高忠社

(天水師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,甘肅 天水 741001)

0 引 言

金融系統(tǒng)是國家經(jīng)濟(jì)體系的重要組成部分，其穩(wěn)定的運(yùn)行對國家經(jīng)濟(jì)發(fā)展起著至關(guān)重要的作用.由于金融系統(tǒng)的復(fù)雜性和多變性，傳統(tǒng)的線性方法對于金融系統(tǒng)的預(yù)測與控制存在一定的局限性.因此，建立非線性金融系統(tǒng)，使用非線性方法研究金融系統(tǒng)是十分必要的.

分?jǐn)?shù)階模型與整數(shù)階模型的主要區(qū)別之一就是分?jǐn)?shù)階模型具有記憶功能，也就是說，分?jǐn)?shù)階模型取決于系統(tǒng)的記憶.分?jǐn)?shù)階微積分在人文社科領(lǐng)域、社會金融領(lǐng)域都有重要的應(yīng)用[1].金融與金融活動是包含需索主體因素的復(fù)雜非線性系統(tǒng)[2].因而，借助于分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)的混沌、分岔理論來研究金融系統(tǒng)的內(nèi)在復(fù)雜性是可行的，且在該方面已取得了一些重要的成果[3].

黃登仕等[4]在分析宏觀金融運(yùn)行規(guī)律的基礎(chǔ)上，建立了一個(gè)非線性混沌金融系統(tǒng)，該系統(tǒng)由生產(chǎn)子塊、貨幣、證券子塊和勞動力子塊組成.近年來很多學(xué)者對該系統(tǒng)進(jìn)行了深入研究，對于該系統(tǒng)的平衡點(diǎn)、穩(wěn)定周期、分形、Hopf分岔及混沌特征進(jìn)行了比較深入的分析，使用利率、投資需要、價(jià)格指數(shù)建立的一類非線性金融模型的動力學(xué)系統(tǒng)受到了諸多學(xué)者的關(guān)注，即含有以下3個(gè)變量的模型

(1)

其中x為利率，y為投資需要，z為價(jià)格指數(shù)，a≥0表示儲蓄量，b≥0表示投資成本，c≥0表示需求彈性.

對于模型(1)諸多學(xué)者進(jìn)行了深入的研究[5-8]，馬軍海等[6]研究了其平衡點(diǎn)、分岔及混沌同步與控制等問題，理論分析了當(dāng)代金融體的特點(diǎn).在2010年亞洲金融論壇上，國際貨幣基金組織總裁卡恩指出：“相對于發(fā)達(dá)國家而言，新興市場金融體的本土需求較富彈性，金融結(jié)構(gòu)較佳，單位投資成本比較低.”因而，保守地認(rèn)可，對于系統(tǒng)(1)當(dāng)c-b-abc?0是部分新興金融市場所具備的特點(diǎn)；當(dāng)c-b-abc≤0是部分非新興金融市場所具備的特點(diǎn).

本文中，筆者通過數(shù)值仿真研究了分?jǐn)?shù)階金融系統(tǒng)關(guān)于參數(shù)的復(fù)雜度，首先介紹了分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識；其次介紹了分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和數(shù)值方法；最后使用Garrppa提出的flmm2和fde12對系統(tǒng)(3)不同的參數(shù)用matlab進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，得到了不同情形下的數(shù)值圖形并做了分析總結(jié).

1 系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析與數(shù)值解法

引理1[9]對分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)

漸近穩(wěn)定的充分條件是矩陣A的特征值滿足如下條件:

(2)

以下分析分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)時(shí)該系統(tǒng)的穩(wěn)定性，對參數(shù)a,b,c的分岔行為，以及微分階數(shù)q的分岔情況.分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)使用Caputo導(dǎo)數(shù)，數(shù)值求解方法使用Diethelm等提出的預(yù)估校正法.分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)描述為

(3)

其中0?q?1.為了求系統(tǒng)平衡點(diǎn)[10]，

(4)

求解方程組(3)，得到以下結(jié)論：

2) 當(dāng)c-b-abc?0時(shí)，系統(tǒng)(3)有3個(gè)平衡點(diǎn)

系統(tǒng)(3)對應(yīng)的Jacobian矩陣為

(5)

根據(jù)在相應(yīng)的平衡點(diǎn)特征值進(jìn)行穩(wěn)定性分析，可參見文獻(xiàn)[6]中詳細(xì)的分析.

Jacobian矩陣(5)在P2,3(x,y,z)的特征多項(xiàng)式為

λ3+A1λ2+A2λ+A3=0，

其中

A3=-2b-2c+2abc.

根據(jù)Routh-Hurwitz定理，局部漸進(jìn)穩(wěn)定性條件為Ai?0,i=1,2,3,A1A2?A3，則有如下結(jié)果:

(6)

估計(jì)值為

(7)

其中

該方法的截?cái)嗾`差為

其中P=min{2,1+q}.

2 金融系統(tǒng)的動力學(xué)數(shù)值演化仿真

使用文獻(xiàn)[9-10]中Diethelm等所提出的flmm2方法進(jìn)行數(shù)值仿真，該方法是從整數(shù)階經(jīng)典的線性多步法發(fā)展而來的，使用Garrppa提出的flmm2和fde12對系統(tǒng)(3)選不同參數(shù)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn).微分階數(shù)對于研究系統(tǒng)(3)豐富的動力學(xué)行為有重要的影響作用.

固定其他系統(tǒng)參數(shù)，a=3,b=0.1,c=1，初值x(0)=0.1,y(0)=0.1,z(0)=0.1，微分階數(shù)q作為分岔參數(shù)的分岔圖如圖1所示.可見，當(dāng)0.86?q?1.00時(shí)，系統(tǒng)(3)進(jìn)入了混沌狀態(tài).不同參數(shù)系統(tǒng)對應(yīng)不同的相圖和時(shí)間歷程圖，結(jié)果見圖2.

圖1 當(dāng)q∈(0.86,1.00)時(shí)，系統(tǒng)(3)的分岔圖

圖2 當(dāng)q=0.963 1,a=5,b=0.1,c=1時(shí)，系統(tǒng)的相圖和時(shí)間歷程圖

通過選取金融系統(tǒng)(3)不同的階數(shù)，研究了該系統(tǒng)的動力學(xué)行為，結(jié)果表明，系統(tǒng)的微分階數(shù)對金融系統(tǒng)動力學(xué)行為產(chǎn)生了較大的影響，系統(tǒng)對不同的階數(shù)，吸引子有較大的差異.

為了研究系統(tǒng)(3)豐富的動力學(xué)行為，固定其他系統(tǒng)參數(shù)和微分階數(shù)，投資成本和需求彈性b=0.1,c=1，初值x(0)=0.1，y(0)=0.1，z(0)=0.1，q=0.960 1，系統(tǒng)儲蓄量a與價(jià)格指數(shù)的分岔圖見圖3.可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)a?8時(shí)，系統(tǒng)(3)處于不穩(wěn)定的混沌狀態(tài)，波動程度劇烈，對金融系統(tǒng)的穩(wěn)定性產(chǎn)生較大的沖擊，為防止金融市場的長期劇烈波動，市場需要做適當(dāng)?shù)恼{(diào)控；當(dāng)a=8時(shí)，系統(tǒng)(3)發(fā)生了霍普夫分岔，離開混沌狀態(tài)，進(jìn)入周期性運(yùn)動變化狀態(tài)，但仍是不穩(wěn)定狀態(tài)；當(dāng)a?8時(shí)，系統(tǒng)(3)處于漸進(jìn)穩(wěn)定狀態(tài)，整個(gè)金融市場能夠有序運(yùn)轉(zhuǎn).相圖和時(shí)間歷程圖如圖4，5所示.

圖3 當(dāng)a∈(0,12)時(shí)，分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)(3)的分岔圖

圖4 當(dāng)q=0.960 1,a=8,b=0.1,c=1時(shí)，系統(tǒng)的相圖和時(shí)間歷程圖

圖5 當(dāng)q=0.960 1,a=5,b=0.05,c=1時(shí)，系統(tǒng)的相圖和時(shí)間歷程圖

為了進(jìn)一步研究金融系統(tǒng)(3)豐富的動力學(xué)行為，給定系統(tǒng)儲蓄量和商品需求彈性,分別為a=5,c=1，系統(tǒng)初值x(0)=0.1，y(0)=0.1，z(0)=0.1，微分階數(shù)q=0.960 1，投資成本b作為分岔參數(shù)，分岔圖如圖6所示.可見，當(dāng)b?0.13時(shí)，系統(tǒng)(3)處于混沌狀態(tài)，即此時(shí)金融系統(tǒng)的震蕩比較劇烈，系統(tǒng)處于一種失控狀態(tài)，會產(chǎn)生較大的破壞作用，需要及時(shí)進(jìn)行宏觀的金融調(diào)控來抑制系統(tǒng)的震蕩；當(dāng)b=0.13時(shí)，系統(tǒng)(3)發(fā)生了霍普夫分岔，離開混沌狀態(tài)；當(dāng)b?0.13時(shí)，系統(tǒng)(3)從混沌狀態(tài)進(jìn)入周期軌道，金融系統(tǒng)處于規(guī)律的周期性運(yùn)動狀態(tài).對于系統(tǒng)不同的參數(shù)對應(yīng)不同的相圖和時(shí)間歷程圖，如圖7所示.

圖6 當(dāng)b∈(0,0.5)時(shí)，分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)(3)的分岔圖

圖7 當(dāng)q=0.960 1,a=5,b=0.2,c=1時(shí)，系統(tǒng)的相圖和時(shí)間歷程圖

為了研究系統(tǒng)(3)豐富的動力學(xué)行為，固定金融系統(tǒng)儲蓄量和投資成本，即系統(tǒng)參數(shù)a=5,b=0.1,給定初值x(0)=0.1,y(0)=0.1,z(0)=0.1，微分階數(shù)q=0.960 1，商品需求彈性c作為分岔參數(shù)，其分岔圖如圖8所示.可見，該分?jǐn)?shù)階非線性金融系統(tǒng)的運(yùn)動狀態(tài)呈現(xiàn)復(fù)雜的演化過程，隨著c的變化，系統(tǒng)會經(jīng)歷混沌到倍周期及周期運(yùn)動狀態(tài)，而當(dāng)c繼續(xù)增大時(shí)，系統(tǒng)又回到混沌狀態(tài)，繼而變化到最終的周期狀態(tài)，c取有限值時(shí)，盡管只反映了部分的運(yùn)動狀態(tài)，但仍然可以反映出該系統(tǒng)有非常復(fù)雜的動力學(xué)行為.

圖8 當(dāng)c∈(0,2)時(shí)，分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)(3)的分岔圖

當(dāng)c∈(0,0.8)時(shí)，系統(tǒng)(3)出現(xiàn)一系列的概周期軌道，該金融系統(tǒng)穩(wěn)定；當(dāng)c=0.8時(shí)，系統(tǒng)(3)發(fā)生了霍普夫分岔，進(jìn)入混沌狀態(tài)；當(dāng)0.8?c?1.6時(shí)，系統(tǒng)(3)進(jìn)入混沌狀態(tài)，金融系統(tǒng)出現(xiàn)震蕩，需要進(jìn)行宏觀調(diào)控；當(dāng)c=1.68時(shí)，系統(tǒng)(3)發(fā)生了霍普夫分岔；當(dāng)c?1.68時(shí),系統(tǒng)(3)從混沌狀態(tài)進(jìn)入概周期軌道，該系統(tǒng)進(jìn)入相對穩(wěn)定的狀態(tài).系統(tǒng)不同的參數(shù)對應(yīng)不同的相圖和時(shí)間歷程圖，可以定性分析金融系統(tǒng)的運(yùn)行狀況，如圖9，10，11所示.

圖9 當(dāng)q=0.960 1,a=5,b=0.1,c=1.3時(shí)，系統(tǒng)的相圖和時(shí)間歷程圖

圖10 當(dāng)q=0.960 1,a=5,b=0.1,c=1.8時(shí)，系統(tǒng)的相圖和時(shí)間歷程圖

圖11 當(dāng)q=0.960 1,a=5,b=0.1,c=2.0時(shí)，系統(tǒng)的相圖和時(shí)間歷程圖

通過為金融系統(tǒng)(3)選取不同的參數(shù)，研究系統(tǒng)(3)的動力學(xué)行為，結(jié)果表明，參數(shù)對系統(tǒng)的動力學(xué)行為有至關(guān)重要的影響，系統(tǒng)對不同的參數(shù)，吸引子會有很大的差異.

3 結(jié)束語

金融系統(tǒng)是一個(gè)國家金融體系的重要組成部分，它的穩(wěn)定運(yùn)行對于一個(gè)國家的金融發(fā)展起著至關(guān)重要的作用.金融混沌系統(tǒng)具有內(nèi)在不確定性，經(jīng)常出現(xiàn)極為復(fù)雜的現(xiàn)象，是非線性金融學(xué)動力學(xué)研究的重要內(nèi)容.定性地研究了分?jǐn)?shù)階金融系統(tǒng)的動力學(xué)行為，通過選取不同儲蓄量、投資成本和商品需求以及微分階數(shù)，得到系統(tǒng)在狀態(tài)參數(shù)下的吸引子及分岔圖.研究結(jié)果表明，分?jǐn)?shù)階金融系統(tǒng)有非常復(fù)雜的分岔行為，包括霍普夫分岔、鞍結(jié)分岔等形式，分別數(shù)值模擬了各金融指標(biāo)對分?jǐn)?shù)階金融系統(tǒng)復(fù)雜性演化行為的影響，得出了一些積極的研究結(jié)果，可以為金融管理部門調(diào)控金融系統(tǒng)提供理論依據(jù).