隨歲寒 彭丹華 劉金建 祁曉乾 劉曉光

(1.商丘工學院 機械工程學院,河南商丘 476000; 2.蘇州聚悅信息科技有限公司，江蘇蘇州 215100 )

輸流管道在石油化工、航空航天和海洋熱能轉(zhuǎn)換等領域應用廣泛，在這一結(jié)構(gòu)的設計中須要同時考慮動力學和靜力學兩方面的因素。在動力學方面，通過對自由振動系統(tǒng)的分析，得到的固有頻率可作為振動控制的輸入，目前這方面已有大量研究[1-6]；在靜力學方面，管道由于受到自重的作用產(chǎn)生橫向彎曲變形，同時受到流體離心力影響，因此管道的橫力彎曲問題同樣值得關注，這方面的研究還比較少。

現(xiàn)有文獻在研究中多基于Euler梁模型并利用Hamilton原理建立輸流管道系統(tǒng)控制方程，進而研究輸流管道系統(tǒng)的動力學特性及其穩(wěn)定性。例如，周坤等[1]采用Euler梁模型研究了不同材料組成的周期性懸臂輸流管道在定常內(nèi)流作用下的非線性動力學方特性。方孟孟等[2]研究了懸臂輸流管道在基礎激勵與脈動內(nèi)流聯(lián)合作用下的非線性動力學行為。Dehrouyeh-Semnani等[3-4]應用修正偶應力理論研究了可擴展流體輸送微管的尺寸相關非線性振動特性。在文獻[5-6]報道的研究中，對流體輸送功能梯度管道的線性振動進行了研究。結(jié)果表明，用功能梯度材料代替?zhèn)鹘y(tǒng)的各向同性材料，可大大提高輸送管道的穩(wěn)定性。實際上，功能梯度管穩(wěn)定性的提高主要是由于功能梯度材料具備的高剛度。Selmi等[7]分析了功能梯度材料后屈曲輸流管道的振動，得到了輸流管道在不同邊界條件下的后屈曲變形的精確解。Tang等[8]研究了粘彈性管道輸送流體的分數(shù)階動力學模型的非線性自由振動問題。Luczko等[9]提出了一個描述由流體速度脈動引起的彈性管道非平面振動的模型，研究了流速和脈動頻率對振動特性、振型以及振動強度增加范圍的影響。Askarian等[10]研究了可伸縮懸臂管道輸送脈動流的非線性動力學問題，分析了流量質(zhì)量、脈動流量頻率和重力等幾何參數(shù)對系統(tǒng)動力學的影響。Deng等[11]研究多跨粘彈性功能梯度材料輸流管道的穩(wěn)定性，并探討了體積分數(shù)指數(shù)、流體速度、內(nèi)壓和內(nèi)阻尼對管道系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。Wang等[12]研究了功能梯度材料管道輸送流體的橫向振動問題。An和Su[13]采用廣義積分變換技術(shù)對軸向功能梯度管道輸送流體的動力學行為進行了數(shù)值研究。Tan等[14]首次采用Timoshenko梁理論研究超臨界范圍內(nèi)輸送流體管道的振動特性，推導了管道的靜平衡非平凡解和臨界流速。

然而，針對輸流管道的準靜態(tài)彎曲的研究至今非常少，值得一提的是Dai和Wang[15]基于Euler梁模型研究了管道系統(tǒng)在磁鐵引力作用下的彎曲問題。實際上，僅僅考慮受到磁鐵引力這一集中載荷不具有普遍意義，工程應用中，輸流管道系統(tǒng)往往水平布置，重力和流體離心力是影響其橫向彎曲的主要因素。輸流管道需要盡可能地增大支撐跨度以節(jié)約成本，同時，也需要盡可能的增大流體速度以提高效率。另一方面，流體離心力與流體速度是典型的非線性關系，因此有必要一探流體速度與管道最大撓度的關系。

Reddy三階剪切梁理論可以同時適用于細梁和粗梁，即對細長管道都能很好地適用，因比而不必針對不同的細長比選用Euler梁理論[10]或Timoshenko梁理論[14]，因此在分析管道問題時可大大縮短建模時間。此外，有限元法作為一種成熟的數(shù)值方法，應用廣泛，且其操作流程規(guī)范，為輸流管道系統(tǒng)建立有限元模型有利于將這一問題納入商業(yè)軟件(如ANSYS)中，促進推廣應用。利用虛功原理，便于明確流體離心力這一概念，并據(jù)此建立輸流管道系統(tǒng)在重力和流體離心力作用下的靜力學有限元方程。分別在固支和簡支兩種邊界條件下，研究了流體離心力對管道彎曲和截面轉(zhuǎn)角的影響，并在此基礎上，探究流體臨界速度以及跨度與最大撓度的關系。

1 數(shù)學模型

對輸流管道系統(tǒng)建立圖1所示坐標系，速度v沿x軸正向，重力沿z向，管道在兩支承間的長度L。圓管彈性模量E，密度ρb，流體密度ρf，管道內(nèi)壁半徑R1，外壁半徑R2。流體截面A1，管道截面積A2。

圖1 輸流管道示意圖

為建立輸流管道的彎曲有限元方程，將管道沿長度方向平均劃分為n個單元，即每個單元長度為L/n。采用如下形函數(shù)表達管道單元橫向位移和截面轉(zhuǎn)角[16]。

(1)

(2)

其中N1和N2是拉格朗日形函數(shù)，H1～H4是Hermite形函數(shù)。

根據(jù)Reddy三階剪切梁理論，梁的位移場可表達為

(3)

w(x,z,t)=w(x,t),

(4)

幾何方程

(5)

(6)

將幾何方程整理成矩陣形式

(7)

簡化為

(8)

物理方程

(9)

并將物理方程簡化為

σ=[D]ε.

(10)

利用(8)式和(10)式，可得應變能變分

(11)

流體的向心力虛功為

(12)

重力虛功為

(13)

其中，g為重力加速度并假設其方向沿y軸正方向。

將(10)式、(11)式和(12)式代入如下虛功原理表達式

δU+δWin=δWE,

(14)

變分運算后得到

(15)

由(15)式得到輸流管道系統(tǒng)有限元平衡方程

(16)

(17)

(18)

2 數(shù)值結(jié)果與討論

管道和流體的幾個物理參數(shù)值如表1所示。

表1 物理參數(shù)值

圖2 兩端固支管的撓度及其轉(zhuǎn)角

圖3 兩端固支管最大撓度隨速度變化

圖4 兩端固支管跨度與最大撓度關系

圖5 兩端簡支管撓度及其轉(zhuǎn)角

在兩端固支邊界條件下，得到了管道中面各點的橫向撓度及其截面轉(zhuǎn)角如圖2。由圖2可見，隨著流體速度增大，管道各點的橫向撓度增大。這一現(xiàn)象可以理解為在重力作用下，管道軸向各點受到流體離心力的方向與重力方向相同，而速度越大則離心力越大，進而管道撓度越大。眾所周知，管道中點處的撓度最大，圖3給出了流體速度與管道最大撓度的關系曲線，很顯然流體速度與最大撓度是非線性關系，流體速度增大到370 m/s附近時，曲線斜率驟然增大，據(jù)此可將這一速度定義為靜態(tài)臨界速度。在管路設計時，須將管道速度控制在臨界速度以內(nèi)，以防過大的流體速度造成管道破壞。管道跨度增大必然伴隨最大撓度的增大，圖4給出了流體速度100 m/s條件下兩者的數(shù)量關系。由于輸流管路的跨度和流速為可變因素，因此管路設計時須將兩者綜合考慮。

圖6 兩端簡支最大撓度隨速度變化

圖5給出了在兩端簡支邊界條件下，管道中面各點的橫向撓度及其截面轉(zhuǎn)角。圖6給是流體速度與管道最大撓度的關系曲線。定性來看，簡支條件與固支條件管道的撓度隨速度的變化規(guī)律是一致的。由于簡支條件相對于固支條件剛度略小，因此相同流速條件下簡支條件對應的橫向撓度偏大。對于靜態(tài)臨界速度，簡支條件最大不超過180 m/s。同樣地，管道的最大撓度隨著管道跨度增大而增大，且最大撓度的增長率也隨著跨度的增大而增大，如圖7所示。

圖7 兩端簡支管跨度與最大撓度關系

3 結(jié)語

采用Reddy三階剪切梁理論和虛功原理建立輸流管道系統(tǒng)橫向彎曲的有限元方程，研究了固支和簡支兩種邊界條件下流體速度對橫向彎曲的影響。得到了管道最大撓度與流體速度的關系曲線，并據(jù)此定義了各邊界條件下的靜態(tài)臨界速度。具體結(jié)論如下：

1)固支和簡支邊界條件下，流體速度正相關于橫向撓度，呈非線性關系。存在臨界速度，且這一臨界速度為管路設計的最大速度。

2)本文研究方法和結(jié)論可供輸油管道等系統(tǒng)設計時流速和跨度的選擇提供參考，即：管道系統(tǒng)設計時須同時考慮重力、流體離心力和跨度三種因素。