劉馳，田成軍，史俊，楊捷

（長(zhǎng)春理工大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，長(zhǎng)春 130022）

目前機(jī)械臂在制造業(yè)中得到廣泛應(yīng)用，而制造業(yè)自動(dòng)化的要求越來(lái)越高，因此對(duì)機(jī)械臂自主抓取的工作精度和運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)度的要求也越來(lái)越高［1］。目前對(duì)抓取作業(yè)機(jī)器人的研究主要在怎么使它基于目標(biāo)位置，準(zhǔn)確地規(guī)劃出空間路徑，并且連續(xù)且穩(wěn)定地沿著路徑運(yùn)動(dòng)。其中利用拋物線、多項(xiàng)式以及不同曲線相結(jié)合的算法是主流的機(jī)械臂軌跡規(guī)劃算法［2］。趙智勇等人［3］對(duì)Dobot機(jī)器人進(jìn)行了正運(yùn)動(dòng)學(xué)和逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析建模，并采用五階樣條曲線進(jìn)行軌跡規(guī)劃，為機(jī)器人的實(shí)際應(yīng)用提供了相應(yīng)的理論依據(jù)。李楊等人［4］采用五次多項(xiàng)式插值方法在機(jī)械臂的關(guān)節(jié)空間進(jìn)行軌跡規(guī)劃，并給出了機(jī)械臂的工作空間范圍。由于五次樣條算法相對(duì)簡(jiǎn)單，運(yùn)算量小，因此在實(shí)際工程中比較常用，但是關(guān)節(jié)位移比較大，容易造成機(jī)械臂的振動(dòng)和沖擊，影響機(jī)械臂工作的平穩(wěn)性，是該算法應(yīng)用的局限性［5］。張蕾［6］提出采用七次樣條曲線插值方法在關(guān)節(jié)空間進(jìn)行軌跡規(guī)劃，結(jié)果表明穩(wěn)定性優(yōu)于五次樣條曲線插值方法。

本文以四自由度機(jī)器人Open-Manipulator為對(duì)象，利用Matlab中的Robotics Toolbox工具箱建立了機(jī)械臂模型，并根據(jù)抓取功能需求進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析；采用七次樣條曲線方法在關(guān)節(jié)空間對(duì)目標(biāo)抓取過(guò)程進(jìn)行軌跡規(guī)劃，并在Matlab中進(jìn)行建模仿真，結(jié)果表明，機(jī)器人軌跡規(guī)劃滿足應(yīng)用需求，能夠?qū)δ繕?biāo)準(zhǔn)確地抓取，且機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)能保持平穩(wěn)，該研究為Open-Manipulator機(jī)器人進(jìn)一步研究提供了相應(yīng)的理論依據(jù)。

1 Open-Manipulator機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

1.1 Open-Manipulator機(jī)器人結(jié)構(gòu)模型

一個(gè)串聯(lián)的機(jī)械臂通常被看作由一系列被稱為連桿的剛體組合而成，這些連桿由關(guān)節(jié)進(jìn)行有機(jī)地連接。Open-Manipulator機(jī)械臂共有五個(gè)關(guān)節(jié)，都是旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，但是關(guān)節(jié)5只能控制夾爪開(kāi)合，并不改變末端執(zhí)行器的位姿，因此Open-Manipulator為4R模型。Open-Manipulator機(jī)械臂的本體結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 open-manipulator機(jī)械臂本體結(jié)構(gòu)

根據(jù)圖1中機(jī)械臂的本體結(jié)構(gòu)，采用改進(jìn)的D-H表示法［7］，可建立坐標(biāo)系的簡(jiǎn)化圖，如圖2所示。

圖2 open-manipulator機(jī)械臂的連桿坐標(biāo)系

根據(jù)圖2中的機(jī)械臂連桿坐標(biāo)系，可得出機(jī)械臂的各個(gè)關(guān)節(jié)角、連桿偏移、連桿長(zhǎng)度和連桿轉(zhuǎn)角參數(shù)，如表1所示。表1中，各個(gè)連桿參數(shù)分別為d1=77 mm，a2=135 mm，a3=124 mm，α1=pi/2。抓取動(dòng)作是橫向抓取，可使夾爪始終與水平面平行，來(lái)提高運(yùn)動(dòng)學(xué)求解的效率和準(zhǔn)確度，因此可得：

表1 四自由度機(jī)械臂D-H參數(shù)表

表1中，i表示機(jī)器人的各個(gè)關(guān)節(jié)；θi表示以Zi軸方向看，Xi-1和Xi之間的夾角（也稱關(guān)節(jié)角）；di表示沿著Zi方向看，Xi-1和Xi之間的距離（也稱連桿偏移）；ai-1表示沿著Xi-1方向看，Zi-1和Zi之間的距離（也稱連桿長(zhǎng)度）；αi-1表示以Xi-1方向看，Zi-1和Zi之間的夾角（也稱連桿轉(zhuǎn)角）。

1.2 Open-Manipulator正運(yùn)動(dòng)學(xué)求解

根據(jù)改進(jìn)的D-H參數(shù)轉(zhuǎn)換法則，由表1中的數(shù)據(jù)可得各坐標(biāo)系齊次變換矩陣分別為：

將式（2）中的矩陣相乘，得機(jī)器人末端執(zhí)行器坐標(biāo)系和基座坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為：

1.3 Open-Manipulator逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解

機(jī)械臂的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解表示給定機(jī)器人末端執(zhí)行器相對(duì)于參考坐標(biāo)系的期望位姿，求解所需的機(jī)械臂各個(gè)關(guān)節(jié)角［9］。將Open-Manipulator機(jī)械臂各連桿之間的齊次變換矩陣相乘，可得到末端執(zhí)行器相對(duì)于基座的位姿方程為：

由式（3）和式（4）相等，可得：

令式（6）兩邊矩陣元素（2，4）分別對(duì)應(yīng)相等，得pycosθ1-pxsinθ1=0，從而可求得：

令式（6）兩邊矩陣元素（1，4）和（3，4）分別對(duì)應(yīng)相等，得：

令式（8）方程兩邊平方之后相加，整理得：

由式（9）和反三角函數(shù)可求出θ3。

將式（8）展開(kāi)，并整理得：

由式（10）進(jìn)一步求得：

因此，根據(jù)期望點(diǎn)的位姿可由式（7）、式（9）、式（11）和式（12）求出各個(gè)關(guān)節(jié)角θ1～θ4。

2 Open-Manipulator機(jī)械臂軌跡規(guī)劃

軌跡規(guī)劃分為笛卡爾空間軌跡規(guī)劃和關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃［10］。關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃計(jì)算量比較小，實(shí)時(shí)性更強(qiáng)，常用的為基于多項(xiàng)式插值和基于線性插值，基于多項(xiàng)式插值的運(yùn)動(dòng)軌跡、速度、加速度時(shí)間相關(guān)變化曲線更為光滑連續(xù)，即軌跡精度較好［11］。其中七次多項(xiàng)式插值比三次、五次運(yùn)動(dòng)性能平穩(wěn)，因而本文采用七次多項(xiàng)式插值方法［12］進(jìn)行關(guān)節(jié)空間中的軌跡規(guī)劃，設(shè)計(jì)一個(gè)由機(jī)械臂個(gè)關(guān)節(jié)角度、速度、加速度的時(shí)間序列構(gòu)成的位姿軌跡，在作業(yè)任務(wù)和精度的保證下，使機(jī)械臂末端執(zhí)行器能盡可能沿著既定的位姿軌跡去抓取一個(gè)物體，設(shè)七次多項(xiàng)式：

對(duì)式（13）分別求一階、二階、三階導(dǎo)數(shù)，得：

各關(guān)節(jié)在起點(diǎn)和終點(diǎn)的角度、角速度、角加速度和角加加速度的約束條件為：

由式（13）和式（14）可求得約束條件為：

令式（15）和式（16）等式右邊分別相等，得到含有8個(gè)未知量的8個(gè)方程，聯(lián)立成矩陣方程為：

式（17）是形式為Θi=T8×8(tf)?A的矩陣方程，其中A是待定系數(shù)a0～a7組成的向量，Θi為約束條件組成的向量，是已知向量，T8×8(tf)為系數(shù)矩陣，只與tf有關(guān)，又tf≠ 0，則det(T8×8(tf)) ≠ 0，因此方程有唯一解，A=T8×8(tf)-1?Θi，即求得待定系數(shù)a0～a7，進(jìn)而可求得七次多項(xiàng)式的表達(dá)式。

3 Matlab運(yùn)動(dòng)學(xué)建模與仿真

首先，構(gòu)建機(jī)械臂模型。以表1中的D-H參數(shù)為依據(jù)，利用 Matlab 中的 Robotics Toolbox［13］中工具箱中的Link分別進(jìn)行各個(gè)關(guān)節(jié)構(gòu)建，利用SerialLink函數(shù)將各個(gè)關(guān)節(jié)進(jìn)行有機(jī)整合實(shí)現(xiàn)整個(gè)機(jī)械臂模型的構(gòu)建。建立的四自由度機(jī)械臂模型，如圖3所示。其中紅色代表機(jī)械臂的關(guān)節(jié)，藍(lán)色代表連桿。

圖3 機(jī)器人初始狀態(tài)

完成機(jī)械臂模型構(gòu)建之后，要使機(jī)械臂完成從起始點(diǎn)到目標(biāo)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，需要進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)軌跡規(guī)劃，本文采用七次樣條插值方法進(jìn)行點(diǎn)到點(diǎn)的軌跡規(guī)劃。已知在操作空間的笛卡爾坐標(biāo)系［14］中的一點(diǎn)，先用逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解方法，求出各關(guān)節(jié)對(duì)應(yīng)的角度，然后對(duì)其進(jìn)行七次多項(xiàng)式插值，得到角度、加速度、角加速度的時(shí)間相關(guān)變化曲線。

本文四自由度機(jī)械臂主要實(shí)現(xiàn)的是對(duì)目標(biāo)物體的抓取。設(shè)機(jī)器人初始狀態(tài)為A，抓取時(shí)設(shè)定一個(gè)過(guò)渡位姿B，在B處各個(gè)關(guān)節(jié)的角度為：qb=[0 1.570 8-0.7854-0.7854]，現(xiàn)設(shè)定C=( )208,0,176為目標(biāo)物體在基座坐標(biāo)系中的空間位置。依據(jù)1.3節(jié)中逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)求解方法可得姿態(tài)C時(shí)各個(gè)關(guān)節(jié)的角度為qc=[0-0.5236 0.9512 0.4451]，則得到初始位姿A、過(guò)渡位姿B、目標(biāo)位姿C時(shí)機(jī)械臂各關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)角度，采用七次多項(xiàng)式插值算法進(jìn)行軌跡規(guī)劃，設(shè)定四自由度機(jī)械臂抓取運(yùn)動(dòng)的仿真時(shí)間是2 s，時(shí)間間隔為0.02 s，各個(gè)關(guān)節(jié)角速度、角加速度、角加加速度的邊界約束條件設(shè)置為0，機(jī)械臂末端的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖4所示。B到C過(guò)程中，各個(gè)關(guān)節(jié)的角度、角速度、角加速度隨時(shí)間的變化曲線分別如圖5、圖6和圖7所示。

圖4 機(jī)械臂末端運(yùn)動(dòng)軌跡

圖5 各關(guān)節(jié)角度隨時(shí)間變化曲線

圖6 各關(guān)節(jié)角速度隨時(shí)間變化曲線

圖7 各關(guān)節(jié)角加速度隨時(shí)間變化曲線

圖4為四自由度機(jī)械臂末端在BC段運(yùn)動(dòng)的軌跡曲線，從中可看出整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程均變化連續(xù)，沒(méi)有突變，各連桿均未出現(xiàn)錯(cuò)位情況，符合機(jī)械臂對(duì)目標(biāo)物體平穩(wěn)抓取的要求。圖5—圖7為各個(gè)關(guān)節(jié)的角度、速度和加速度隨時(shí)間的變化曲線，均平滑，沒(méi)有突變，故實(shí)現(xiàn)了機(jī)械臂平穩(wěn)的抓取軌跡規(guī)劃。

4 結(jié)論

本文采用改進(jìn)的D-H參數(shù)建模方法對(duì)四自由度機(jī)械臂Open-Manipulator進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)建模，實(shí)現(xiàn)了運(yùn)動(dòng)學(xué)正解和逆解計(jì)算；根據(jù)機(jī)器人工作特點(diǎn)，采用七次多項(xiàng)式插值的方法在關(guān)節(jié)空間對(duì)Open-Manipulator機(jī)械臂進(jìn)行軌跡規(guī)劃，在Matlab平臺(tái)下仿真實(shí)現(xiàn)了機(jī)械臂目標(biāo)抓取的運(yùn)動(dòng)控制，得到了運(yùn)動(dòng)過(guò)程中各關(guān)節(jié)角度、角速度、角加速度隨時(shí)間變化的曲線。結(jié)果表明，在抓取運(yùn)動(dòng)目標(biāo)過(guò)程中，機(jī)械臂末端的運(yùn)動(dòng)曲線連續(xù)，沒(méi)有抖動(dòng)，各關(guān)節(jié)角度、速度及角加速度隨時(shí)間變化曲線也連續(xù)，沒(méi)有突變，實(shí)現(xiàn)了機(jī)械臂平穩(wěn)且連續(xù)的運(yùn)行，該軌跡規(guī)劃方法是一種準(zhǔn)確且穩(wěn)定的方法，為以后Open-Manipulator機(jī)械臂的研究和應(yīng)用提供了理論依據(jù)。