彭 灝，溫衛(wèi)平，張 培，孔璟常

（1.石家莊學院，河北石家莊 050035；2.哈爾濱工業(yè)大學土木工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001；3.煙臺大學土木工程學院，山東煙臺 264005）

引言

近年來，設計地震反應譜研究的熱點多集中于對傳統(tǒng)意義反應譜表達形式進行優(yōu)化，不同類型場地中的反應譜的計算以及對傳統(tǒng)振型分解反應譜法進行計算精度方面的改進等。Rita等［1］發(fā)展了一種基于損傷的非線性譜，考慮了結構損傷以及剛度退化等因素。Alexander 等［2］對反應譜中的震源因素的不確定性進行了研究。曾永平等［3］進行了近斷層地震反應譜特性分析研究。韓昕等［4］給出了一種新的設計反應譜表達方式，并提出新的場地相關反應譜的標定方法。李建波等［5］發(fā)展了基于包絡圓的改進振型反應譜法，并指出該方法用于鋼混結構偏心受力構件中，與傳統(tǒng)的振型分解反應譜法相比可節(jié)省一定的配筋率。肖詩穎等［6］討論了指數(shù)阻尼體系地震反應的振型分解反應譜方法，推導了指數(shù)阻尼系統(tǒng)以反應譜表示的地震作用計算公式。

但目前的設計反應譜僅能反映結構峰值反應，無法體現(xiàn)結構反應隨時間的變化。文中提出一種線性單自由度體系彈性能量半徑演化譜，其峰值與結構的峰值位移反應近似相等，且能體現(xiàn)結構反應隨地震持時的變化。在此基礎上文中發(fā)展了一種計算多自由度線性體系地震反應的方法，與振型組合法及時程分析法的結果對比表明，對振型密集結構，該方法計算簡便且較傳統(tǒng)的振型組合CQC法更精確，適合抗震設計使用。

1 彈性能量半徑演化譜的概念

一個固有頻率為ω0，質量為m的線性單自由度體系，其在地震作用下的運動方程為：

將上述方程兩邊乘以速度，并且對時間進行積分，可得：

式中：c，k分別為結構的阻尼和剛度；˙，u分別為結構的相對加速度，相對速度和相對位移為地面加速度；Ek為結構動能；Eξ為阻尼耗能；Ep為彈性勢能；Ei為地震輸入總能量，

將此單自由度體系的反應用相位圖的形式來表示（也即以位移和速度與固有頻率的比值分別為橫縱坐標軸），在這樣的表示方法下，軌跡上任何一點與原點連線的長度提供了一個彈性結構能量Ee的量度（也就是動能Ek與勢能Ep之和），即：

則式（5）可以進一步寫成：

整個軌跡中的最大半徑r就對應了結構所對應的最大彈性能量級。r由Valles［7］首次定義，并被命名為彈性能量半徑。其還指出r與結構能量相關，并具有長度的單位，此外，r的最大值近似等于結構的峰值位移。如圖1所示為周期0.5 s，阻尼比5%的單自由度體系在El Centro 波作用下的實際地震反應相位圖，彈性能量半徑最大值與峰值位移均為0.467 m。

圖1 自振周期0.5 s，阻尼比5%的單自由度體系實際地震反應彈性能量半徑的變化（圖中箭頭所示為最大半徑）Fig.1 Change of elastic energy radius in SDOF with period 0.5 s and damping ratio 5%（the arrow stands for the maximum radius）

但是，在Valles 的研究中，僅關注了彈性能量半徑的最大值，不能反映結構彈性能量隨時間的變化。在此基礎上，文中提出了彈性能量半徑演化譜，可以反映線性單自由度體系彈性能量半徑隨時間的變化。下面給出利用地震動演化功率譜得到彈性能量半徑演化譜的方法。

2 彈性能量半徑演化譜的生成

Kameda［8］指出一個單自由度的線性振子受到地震地面加速度隨機過程X(t)的激勵時，運動過程可表示成式（8）的形式：

采用振子的總能量Q(t)，定義如下的隨機過程：

式中：k是振子的剛度，對于阻尼比β0＜＜1的情況，R(t)是一個平滑的時間函數(shù)，代表Y(t)的包絡過程。

假定地震動演化功率譜密度函數(shù)G(t,ω0)與單位脈響函數(shù)的衰減段相比是緩慢變化的（Kameda 認為阻尼比在0.05～0.2 范圍內，均滿足這一假定），因此振子的瞬態(tài)響應將被忽略，此時Y(t)的均方值可以寫成以下形式：

根據(jù)式（10），當單自由度體系滿足阻尼比0.05～0.2 的假定條件時，任一時刻結構的地震反應均可以用平穩(wěn)反應來近似。上文已經(jīng)提到，R(t)可以看做Y(t)的包絡過程，需要注意的是，此包絡過程R(t)即是結構在任一時刻的彈性能量半徑值。因此，只需計算R(t)的平均值E[R(t)]，就可以得到彈性能量半徑演化譜。

對于平穩(wěn)反應來說，已經(jīng)證明其包絡過程服從rayleigh分布，其均值由式（11）給出：

式中，eR為包絡過程的均值?？梢姡绻阎狦(t,ω0)，則可由式（10）計算任意時刻的方差σ2Y(t)，然后代入式（11）即可得到包絡過程的均值E[R(t)]，按下式計算：

文中采用了Sugito［9］根據(jù)基巖場地地震動記錄計算并統(tǒng)計得到的表達式，該表達式可以在給出震級和震源距的情況下估計地震動演化功率譜密度，如式（13）所示：

其中αm(f)，ts(f)，tp(f)是根據(jù)震級和震源距擬合出來的參數(shù)。由式（12）、式（13）可知，對于一個自然頻率為f的單自由度結構，其彈性能量半徑在ts(f) +tp(f)時刻達到峰值。

圖2給出了周期0.1～10 s單自由度線性體系（阻尼比均為5%）在震源距R=60 km，震級M=7.0級，場地類型為基巖場地的情況下的彈性能量半徑演化譜?？梢钥闯?，該譜既能反映平均意義上的地震作用下彈性能量半徑（結構位移）的峰值，又能體現(xiàn)結構彈性能量隨時間參數(shù)的變化。

圖2 M=7.0，R=60 km，自振周期0.1～10 s，阻尼比5%線性單自由度體系彈性能量半徑演化譜Fig.2 Elastic energy radius evolutionary spectra in single degree of freedom system（M=7.0，R=60 km period 0.1～10 s，damping ratio 5%）

圖3～圖5 分別給出了不同條件下的線性單自由度體系的彈性能量半徑演化譜。此時，該譜由三維形式退化為二維形式，僅包含持時和彈性能量半徑兩個坐標軸。

圖3 M=7.0，R=60 km 自振周期0.5，1，2 s，阻尼比5%線性單自由度體系彈性能量半徑演化譜Fig.3 Elastic energy radius evolutionary spectra in single degree of freedom system（M=7.0，R=60 km period 0.5，1，2 s，damping ratio 5%）

圖4 M=7.0，R=50，60，70 km，自振周期1 s，阻尼比5%線性單自由度體系的彈性能量半徑演化譜Fig.4 Elastic energy radius evolutionary spectra of SDOF（M=7.0，R=50，60，70 km，period 1 s，damping ratio 5%）

圖5 R=60 km，M=6.0，7.0，8.0，自振周期1 s，阻尼比5%線性單自由度體系的彈性能量半徑演化譜Fig.5 Elastic energy radius evolutionary spectra in single degree of freedom system（M=6.0，7.0，8.0，R=60 km，period 1 s，damping ratio 5%）

3 多自由度結構地震位移反應計算

雖然文中彈性能量半徑演化譜的推導基于單自由度結構，但是結論可以推廣至多自由度體系。根據(jù)結構動力學相關知識，某一受地震作用的多自由度體系，其地震位移反應u(t)可以按照振型分解為：

式中，γj、{φj} 、Dj(t)分別為第j階振型的振型組合系數(shù)，振型向量和等效單自由度體系的位移。

目前，我國現(xiàn)行抗震規(guī)范［10］中多自由度地震峰值位移反應的計算方法，主要有振型分解反應譜和時程分析法2 種。其中振型分解反應譜法按照振型組合方式又可以分為SRSS 法和CQC 法，其中SRSS 法主要適用于不同振型周期相差較大的情況，對于不同振型周期接近或者存在平動-扭轉耦聯(lián)的情況，則推薦采用CQC法。

若假設所有振型的最大值發(fā)生在相同時刻，通過絕對值相加對振型進行組合，這種組合方法過于保守［11］。而彈性能量半徑恰好反映了不同振型能量峰值沿時間軸的分布。

根據(jù)隨機振動理論［12］，由于振型等效單自由度線性體系在地震激勵下的反應頻率成分比較單一，其結構自振頻率ωj組分占絕對優(yōu)勢，因此整個反應歷程Dj(t)可看做窄帶平穩(wěn)反應，可根據(jù)其包絡Rj(t)以及相位θ(t)寫成如下形式［12］：

相位θ(t)又可以進一步寫成：

式中αj(t)稱為相位差，跟Dj(t)相比是慢變的，在整個反應歷程當中可看做不變量。因此式（16）可以進一步寫成：

上文已經(jīng)提到，Dj(t)的最大值與Rj(t)的最大值近似相等，假設當t=tm時Dj(t)取得最大值，根據(jù)（15）可知此時Rj(t)也必然近似取得最大值，也即簡諧運動項的值近似為1，此時令：

從而可以得到：

因此，

式中tm可取為彈性能量半徑演化譜峰值時刻，即tm=ts+tp。

將式（20）代入式（14）即可得利用彈性能量演化譜計算多自由度體系的地震位移反應的方法式（21），根據(jù)式（21）即可求得峰值位移反應，

4 計算示例

（1）某位于基巖場地的3層框架結構，質量和剛度分布均勻，各振型周期、振型參與系數(shù)見表1，試確定其在震級M=7.0，震源距R=50，60，70 km的平均地震作用下頂點的峰值位移反應（假設各振型阻尼比均為5%）。

表1 3層框架結構振型數(shù)據(jù)Table 1 Modes data of 3-floor frame structure

按照現(xiàn)行抗震規(guī)范，此類結構采用SRSS 法或彈性能量演化譜法（以下簡稱演化譜法）進行計算時，將前3 階振型進行組合，所采用的演化譜如圖2 所示，并按照各振型等效單自由度體系位移峰值與彈性能量半徑峰值相等計算。2種方法計算結果同列于表2。

表2 3層框架結構計算結果匯總Table 2 Calculation results summary of 3-floor frame structure

結果顯示，3種工況下演化譜法的計算結果均與SRSS接近，誤差均在±5%以內，這也間接證明了演化譜法的正確性。

（2）某位于基巖場地的7層質量剛度分布不均勻的框架結構，各振型周期十分接近，各振型周期、振型參與系數(shù)見表3，試確定其在震級M等于7.0、8.0，震源距R分別等于50，60，70 km 共6 種工況下的頂點峰值位移反應（假設各振型阻尼比均為5%）。

表3 7層框架結構振型數(shù)據(jù)Table 3 Modes data and of 7-floor frame structure

本算例采用CQC 法，演化譜法以及時程分析法進行計算結果對比。按照現(xiàn)行抗震規(guī)范，采用CQC 法或演化譜法計算時將前14階振型組合，所采用的演化譜如圖2所示，并按照各振型等效單自由度體系位移峰值與彈性能量半徑峰值相等計算。CQC法相關系數(shù)的計算參照規(guī)范相關規(guī)定。

時程分析法同時選取3 條人工地震波和4 條實際地震波進行計算。實際地震波選用El Centro（1940），San Fernando Pocoima Dam（1971），Mexico city（1985），Northridge（1994），并根據(jù)基巖場地條件下震級、震源距和峰值地面加速度的對應關系，將峰值地面加速度進行統(tǒng)一調整［13］。根據(jù)參考文獻［9］中給出的方法，以各種工況下的基巖場地地震動演化功率譜作為目標功率譜，并利用其生成人工地震波。

所選用地震波的峰值地面加速度（PGA）如表4所示。計算結果同列于表5。結果顯示：

表5 7層框架結構計算結果匯總Table 5 Calculation results summary of 7-floor frame structure

（1）各工況下演化譜法計算結果均明顯大于CQC法，且結果誤差較穩(wěn)定。

（2）演化譜法計算結果較CQC 法更接近于時程分析法，對M=7.0 的3 種工況，演化譜法計算結果與時程分析法十分接近，但對M=8.0的3種工況，演化譜法計算結果較時程分析法，尚有一定誤差。這主要是由于，M=8.0 所對應的3 種工況，人工地震動的峰值地面加速度明顯小于實際地震動的峰值地面加速度（見表4）。由于所采用的地震動演化功率譜的模型誤差，此3種工況下，人工地震動取得與實際地震動相當?shù)姆逯档孛婕铀俣仁掷щy。實際地震動所取的峰值地面加速度較大，直接造成了此3 種工況的時程分析法位移計算均值也偏大，從而造成了較大的計算誤差。

表4 計算用地震波峰值加速度Table 4 Peak ground acceleration of seismic wave for calculation

（3）總體而言，演化譜法計算精度遠高于CQC法。

5 結論

（1）提出了彈性能量半徑演化譜，用于描述地震過程中結構彈性能量隨時間的變化，該譜可反映平均意義上線性多自由度體系各振型能量達到峰值的時間差異。

（2）利用演化譜發(fā)展了多自由度體系地震位移反應計算方法，對于質量剛度分布均勻結構（振型稀疏結構），該方法計算結果與振型SRSS 組合法相同；但對于質量剛度分布不均勻結構（振型密集結構）而言，與傳統(tǒng)振型組合CQC法相比，該方法計算結果與時程分析法更為接近，準確性明顯提高。

（3）文中的彈性能量半徑演化譜是利用基巖場地的地震動演化功率譜得到的。同理，若已知其它場地類型的地震動演化功率譜，則同樣可通過文中提供的方法，得到該場地類型下的彈性能量半徑演化譜.由此可見，采用準確合理的地震動演化功率譜模型是利用本方法獲得較好計算結果的關鍵。