c=10,d=0.001,m=1,當(dāng)b=4.0,2.5,在不同的初始條件下，x(0)=y(0)=z(0)=w(0)=1和x(0)=y(0)=z(0)=w(0)=-1系統(tǒng)呈現(xiàn)共存吸引子，如圖6a,b所示.其中藍(lán)色線表示初始值為x(0)=y(0)=z(0)=w(0)=1,紅色線表示初始值為x(0)=y(0)=z(0)=w(0)=-1.當(dāng)調(diào)整參數(shù)取值為a=10,b=3.8,c=10,d=1,m=0.001,q=0.95和a=10,b=4.6,c=-10,d=1,m=0.001,q=0.95時(shí)，不同類型的隱藏吸引子如圖6c,d所示.其中藍(lán)色線表示初始值為x(0)=y(0)=z(0)=w(0)=1,紅色線表示初始值為x(0)=y(0)=z(0)=w(0)=-1.由圖6可以看出，當(dāng)系統(tǒng)的初始值不同時(shí)，分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)(2)呈現(xiàn)出不同類型的共存隱藏吸引子，如周期態(tài)、倍周期、混沌等.

a.b=4.0; b.b=3.6; c.b=3.8; d.b=4.6.

3 組合同步

首先給出組合同步的定義，考慮如下2個(gè)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)：

(4)

(5)

則對(duì)應(yīng)的響應(yīng)系統(tǒng)可以表述為

(6)

其中x=(x1,x2,…,xn)T,y=(y1,y2,…,yn)T,z=(z1,z2,…,zn)T表示狀態(tài)變量，函數(shù)f,g,h:Rn→Rn時(shí)是連續(xù)函數(shù)，U是待設(shè)計(jì)的控制器.

定義1對(duì)于2個(gè)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(4)(5)及響應(yīng)系統(tǒng)(6),若存在3個(gè)常值矩陣P,Q,K∈Rn且使得

(7)

成立，則稱驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了組合同步.選取矩陣為

P,Q,K=diag(1,1,…,1).

則2個(gè)驅(qū)動(dòng)可分別描述為

(8)

(9)

響應(yīng)系統(tǒng)可描述為

(10)

則誤差系統(tǒng)為

(11)

設(shè)計(jì)如下同步控制器：

(12)

同步誤差曲線如圖7所示.誤差曲線演化過(guò)程沒(méi)有規(guī)律，隨著時(shí)間推移，誤差曲線最終趨于0，在所設(shè)計(jì)控制器下，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)組合同步.

圖7 系統(tǒng)(10)(11)(12)的同步誤差曲線

4 結(jié) 論

提出了一個(gè)具有豐富動(dòng)力學(xué)行為的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng).此系統(tǒng)在一定條件下存在隱藏吸引子.調(diào)整分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)的階數(shù)和參數(shù)以及初始條件的取值范圍，新的分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)會(huì)呈現(xiàn)不同形態(tài)的隱藏吸引子和共存吸引子，包括周期、倍周期和混沌吸引子.同時(shí)研究了此系統(tǒng)的組合同步行為，設(shè)計(jì)了有效控制器，實(shí)現(xiàn)了組合同步，數(shù)值仿真驗(yàn)證了方案的有效性.