邱呂琳，張志堅，蔡光程，鐘 慧

（昆明理工大學(xué) 理學(xué)院，云南 昆明 650500）

0 引言

隨著當今社會經(jīng)濟與科技的飛速發(fā)展，互聯(lián)網(wǎng)已成為一個重要的新媒體，在人們的學(xué)習(xí)、工作、生活等各個方面扮演著不可或缺的角色。社交網(wǎng)絡(luò)以人際關(guān)系網(wǎng)為基礎(chǔ)，近年來發(fā)展迅速，正逐漸融入人們的日常生活并發(fā)揮重要影響，極大豐富了人們的各種需求。與此同時，在線社交網(wǎng)絡(luò)使得人們不再受到時間、空間限制，可快捷接收外界信息，并實時參與熱點話題討論，發(fā)表自己的觀點。在線社交網(wǎng)絡(luò)在傳播方面已顯示出強大的影響力，例如，“澳洲森林山火”“全球新冠病毒”等新聞事件在微博不斷實時發(fā)布消息等。在線社交網(wǎng)絡(luò)信息傳播對于生活和社會發(fā)展有著深遠影響，因此受到了研究者們的廣泛關(guān)注。

近年來在線社交網(wǎng)絡(luò)信息傳播研究取得了許多進展，使人們能夠從信息傳播角度進一步理解社交網(wǎng)絡(luò)的屬性和規(guī)則。本文旨在分析在線社交網(wǎng)絡(luò)的信息傳播現(xiàn)象，了解信息傳播規(guī)律，并根據(jù)相關(guān)規(guī)律進行引導(dǎo)，從而更好地進行信息傳播，同時最大限度減少虛假消息和不良消息的傳播。要想獲取信息傳播規(guī)律，需要分析社交網(wǎng)絡(luò)圖。然而，目前在分析社交網(wǎng)絡(luò)圖時，采用最短路徑、介數(shù)中心性、聚類系數(shù)和度分布等度量指標研究與認識在線社交網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。雖然這些指標足以提供網(wǎng)絡(luò)圖在特定方面的信息，但無法提供在線社交網(wǎng)絡(luò)的全面特征。在線社交網(wǎng)絡(luò)存在太多不確定信息，如網(wǎng)絡(luò)節(jié)點分布很難確定，且在線社交網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點數(shù)量特別龐大，會隨著時間不斷變化，屬于動態(tài)網(wǎng)絡(luò)，所以對在線社交網(wǎng)絡(luò)進行全面可視化是一個很有意義的問題。因此，本文從拓撲角度分析在線社交網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu)，對在線社交網(wǎng)絡(luò)進行全面分析。拓撲學(xué)中的持續(xù)同調(diào)為社交網(wǎng)絡(luò)圖中存儲信息的全面可視化表示提供了一種新方法。

大量研究致力于理解在線社交網(wǎng)絡(luò)的相關(guān)熱點問題，主要研究方法已從早期社會學(xué)研究領(lǐng)域的實證研究轉(zhuǎn)向基于小數(shù)據(jù)集的理論研究與驗證。本文主要利用持續(xù)同調(diào)方法和代數(shù)拓撲的一些知識提取在線社交網(wǎng)絡(luò)的拓撲特征，并基于這些特征分析在線社交網(wǎng)絡(luò)傳播。

在線社交網(wǎng)絡(luò)分析可總結(jié)為3個方面：在線社交網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)特征和演化機制，在線社交網(wǎng)絡(luò)群體行為形成和互動規(guī)律，在線社交網(wǎng)絡(luò)信息傳播規(guī)律和演化機制。在早期社會學(xué)與圖論的研究基礎(chǔ)上，Kempe 等提出的線性閾值模型LTM（Linear Threshold Model）和獨立級聯(lián)模型ICM（Independent Cascade Model）以及借鑒醫(yī)學(xué)研究的傳染病模型SIR（Susceptible Infected Recovered Model）成為描述影響力傳播的主要基礎(chǔ)模型，這些模型描述了社交網(wǎng)絡(luò)中影響力傳播的隨機性與累積性。后來許多研究者根據(jù)具體傳播問題的特點擴展了基本模型，以反映傳播模型的具體傳播特性。目前，Aggarwal已從數(shù)據(jù)挖掘的角度對社區(qū)發(fā)現(xiàn)、影響力計算、溝通可視化等方面進行了總結(jié)；Kwak 等基于Twitter 的數(shù)據(jù)，對用戶之間的關(guān)系、用戶影響以及Twitter 上話題的傳播進行了實證分析；Fang 等介紹了在線社交網(wǎng)絡(luò)相關(guān)研究，并從網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)特征與演化機制、群體行為形成與互動規(guī)律、信息傳播規(guī)律與演化機制3個維度提出進一步的研究方向。在在線社交網(wǎng)絡(luò)信息傳播方面，Guille 等從話題檢測、傳播建模以及識別有影響力的傳播者3個方面進行了介紹，為社交網(wǎng)絡(luò)中圍繞信息擴散的工作提供全面的分析指導(dǎo)；Zinoviev從傳播者、傳播路徑和傳播機制出發(fā)，提出博弈論模型來理解信息傳播，并對已有研究進行總結(jié)。

鑒于在線社交網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)及特征，許多研究者提出利用“網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜性分析”的方法論進行相關(guān)問題分析與研究。Watts 等提出一個小世界網(wǎng)絡(luò)模型，該模型更好地描述了從常規(guī)網(wǎng)絡(luò)到隨機網(wǎng)絡(luò)的過渡；Barabdisi 等提出BA 無標度網(wǎng)絡(luò)模型，并根據(jù)模型的增長算法和優(yōu)先連接特性演示了BA 無標度網(wǎng)絡(luò)演化過程。根據(jù)社交網(wǎng)絡(luò)的基本功能和特點，田燕等描述了不同類型在線社交網(wǎng)絡(luò)的目的、特點及典型代表，分析了在線社交網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu)和信息傳輸特點；候夢男等提出一種融合拓撲勢的層次化社區(qū)發(fā)現(xiàn)算法；Claire 等將網(wǎng)絡(luò)圖轉(zhuǎn)換為持續(xù)同調(diào)中的條形碼格式，對照各種效用度量來觀察圖之間關(guān)鍵特征的相關(guān)性。因此，使用持續(xù)同調(diào)分析網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)以得到網(wǎng)絡(luò)的傳播變化，同樣是一個挑戰(zhàn)。

近年來，利用拓撲性質(zhì)和單純復(fù)形、持續(xù)同調(diào)性等方法對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，特別是加權(quán)網(wǎng)絡(luò)的研究取得了很大進展。Carstens 等描述了作者合作網(wǎng)絡(luò)的持續(xù)同調(diào)性，將拓撲學(xué)中的單純復(fù)形方法應(yīng)用于網(wǎng)絡(luò)，通過對貝蒂數(shù)的定量比較解釋了合作網(wǎng)絡(luò)的持續(xù)同調(diào)性，并通過分析發(fā)現(xiàn)持續(xù)同調(diào)性在區(qū)分無標度網(wǎng)絡(luò)和隨機網(wǎng)絡(luò)方面也起著重要作用；Dlotko 等提出一種簡化的持續(xù)同調(diào)計算復(fù)形方法，從而加深了對拓撲單純復(fù)形及其計算方法的理解；Cerri 等研究了多維持續(xù)同調(diào)理論中貝蒂數(shù)的連續(xù)性質(zhì)；Maletic 等采用拓撲單純復(fù)形法構(gòu)造網(wǎng)絡(luò)，并對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的持續(xù)同調(diào)性進行分析與研究；Kahle探討隨機網(wǎng)絡(luò)的同調(diào)性與網(wǎng)絡(luò)連通性之間的關(guān)系，為進一步理解網(wǎng)絡(luò)拓撲性質(zhì)與網(wǎng)絡(luò)連通性之間的關(guān)系作了理論準備。

本文旨在采用一種不同的方法對社交網(wǎng)絡(luò)進行概括，通過持續(xù)同調(diào)性表示在線社交網(wǎng)絡(luò)圖的傳播特性，使用算法計算持續(xù)同調(diào)得到相應(yīng)的貝蒂數(shù)和持續(xù)性圖，并獲取社交網(wǎng)絡(luò)的拓撲特征，分析其傳播特點。

1 持續(xù)同調(diào)相關(guān)理論

由于同胚對兩個空間的拓撲性質(zhì)相同，本文主要運用代數(shù)拓撲知識構(gòu)造出該空間的同胚型。在研究一個社交網(wǎng)絡(luò)時，常把社交網(wǎng)絡(luò)中的各個用戶看作節(jié)點，用戶之間的關(guān)系看作邊。換言之，可將社會網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點視為點云，用持續(xù)同調(diào)方法構(gòu)造一個由一系列簡單復(fù)形組成的空間，并用構(gòu)造的空間逼近社會網(wǎng)絡(luò)空間。持續(xù)同調(diào)性為人們提供了一種在不減少維數(shù)情況下刻畫數(shù)據(jù)全貌的方法。把數(shù)據(jù)放在原始高維空間中得到數(shù)據(jù)里的群集與環(huán)結(jié)構(gòu)個數(shù)，這種計算拓撲特征的方法為網(wǎng)絡(luò)圖分析提供了一種新的效用度量。

1.1 圖

在圖論中，將圖

G

定義為一個有序二元組(

V

,

E

) 。其中，

V

稱為頂集，

E

稱為邊集，

E

與

V

不相交。頂集的元素被稱為頂點，表示對象；邊集的元素被稱為邊，表示對象之間的關(guān)系，有不同類型的圖表示頂點之間的不同關(guān)系。在無向圖中，邊對稱地連接兩個頂點；在有向圖中，邊不對稱地連接兩個頂點。如果頂點之間的關(guān)系有相互作用的強度，可用加權(quán)網(wǎng)絡(luò)表示這種類型的關(guān)系。有

n

個頂點的圖

G

可用

n

×

n

個鄰接矩陣表示，對于未加權(quán)圖，若有

G

=1，則表示頂點

i

到頂點

j

有一條邊。如果頂點

i

與頂點

j

之間沒有邊，則

G

=0。如果圖隨時間變化，則該圖被稱為動態(tài)圖，圖中的頂點和邊會隨著時間的變化不斷刪除或添加。在在線社交網(wǎng)絡(luò)圖中，用戶被看作節(jié)點，用戶之間的關(guān)系被看作邊。

1.2 持續(xù)同調(diào)

1.2.1 單純復(fù)形與單純同調(diào)

通常，單純復(fù)形是一種抽象代數(shù)結(jié)構(gòu)，由點、邊、三角形、四面體和高維多面體組成。0 維單形是一個頂點，1維單形是邊，2 維單形是三角形，3 維單形是四面體（見圖1），直到第

k

維，其結(jié)構(gòu)取決于單純復(fù)形的維度。

Fig.1 Simplex圖1 單形

定義1

設(shè)

K

是

n

維歐氏空間

R

中單形的有限集合，稱

K

為單純復(fù)形，簡稱復(fù)形（見圖2），則有：①若為

K

中的單形，則其任意面都屬于

K

；②若

s

和

s

為

K

中任意兩個單形，則

s

?

s

或者是空集，或者是

s

與

s

的一個公共面。

Fig.2 Complex圖2 復(fù)形

在單純復(fù)形中，把這些孔視為以不同維數(shù)的單純形為界的空洞。在0 維中，其是連接分量；在1 維中，其是以邊（1 維單純形）為邊界的環(huán)；在2 維中，其是以三角形為邊界的孔……在

i

維中，其是以

i

維單純形為邊界的孔。單純同調(diào)是指尋找單純復(fù)形中空洞的方法，下面定義兩種特殊類型的鏈，即圈和邊界。單純形包含復(fù)形中最高維單形的所有面，也即是說，如果存在一個二維復(fù)形（具有最高維單形的單純復(fù)形是一個二維單純形，即三角形），則該復(fù)形還包含所有維數(shù)低于它的面（如邊和頂點）。在同調(diào)理論中，

i

鏈是一個具有整數(shù)系數(shù)的單純復(fù)形

K

所有

i

維單形的和。

K

的所有

i

鏈集合都用

C

(

K

)表示，即

C

(

K

)表示單純復(fù)形上的

i

維鏈群。對其作邊緣同態(tài)映射：

其中，

C

(

K

)為

K

的所有

i

維鏈，

C

(

K

)通過此映射后得到幺元的同態(tài)核是

i

維鏈群

C

(

K

)的子群，稱為維閉鏈群，記作

Z

(

K

)。帶有方向向量[

v

,

v

,

v

,…,

v

]的

n

維單純形

K

的邊界（?(

K

)）為：

C

(

K

)中的所有邊界，即經(jīng)過同態(tài)映射 ?:

C

(

K

)→

C

(

K

)得到的同態(tài)像是

i

維鏈群

C

(

K

)的子群，也是

i

維閉鏈群

Z

(

K

)的子群（因為邊緣都是封閉的），稱為

i

維邊緣閉鏈群，簡稱

i

維邊緣邊界群，記作

B

(

K

)。則定義單純復(fù)形

K

的

i

維同調(diào)群為：

第

i

個連通數(shù)

b

定義為

H

的維度，

b

=dim(

H

) 。

1.2.2 持續(xù)同調(diào)計算

對于有限的一組點

X

（如點云數(shù)據(jù)），同調(diào)性不能給出感興趣的信息。

β

給出了連通分支數(shù)目，但這只是點的數(shù)目，其他所有貝蒂數(shù)都是零，因為集合中沒有其他維度的洞。因此，可在數(shù)據(jù)上構(gòu)建一個最大

ε

值的單純復(fù)形，而不是構(gòu)建多個不同

ε

參數(shù)的單純復(fù)形，然后將其組合成一個序列。記錄所有點對之間的距離，并了解何值使得每對點形成邊。所有隱藏在這些值中的單純復(fù)形形成了一個連貫的濾流，即為一系列嵌套的復(fù)形。因此，本文不去處理點集，而定義復(fù)形濾流為：由不斷增加的比例參數(shù)

ε

生成的單純復(fù)形序列。

在這樣的結(jié)構(gòu)中，一些洞可能出現(xiàn)，然后消失，這些同源特征的持續(xù)性可被認為是數(shù)據(jù)集特征。在一個濾流中，可以記錄洞的出生，即洞出現(xiàn)的時間，以及洞的死亡，即洞消失的時間。持續(xù)同源性的本質(zhì)是對這些同源特征的出生和死亡進行持續(xù)性地追蹤，每個同源特征的壽命可表示為一個區(qū)間，其中區(qū)間的起點與終點分別對應(yīng)同源特征的出生和死亡。對于給定數(shù)據(jù)集，可通過持久性條形碼（PB）記錄這些間隔。同樣地，持久性條形碼可通過持久性圖（PD）表示。下面定義貝蒂數(shù)，并構(gòu)建Vietoris-Rips（VR）復(fù)形。

持續(xù)同調(diào)計算的理論基礎(chǔ)是刻畫網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)，通過網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)變化分析網(wǎng)絡(luò)社交的變化是有效、合理的。構(gòu)建社交網(wǎng)絡(luò)，計算相應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)拓撲同調(diào)群和貝蒂數(shù)相關(guān)參數(shù)，進一步分析網(wǎng)絡(luò)拓撲特性。這些同調(diào)空間可用空間維數(shù)來表征，因此引入貝蒂數(shù)來量化拓撲不變量，同時其也是拓撲空間的拓撲不變量。單純復(fù)形

K

的

n

個貝蒂數(shù)表示為

β

：

b

(

X

)=dim(

H

(

X

))，即對于非負整數(shù)

k

，定義空間

X

的第

k

個貝蒂數(shù)

b

(

X

)為

X

第

k

個同調(diào)群

H

(

X

)的秩（線性無關(guān)生成子數(shù)）。

添加或刪除網(wǎng)絡(luò)節(jié)點時，相應(yīng)同調(diào)群和貝蒂數(shù)都會發(fā)生變化。在網(wǎng)絡(luò)拓撲圖中，零維貝蒂數(shù)表示網(wǎng)絡(luò)上的連通分支數(shù)，一維貝蒂數(shù)表示網(wǎng)絡(luò)上的環(huán)（一維孔）數(shù)，二維貝蒂數(shù)表示網(wǎng)絡(luò)圖中的空腔數(shù)。貝蒂數(shù)越大，拓撲含義越復(fù)雜。

對于Vietoris-Rips（VR）復(fù)形，其是一種抽象的代數(shù)結(jié)構(gòu)，能夠表示歐氏空間

E

中的一組點。假設(shè)

G

=(

V

,

E

) 是一個無向加權(quán)圖，權(quán)重值為

W

:

V

×

V

→

R

。對于?

δ

∈

R

，1 維骨架

G

=(

V

,

E

) ?

G

被定義為

G

的子圖，其中

V

=

V

，其邊界集

E

=

E

只包含權(quán)重小于或等于

δ

的邊。然后，對于?

δ

∈

R

，本文將VR 復(fù)形定義為1 維骨架

G

、

Cl

(

G

) 的團復(fù)形，并將Vietoris-Rips 過濾定義為：

也即是說，在此過濾過程中，從頂點集開始，之后對邊的權(quán)重從最小權(quán)重

ω

到最大權(quán)重

ω

進行排序，并讓參數(shù)

δ

從

ω

增加到

ω

。在每一步中添加相應(yīng)的邊，得到閾值子圖

G

的復(fù)形，因此產(chǎn)生了Vietoris-Rips 過濾結(jié)構(gòu)。

1.2.3 持續(xù)性圖

隨著Rips 復(fù)形的構(gòu)建，連續(xù)的間隔一起組成持續(xù)性圖。持續(xù)性圖是濾流的點圖，當一個洞出現(xiàn)時，持續(xù)性圖中的一個點會被標記出，該洞即具有包圍開放空間的邊緣結(jié)構(gòu)。持續(xù)性圖的橫坐標代表開始時間，標志著一個洞的誕生；縱坐標代表洞消失的地方。該間隔通常被稱為特征持續(xù)時間，持續(xù)性圖可定性地描述持續(xù)同調(diào)。

2 基于持續(xù)同調(diào)的社交網(wǎng)絡(luò)傳播特征

從根本上說，持續(xù)同調(diào)是用來檢測空間的一種方法，該方法是理想的，因為隨著復(fù)形的增加，貝蒂數(shù)趨于穩(wěn)定，即會生成穩(wěn)定的持續(xù)性圖。當距離

δ

很小時，會有一些斷開的組件。當

δ

足夠長時，該圖成為一個連接圖，斷開的組件組合成一個。因此，所有持續(xù)性圖都有一個無限持續(xù)下去的持續(xù)性點。對應(yīng)在網(wǎng)絡(luò)圖中，當距離較小時用戶緊密相連，從信息迅速傳播到最后信息傳播完成，形成一個穩(wěn)定的圈。

運用代數(shù)拓撲中持續(xù)同調(diào)的知識對在線社交網(wǎng)絡(luò)構(gòu)造VR 復(fù)形，將在線社交網(wǎng)絡(luò)邊數(shù)據(jù)集生成距離矩陣，再使用perseus 軟件計算得出貝蒂數(shù)和持續(xù)性圖，從而分析在線社交網(wǎng)絡(luò)的傳播特征。具體方法如下：

2.1 貝蒂數(shù)持續(xù)性圖計算算法

利用圖描述社交網(wǎng)絡(luò)時，節(jié)點表示社交網(wǎng)絡(luò)中的用戶，邊表示用戶之間的關(guān)系，有關(guān)系則為“1”，沒有關(guān)系則為“0”。社交網(wǎng)絡(luò)中關(guān)注的是節(jié)點間的連接關(guān)系，并不強調(diào)坐標位置。因此，本文首先利用Floyd算法計算得到距離矩陣，再將距離矩陣導(dǎo)入Perseus 軟件，最后通過Perseus 軟件計算得到社交網(wǎng)絡(luò)圖的貝蒂數(shù)和持續(xù)性圖。

2.1.1 數(shù)據(jù)處理

由于在線社交網(wǎng)絡(luò)往往較為龐大，為方便進行持續(xù)同調(diào)相關(guān)計算，本文使用隨機游走算法對數(shù)據(jù)進行處理，在有效保護網(wǎng)絡(luò)的同時，創(chuàng)建一個可行的數(shù)據(jù)集。隨機游走算法通常被視為一些隨機過程的基本模型，并被視為馬爾可夫過程。隨機游走算法的基本思想是從一個頂點或一系列頂點游走一個圖，在任何頂點中，遍歷者將以概率1-

a

移動到此頂點的相鄰頂點，并以概率

a

隨機跳到圖中任何頂點，

a

稱為跳躍發(fā)生概率。每次行走后都會得到一個概率分布，此概率分布描述了圖中每個頂點被訪問的概率。使用此概率分布作為下一次行走的輸入，并迭代該過程。當滿足一定條件時，概率分布趨于收斂，得到平穩(wěn)的概率分布。一維的隨機游走可定義如下：每過一個單位時間，游走者從數(shù)軸位置

x

出發(fā)，以固定概率隨機向左或向右移動一個單位。不妨將

n

時刻游走者的位置記為

L

，則有：

其中，

X

,

X

,

…X

為相互獨立的隨機變量，滿足：

在本文中，偽隨機數(shù)生成器從原始在線社交網(wǎng)絡(luò)圖中選擇一個節(jié)點作為起點，接下來將相同節(jié)點作為第一個節(jié)點添加到新的圖

G

′中。此后，程序查看連接到原始圖中當前節(jié)點的邊，并隨機選擇一個進行遍歷，同時將相同的邊添加到新的圖

G

′中。整個過程經(jīng)歷了多次迭代，直到新構(gòu)建的圖

G

′完全包含一部分節(jié)點，本文取得的節(jié)點數(shù)為100。

2.1.2 距離矩陣形成

此時初始化一個鄰接矩陣作為輔助，即在給定一組節(jié)點時，一個鄰接矩陣表示其邊關(guān)系。該矩陣表示在具有“1”和“0”的一對節(jié)點之間是否存在一條邊，“1”表示兩節(jié)點間存在一條邊，“0”表示兩節(jié)點間不存在邊。然后使用Floyd算法，通過Python 計算得出距離矩陣。下面簡單介紹Floyd算法以及距離矩陣。

Floyd算法又稱為插點法，是一種利用動態(tài)規(guī)劃的思想尋找給定加權(quán)圖中多源點之間最短路徑的算法。首先，從任意一條單邊路徑開始，所有兩點之間的距離是邊的權(quán)，這里設(shè)所有邊的權(quán)值為1。如果兩點之間沒有邊相連，則權(quán)為無窮大。對于每一對頂點

u

和

v

，看看是否存在一個頂點

w

，使得從

u

到

w

再到

v

比已知路徑更短，如果是則對其進行更新。用鄰接矩陣

G

表示圖，如果從

v

到

v

有路可達，則

G

=

d

，

d

表示該路的長度，否則

G

=

∞

。定義一個矩陣

D

用來記錄所插入點的信息，

D

表示從

v

到

v

需要經(jīng)過的點，初始化

D

=

j

。把各個頂點插入圖中，比較插點后的距離與原來的距離，

G

=min(

G

,

G

+

G

) 。如果

G

的值變小，則

D

=

k

。由此便可得到任意兩點間的距離信息，一個距離矩陣是一個包含一組點兩兩之間距離的矩陣（即二維數(shù)組），所以可將距離信息轉(zhuǎn)換成距離矩陣。

2.1.3 持續(xù)性圖生成

對數(shù)據(jù)進行處理后，首先運用Floyd算法對處理得到的100個點計算得出距離矩陣，然后利用持續(xù)同調(diào)計算軟件計算得出各維數(shù)的持續(xù)性間隔以及各維貝蒂數(shù)，最后得到持續(xù)性圖（見圖3）。

Fig.3 Steps to generate a persistence diagram圖3 持續(xù)性圖生成步驟

2.2 小型社交網(wǎng)絡(luò)持續(xù)性信息獲取示例

已知兩個小型社交網(wǎng)絡(luò)，節(jié)點與節(jié)點之間的關(guān)系如圖4、圖5 所示。利用Floyd算法計算得到兩個小型網(wǎng)絡(luò)圖的8 × 8 距離矩陣，分別如下：

Fig.4 Small network diagram a圖4 小型網(wǎng)絡(luò)圖a

Fig.5 Small network diagram b圖5 小型網(wǎng)絡(luò)圖b

此時通過貝蒂數(shù)持續(xù)性圖計算方法得出兩個社交網(wǎng)絡(luò)的貝蒂數(shù)分別如表1、表2 所示。

Table 1 Betti number of small network diagram a表1 小型網(wǎng)絡(luò)圖a 的貝蒂數(shù)

Table 2 Betti number of small network diagram b表2 小型網(wǎng)絡(luò)圖b 的貝蒂數(shù)

在網(wǎng)絡(luò)拓撲圖中，零維貝蒂數(shù)表示網(wǎng)絡(luò)上的連通分支數(shù)，一維貝蒂數(shù)表示網(wǎng)絡(luò)上的環(huán)（一維孔）數(shù)，二維貝蒂數(shù)表示網(wǎng)絡(luò)圖中的空腔數(shù)，貝蒂數(shù)越大，拓撲含義越復(fù)雜。

對于圖4，一開始它有8個連通分支（即一開始的8個節(jié)點），更高維的貝蒂數(shù)為零；形成第一個子復(fù)形時，零維貝蒂數(shù)為1，即連通分支數(shù)為1，一維貝蒂數(shù)為2，即有2個圈，沒有更高維的貝蒂數(shù)；形成第二個復(fù)形時，零維貝蒂數(shù)為1，沒有一、二維的貝蒂數(shù)，三維貝蒂數(shù)為5，即更高一維的三維空間有5個空洞；形成第三個復(fù)形時，零維貝蒂數(shù)為1，沒有一、二維的貝蒂數(shù)，三維貝蒂數(shù)為35，即更高一維的三維空間有35個空洞；沒有再形成更多復(fù)形。

對于圖5，同樣一開始它有8個連通分支，更高維的貝蒂數(shù)為零；形成第一個子復(fù)形時，零維貝蒂數(shù)為1，即連通分支數(shù)為1，沒有更高維的貝蒂數(shù)；形成第二個復(fù)形時，零維貝蒂數(shù)為1，沒有一、二維的貝蒂數(shù)，三維貝蒂數(shù)為25，即更高一維的三維空間有25個空洞；形成第三個復(fù)形時，零維貝蒂數(shù)為1，沒有一、二維的貝蒂數(shù)，三維貝蒂數(shù)為35，即更高一維的三維空間有35個空洞；沒有再形成更多復(fù)形。

圖4 和圖5 是兩個小型網(wǎng)絡(luò)圖，都擁有8個節(jié)點，從圖中可以看出，圖4 相對于圖5 節(jié)點與節(jié)點之間的聯(lián)系更緊密。所以圖4 各個節(jié)點之間的距離比圖5 更近，如果是節(jié)點之間相互傳播，圖4 相對于圖5 也更為容易，而這一點在持續(xù)同調(diào)計算得出的貝蒂數(shù)中得到了驗證。表1 的貝蒂數(shù)總的來說少于表2 的貝蒂數(shù)。

小型網(wǎng)絡(luò)圖的持續(xù)性圖如圖6 所示。

Fig.6 Persistence diagram of small network diagram圖6 小型網(wǎng)絡(luò)圖的持續(xù)性圖

其中，橫坐標表示持續(xù)性點的出生時間，縱坐標表示持續(xù)性點的死亡時間。

對于持續(xù)性圖，具有無限持續(xù)性點的出生時間被繪制為紅色菱形，即在網(wǎng)絡(luò)圖a 的持續(xù)性圖中有出生時間為2 和3 的兩個持續(xù)性點，網(wǎng)絡(luò)圖b 的持續(xù)性圖中只有1個出生時間為3 的持續(xù)性點。

通過示例可以看出：該方法充分捕捉了網(wǎng)絡(luò)拓撲特征，可計算出網(wǎng)絡(luò)拓撲信息，得到的拓撲信息與網(wǎng)絡(luò)圖的圖像一致，并且可根據(jù)拓撲信息畫出持續(xù)性圖；節(jié)點間聯(lián)系更緊密的網(wǎng)絡(luò)圖更容易傳播，且其貝蒂數(shù)更大，傳播更容易擴散；節(jié)點間聯(lián)系更緊密的網(wǎng)絡(luò)圖的持續(xù)性點數(shù)量多于稀疏的網(wǎng)絡(luò)圖；貝蒂數(shù)在零維、一維和二維中表現(xiàn)出持續(xù)同調(diào)性。

3 數(shù)值實驗

選取SNAP數(shù)據(jù)庫中Facebook、Deezer 和Wiki-Vote的3個社交網(wǎng)絡(luò)圖，每個圖都提供了邊列表（每個邊列表數(shù)據(jù)由兩個節(jié)點ID 組成）。所有包含的數(shù)據(jù)集都滿足社交網(wǎng)絡(luò)標準，即一個簡單、未加權(quán)的網(wǎng)絡(luò)圖。具體來說，F(xiàn)acebook 網(wǎng)絡(luò)圖代表匿名社交圈人與人之間的關(guān)系，Deezer 網(wǎng)絡(luò)圖表示在線音樂網(wǎng)站中在線社交網(wǎng)絡(luò)的信息，而Wiki-Vote 網(wǎng)絡(luò)圖是由世界各地的志愿者合作編寫的免費百科全書。上述社交網(wǎng)絡(luò)來自于大眾廣泛使用的社交媒體平臺，可使本文能更好地模擬持續(xù)同調(diào)的實際應(yīng)用。

對每個在線社交網(wǎng)絡(luò)的研究，主要是分析網(wǎng)絡(luò)所對應(yīng)的持續(xù)性圖。通過對每個使得持續(xù)性圖穩(wěn)定區(qū)間的分析與研究，可得到社交網(wǎng)絡(luò)空間的同調(diào)信息。這些同調(diào)信息可幫助獲取在線社交網(wǎng)絡(luò)的空間特點，從而分析其傳播變化。

3.1 網(wǎng)絡(luò)圖比較

Facebook、Deezer 和Wiki-Vote 網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)集都包含了節(jié)點數(shù)據(jù)和邊數(shù)據(jù)，通過邊數(shù)據(jù)獲取節(jié)點間的關(guān)聯(lián)信息，若形成邊則為“1”，若沒有形成邊則為“0”，由此生成網(wǎng)絡(luò)圖如圖7-圖9 所示。

Fig.7 Facebook network diagram圖7 Facebook 網(wǎng)絡(luò)圖

Fig.8 Wiki-Vote network diagram圖8 Wiki-Vote 網(wǎng)絡(luò)圖

Fig.9 Deezer network diagram圖9 Deezer 網(wǎng)絡(luò)圖

圖7-圖9 分別是Facebook、Wiki-Vote 以及Deezer 3個網(wǎng)絡(luò)在經(jīng)過數(shù)據(jù)處理后100個節(jié)點的網(wǎng)絡(luò)圖，從圖中可以看出，F(xiàn)acebook 網(wǎng)絡(luò)圖分成了3個團，且各個團中各節(jié)點相互之間聯(lián)系緊密，具有很強的互聯(lián)性，這也對應(yīng)表現(xiàn)出Facebook 各個用戶之間的聯(lián)系。Wiki-Vote 與Deezer 兩個社交網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)圖則呈現(xiàn)出一個節(jié)點被其他多個節(jié)點連接，出現(xiàn)了類似于環(huán)狀結(jié)構(gòu)，這與3個網(wǎng)絡(luò)的類型有一定聯(lián)系。在現(xiàn)實世界中，F(xiàn)acebook 網(wǎng)絡(luò)圖代表匿名社交圈的人際關(guān)系，每個用戶之間都存在相互聯(lián)系的可能，所以圖中所有節(jié)點之間始終具有很強的互連性；Wiki-Vote 網(wǎng)絡(luò)圖是用多種語言編寫而成的網(wǎng)絡(luò)百科全書，其基于維基技術(shù)的多語言百科全書式協(xié)作計劃，所以其一個節(jié)點連接到多個端節(jié)點，形成環(huán)狀；Deezer 網(wǎng)絡(luò)圖代表法國在線音樂網(wǎng)站，可提供樂隊與歌曲搜索及音樂播放等功能，通常在圖的中心創(chuàng)建一個環(huán)，而邊界節(jié)點保持連接。

3.2 貝蒂數(shù)比較

根據(jù)節(jié)點以及邊關(guān)系，對Facebook、Deezer 和Wiki-Vote 3個社交網(wǎng)絡(luò)分別創(chuàng)建距離矩陣，通過持續(xù)同調(diào)計算，分別生成3個網(wǎng)絡(luò)圖的零維貝蒂數(shù)、一維貝蒂數(shù)及二維貝蒂數(shù)（見表3-表5），分析并比較其傳播規(guī)律。

Table 3 Facebook Betti number表3 Facebook 貝蒂數(shù)

Table 4 Wiki-Vote Betti number表4 Wiki-Vote 貝蒂數(shù)

Table 5 Deezer Betti number表5 Deezer 貝蒂數(shù)

從表3 數(shù)據(jù)中可以看出，當沒有形成子復(fù)形時，F(xiàn)acebook 網(wǎng)絡(luò)對應(yīng)的零維貝蒂數(shù)為100，即連通分支數(shù)量為100（本文選取100個節(jié)點），更高維的貝蒂數(shù)都為0；形成第一個子復(fù)形時，零維貝蒂數(shù)為1，即連通分支數(shù)為1，一維貝蒂數(shù)為10，即有10個圈，二維貝蒂數(shù)為1，即有1個洞，沒有更高維的貝蒂數(shù)；形成第二個復(fù)形時，零維貝蒂數(shù)為1，沒有一、二維的貝蒂數(shù)；之后隨著子復(fù)形的增加，零維、一維、二維貝蒂數(shù)均沒有發(fā)生變化；直到第9個子復(fù)形形成，之后沒有再形成更多復(fù)形。

同理，從表4 的數(shù)據(jù)中，一開始零維貝蒂數(shù)都為100，即連通分支數(shù)量為100，一維貝蒂數(shù)為12，二維貝蒂數(shù)為6；當?shù)诙€子復(fù)形形成時，零維貝蒂數(shù)變?yōu)?，而一、二維貝蒂數(shù)分別為19 和0；當?shù)谌齻€子復(fù)形形成時，零維貝蒂數(shù)依然為1，而一、二維貝蒂數(shù)變?yōu)?；該情況一直持續(xù)到第四個子復(fù)形形成，之后沒有再形成更多復(fù)形。

表5 的數(shù)據(jù)情況與表3 類似，一開始零維貝蒂數(shù)都為100，第二個子復(fù)形形成時，零維貝蒂數(shù)變?yōu)?，而一、二維貝蒂數(shù)分別為10 和3；當?shù)谌齻€子復(fù)形形成時，零維貝蒂數(shù)依然為1，沒有一、二維貝蒂數(shù)；直到第四個子復(fù)形形成，之后沒有再形成更多復(fù)形。

從表中3 組數(shù)據(jù)可以看出，當沒有子復(fù)形形成時，3個網(wǎng)絡(luò)圖對應(yīng)的零維貝蒂數(shù)都為100，即連通分支數(shù)量為100（本文選取100個節(jié)點）。Facebook 網(wǎng)絡(luò)和Deezer 網(wǎng)絡(luò)的一、二維貝蒂數(shù)都為0，而在Wiki-Vote 網(wǎng)絡(luò)中，一維貝蒂數(shù)為12，二維貝蒂數(shù)為6，這是由于Wiki-Vote 網(wǎng)絡(luò)是一個百科全書網(wǎng)絡(luò)。從網(wǎng)絡(luò)圖中可以發(fā)現(xiàn)，它有一些圈和洞產(chǎn)生，即一、二維貝蒂數(shù)。隨著子復(fù)形個數(shù)的增加，連通分支的個數(shù)逐漸穩(wěn)定為1，而更高維的圈、洞個數(shù)逐漸變?yōu)?，此時意味著傳播結(jié)束。從整個貝蒂數(shù)表格數(shù)據(jù)中可以看出，F(xiàn)acebook 網(wǎng)絡(luò)和Deezer 網(wǎng)絡(luò)在第二個復(fù)形形成時的一維貝蒂數(shù)都小于Wiki-Vote 網(wǎng)絡(luò)，說明Facebook 網(wǎng)絡(luò)和Deezer網(wǎng)絡(luò)的傳播更容易擴散，更有利于傳播，而Wiki-Vote 網(wǎng)絡(luò)不容易激活很多節(jié)點，傳播力相對弱一些，傳播更為困難。因此，可利用貝蒂數(shù)來刻畫在線社交網(wǎng)絡(luò)的傳播。

3.3 持續(xù)性圖比較

根據(jù)節(jié)點以及邊關(guān)系，對3個社交網(wǎng)絡(luò)分別創(chuàng)建距離矩陣，由此生成3個網(wǎng)絡(luò)圖的持續(xù)性圖（見圖10），分析比較其傳播變化規(guī)律。

對于持續(xù)性圖，具有無限持續(xù)性點的出生時間被繪制為紅色菱形。從3個持續(xù)性圖可以看出，F(xiàn)acebook 網(wǎng)絡(luò)的持續(xù)性圖有9個紅色菱形，即有9個無限持續(xù)性點，與上述貝蒂數(shù)中的子復(fù)形個數(shù)相對應(yīng)；Wiki-Vote 網(wǎng)絡(luò)的持續(xù)性圖有4個紅色菱形，即有4個無限持續(xù)性點；Deezer 網(wǎng)絡(luò)的持續(xù)性圖同樣有4個紅色菱形，即有4個無限持續(xù)性點。對于持續(xù)性點，圖結(jié)構(gòu)越復(fù)雜，其持續(xù)性點也會更多。從以上3個持續(xù)性圖可以看出，F(xiàn)acebook 網(wǎng)絡(luò)的無限持續(xù)性點多于Wiki-Vote 網(wǎng)絡(luò)和Deezer 網(wǎng)絡(luò)，說明Facebook 網(wǎng)絡(luò)比Deezer 網(wǎng)絡(luò)和Wiki-Vote 網(wǎng)絡(luò)更利于傳播，而Deezer 網(wǎng)絡(luò)和Wiki-Vote 網(wǎng)絡(luò)的傳播力相對弱一些，傳播更為困難。說明Wiki-Vote 網(wǎng)絡(luò)和Deezer 網(wǎng)絡(luò)相對于Facebook 網(wǎng)絡(luò)更穩(wěn)定，這也很好地驗證了上述小型網(wǎng)絡(luò)圖示例得出的結(jié)論。因此，持續(xù)性圖也可用來刻畫在線社交網(wǎng)絡(luò)的傳播。

Fig.10 Persistence diagram of online social networks圖10 在線社交網(wǎng)絡(luò)的持續(xù)性圖

4 結(jié)語

社交網(wǎng)絡(luò)傳播是在線社交網(wǎng)絡(luò)的重要研究內(nèi)容，本文主要運用持續(xù)同調(diào)方法構(gòu)造一系列單純復(fù)形來逼近社交網(wǎng)絡(luò)空間，得到社交網(wǎng)絡(luò)的同調(diào)信息，再將這些信息寫入持續(xù)性圖中，通過貝蒂數(shù)和持續(xù)性圖的穩(wěn)定信息分析在線社交網(wǎng)絡(luò)傳播。在一定程度下，盡管在線社交網(wǎng)絡(luò)會發(fā)生變化（在線社交網(wǎng)絡(luò)本就屬于動態(tài)網(wǎng)絡(luò)），對本文要得到的同調(diào)信息也幾乎沒有影響。從本文得出的結(jié)論中，發(fā)現(xiàn)持續(xù)同調(diào)性可作為描述社交網(wǎng)絡(luò)圖傳播的一種手段。根據(jù)已有數(shù)據(jù)顯示，該方法充分捕捉了網(wǎng)絡(luò)拓撲特征，為在線社交網(wǎng)絡(luò)圖描述傳播提供了有效的新方法。在后續(xù)工作中將采用更大的數(shù)據(jù)集，并根據(jù)在線社交網(wǎng)絡(luò)得到的持續(xù)同調(diào)對在線社交網(wǎng)絡(luò)傳播進行更深入研究。