董姍姍，齊 雪，宮原野

（1.安徽科技學(xué)院信息與網(wǎng)絡(luò)工程學(xué)院，安徽 蚌埠 233100；2.蚌埠學(xué)院計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院，安徽 蚌埠 233030）

差分方程是解決離散型數(shù)學(xué)問題的有力工具[1-2]，在通信[3]、計(jì)算機(jī)[4]、理論力學(xué)[5]等領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用。文獻(xiàn)[6]指出，差分方程的實(shí)質(zhì)是離散型隨機(jī)變量的迭代關(guān)系式，由它可以遞歸定義一個離散序列，而這種離散的迭代關(guān)系就是通過差分方程來定義。Z變換是一種重要的信號變換工具，其作用是將離散時域信號轉(zhuǎn)換到Z域進(jìn)行分析，在電子通信技術(shù)和計(jì)算機(jī)領(lǐng)域中有著重要的研究價值。特別是在設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器、數(shù)據(jù)平滑等領(lǐng)域有著重要作用[7]。網(wǎng)絡(luò)工程專業(yè)中，求離散型隨機(jī)變量解的問題是離散數(shù)學(xué)內(nèi)容中的重要知識點(diǎn)[8-10]。離散信號對系統(tǒng)的影響，常采用差分方程建立系統(tǒng)模型，并通過數(shù)值方法得出系統(tǒng)的輸出響應(yīng)[11-12]。但是學(xué)生對這個推導(dǎo)過程很陌生，不明白具體的解題方法。針對這種情況，本研究采用Z變換分析一類常系數(shù)差分方程，在不同離散函數(shù)作為激勵的作用下，根據(jù)Z變換的性質(zhì)，推導(dǎo)出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

1 預(yù)備知識

定義1：設(shè)離散函數(shù)f(k)（k=0，±1，±2…），z為復(fù)頻域變量，則函數(shù)為函數(shù)f(k)的雙邊Z變換。

定義2：設(shè)離散函數(shù)f(k)（k=0，±1，±2…），z為復(fù)頻域變量，則函數(shù)為函數(shù)f(k)的單邊Z變換，其中ε(k)為離散單位階躍序列。

2 常用函數(shù)的Z變換

例1：求指數(shù)序列f(k)=akε(k)的Z變換，其中，|a|＜ |z|。

解：

例2：求單邊正弦序列sin(βk)ε(k)和單邊余弦序列cos(βk)ε(k)的Z變換。

例3：求階躍序列ε(k)的Z變換。

3 利用Z變換求解常系數(shù)線性差分方程

例1：求常系數(shù)齊次差分方程y(k)-y(k-1)-2y(k-2)=0，y(0)=0，y(1)=3的解。

將上式進(jìn)行Z變換的反變換可得：y(k)=2kε(k)-(-1)kε(k)。

例2：求常系數(shù)非齊次差分方程y(k)+3y(k-1)+2y(k-2)=ε(k)，y(-1)=0，y(-2)=0.5的解。

解：令y(k)?Y(z)，對上述差分方程求Z變換得以下式子。

解：令y(k)?Y(z)，對上述差分方程求Z變換得以下式子。

4 結(jié)果與討論

Z變換是分析離散函數(shù)重要的工具，常用來分析離散系統(tǒng)的輸出響應(yīng)，在網(wǎng)絡(luò)工程專業(yè)的離散數(shù)學(xué)基礎(chǔ)有著重要的作用。本研究針對學(xué)生做題過程中對離散系統(tǒng)傳遞函數(shù)不熟悉的推導(dǎo)過程及系統(tǒng)輸出響應(yīng)的求解方法給出具體實(shí)例，根據(jù)Z變換的定義、性質(zhì)推導(dǎo)出常見函數(shù)Z變換的具體方法。在一類常系數(shù)差分方程求解過程中，通過引入Z變換，分析得出在不同離散函數(shù)作用下差分方程解的具體步驟，能夠降低差分方程求解難度，豐富差分方程的解法，對網(wǎng)絡(luò)工程專業(yè)離散系統(tǒng)分析的教學(xué)過程有著一定的指導(dǎo)作用。