李鈺 呂會影

(安徽機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院 公共基礎(chǔ)教學(xué)部，安徽蕪湖 241000)

股票期權(quán)定價(jià)是金融衍生工具中的重要問題之一，在金融市場中廣泛而成功地應(yīng)用于風(fēng)險(xiǎn)對沖。因此，交易者可以通過使用期權(quán)調(diào)整交易策略和投資組合[1-3]?？吹跈?quán)是一種合同，給予持有者以行權(quán)價(jià)格E出售部分標(biāo)的資產(chǎn)的權(quán)利(而非義務(wù))。同樣，給予持有者購買部分標(biāo)的資產(chǎn)的權(quán)利(而非義務(wù))是看漲期權(quán)。歐式期權(quán)和美式期權(quán)是兩種常見的期權(quán)合約類型。歐式期權(quán)只能在到期日t=T執(zhí)行，而美式期權(quán)可以在日期t≤T執(zhí)行。

Black和Scholes(1973)提出了一個評估歐式期權(quán)的模型[4]，該模型至今仍被廣泛應(yīng)用于金融市場。該模型是在期權(quán)必須是無風(fēng)險(xiǎn)利率、標(biāo)的資產(chǎn)的波動性已知且為常數(shù)、標(biāo)的資產(chǎn)的收益遵循幾何布朗運(yùn)動等假設(shè)條件下建立的。在Black Scholes模型中，得到了歐式期權(quán)值V(S,t)作為以下偏微分方程(PDE)的解：

(1)

其中S為t時刻的股價(jià)，r為無風(fēng)險(xiǎn)利率，σ為標(biāo)的資產(chǎn)的波動性。這個PDE給出了t時刻的看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價(jià)值，但Black-Scholes PDE很少可以有解析解的情況，如歐式期權(quán)情況。在歐式看漲期權(quán)中，支付函數(shù)是V(S,T)=max(S-E,0)，V(S,T)=max(E-S,0)是歐式看跌期權(quán)的支付函數(shù)。Black和Scholes(1973)給出了歐式看漲期權(quán)的解析解：

V(S,t)=SN(d1)-Ee-r(T-t)N(d2)，

(2)

給出了歐式看跌期權(quán)的解析解：

V(S,t)=Ee-r(T-t)N(-d2)-SN(-d1).

(3)

然而，經(jīng)過數(shù)次變量變換后，Black-Scholes PDE(1)變成了擴(kuò)散方程，Wilmott 等人(1995)提出了另一種計(jì)算Black-Scholes PDE解析解的格式[5]。此外，通過使用Millen變換[6]，推導(dǎo)了求解Black-Scholes偏微分方程的直接方法。另一種推導(dǎo)Black-Scholes公式的方法是使用風(fēng)險(xiǎn)中性估值論證[3]。

正交函數(shù)族如正弦-余弦函數(shù)、塊脈沖函數(shù)、勒讓德(Legendre)多項(xiàng)式、切比雪夫(Chebyshev )多項(xiàng)式和盧蓋爾(Luguerre)多項(xiàng)式被廣泛應(yīng)用于動態(tài)系統(tǒng)的近似解。使用正交基的主要優(yōu)點(diǎn)是這個問題簡化為求解代數(shù)方程組的問題。這可以通過截?cái)嗾换瘮?shù)的級數(shù)來解決潛在問題，并使用算子矩陣來完成。如果我們用某些奇異的Sturm-Lioville問題(如Legendre或Chebyshev多項(xiàng)式)的特征函數(shù)來近似任何平滑函數(shù)，就會出現(xiàn)譜精度現(xiàn)象[7]。

小波分析是數(shù)學(xué)研究中的一個新興領(lǐng)域，在數(shù)學(xué)、工程和金融等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。小波的重要性質(zhì)是緊支持性、正交性、正則性、標(biāo)準(zhǔn)正交性、對稱性和良好的逼近精度。小波是由稱為母小波的單個函數(shù)的擴(kuò)張和平移構(gòu)成的函數(shù)族[8]。在基于小波的逼近方法中，有兩個重要的改進(jìn)方法:增大小波族的階數(shù)和增大小波的分辨率。當(dāng)函數(shù)或其導(dǎo)數(shù)有不連續(xù)點(diǎn)時，小波逼近方法比傅里葉變換方法具有更高的階收斂性。具體來說，Legendre小波是定義在經(jīng)典Legendre多項(xiàng)式上的一種特殊小波[9]。由于Legendre小波的優(yōu)點(diǎn)，它們被廣泛地應(yīng)用于求解偏微分方程和積分微分方程[10-11]。

在Black-Scholes模型中，股票價(jià)格的風(fēng)險(xiǎn)中性概率密度函數(shù)(PDF)是對數(shù)正態(tài)的。通過對從期權(quán)價(jià)格中提取風(fēng)險(xiǎn)中性PDF的研究，現(xiàn)有的方法主要可以分為參數(shù)和非參數(shù)兩大類。參數(shù)化方法需要對變量之間的關(guān)系或資產(chǎn)收益分布的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)做一定的假設(shè)。顯然，Black-Scholes模型就屬于這一類。在非參數(shù)模型中，對基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格的隨機(jī)過程、期權(quán)定價(jià)函數(shù)或收益分布沒有事先的限制。關(guān)于參數(shù)和非參數(shù)方案的完整綜述，見Liu等人(2019)[12]。期權(quán)被認(rèn)為包含風(fēng)險(xiǎn)中性PDF或風(fēng)險(xiǎn)中性矩生成函數(shù)(MGF)的獨(dú)特信息。在文獻(xiàn)中，已經(jīng)提出了幾種風(fēng)險(xiǎn)中性PDF估計(jì)方法，例如，基于傅里葉的數(shù)值積分[13]、高斯變換[14]、小波方法[15]，并在其中引用。Liu等人(2019)對風(fēng)險(xiǎn)中性MGF的小波方法進(jìn)行了實(shí)證研究，并與各種成熟模型進(jìn)行了比較[12]。然而，非參數(shù)模型比參數(shù)模型更靈活，但在許多情況下，它們需要(大量)交易期權(quán)價(jià)格樣本。

風(fēng)險(xiǎn)中性測度是一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，通過期望算子對所有或有權(quán)益進(jìn)行定價(jià)。這些可能的措施對應(yīng)一個PDE，其中支付函數(shù)是相應(yīng)PED的初始條件。然而，大多數(shù)期權(quán)定價(jià)問題在執(zhí)行價(jià)格處存在非平滑支付或不連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，但可以采用適當(dāng)?shù)臄?shù)值方法求解相應(yīng)的偏微分方程。由于數(shù)值PDE方法的優(yōu)點(diǎn)是可以很容易地考慮復(fù)雜和奇異的收益。Black-Scholes偏微分方程的數(shù)值解通常采用有限差分方法[16]。在有限差分方法中，通過采取足夠小的步長來保持方法的穩(wěn)定性，解決問題的計(jì)算成本大大增加。因此，近年來，人們開始考慮時間或空間的半離散技術(shù)來計(jì)算Black-Scholes偏微分方程的數(shù)值解，如基于空間(或時間)有限差分的方法和基于時間(或空間)函數(shù)逼近的方法。例如，基于有限差分和三次B樣條函數(shù)的方法[17]、拉普拉斯變換有限差分法[18]、緊致有限差分法[19]。

本文提出了一種基于有限差分和Legendre小波逼近格式的組合方法來求解Black-Scholes PDE(1)。將空間離散成等網(wǎng)格，并使用空間導(dǎo)數(shù)的有限差分公式，然后，采用Legendre小波逼近時間。本文推導(dǎo)了Legendre小波積分算子的矩陣結(jié)構(gòu)，該算子迄今為止被廣泛使用，但沒有可靠的證明[11]。另外，為了使用到期時t=T的支付函數(shù)，求得了另一個運(yùn)算矩陣，它是由已知上限的Legendre小波的不定積分得到的。利用有限差分、截?cái)嗟腖egendre小波級數(shù)展開和相應(yīng)的積分運(yùn)算矩陣，將求解偏微分方程問題簡化為求解Sylvester方程。通過兩種算法對歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的估值進(jìn)行了簡化。算例結(jié)果表明，與文獻(xiàn)方法相比，該方法易于實(shí)現(xiàn)，具有較高的執(zhí)行速度。本文還證明了所得到的Sylvester方程具有唯一解。數(shù)值結(jié)果表明，該方法具有較高的精度。此外，為了得到一個合適的解，不需要選擇非常小的步長，并且只需要在Legendre小波序列中少量的基函數(shù)。

1 函數(shù)逼近

1.1 Legendre多項(xiàng)式

著名的Legendre多項(xiàng)式Pm(x)是奇異Sturm-Liouville問題的特征函數(shù)[7]：

其中，P0(x)=1，P(x)=x。

關(guān)于勒讓德多項(xiàng)式的一些性質(zhì)如下：

Pm(±1)=(±1)m，

(4)

對于m=-1，P-1≡0，對于m=0,1,…,

(5)

1.2 Legendre小波

小波是由母小波的擴(kuò)張和平移構(gòu)成的函數(shù)族。當(dāng)膨脹參數(shù)a和平移參數(shù)b連續(xù)變化時，有如下連續(xù)小波族[20]:

函數(shù)Ψk,n(t)形成L2(R)的小波基。當(dāng)a0=2，b0=1時，函數(shù)Ψn,m(t)形成標(biāo)準(zhǔn)正交基。

ψn,m(t)=

(6)

系數(shù)cn,m為

如果式(6)中的無窮級數(shù)被截?cái)?，則可表示為

矢量C和Ψ(t)為

(7)

2 Legendre小波的積分算子矩陣

根據(jù)式(5)，可以驗(yàn)證，

因此，

因此，Legendre小波Ψn,m(t)可以寫成

(8)

和Legendre多項(xiàng)式相似，Ψn,-1(t)=0。

P為2k-1M×2k-1M的積分算子矩陣，如下:

(9)

其中L和F是M×M的矩陣，如下所示:

證明

(10)

(11)

(12)

因此，結(jié)合式(10-12)可得

(13)

使m≠0，已知

(14)

結(jié)合式(8)，可得

(15)

另外，通過式(4)，可得

(16)

因此，結(jié)合式(15)和式(16)，可得

(17)

(18)

因此，對于m>0，結(jié)合式(14),(17)和(18)，可得

(19)

采用式(13)和(19)，可得

?

同樣，根據(jù)式(19)可得

(20)

那么，

(21)

其中L和F是M×M的矩陣，如式(22)所示:

(22)

F的定義如定理1所示。

(23)

(24)

(25)

因此，結(jié)合式(23-25)可得

(26)

(27)

結(jié)合式(8)，可得

(28)

另外，通過式(4)，可得

(29)

因此，結(jié)合式(28)和(29)可得

(30)

而且，明顯的是

(31)

因此，對于m>0，結(jié)合式(27)，(30)和(31)可得

(32)

通過式(26)和(32)可得，進(jìn)一步地，從式(32)可知

(33)

對于用基向量ψ(x)，必須消除式(33)中的項(xiàng)ψn,M(x)。因此，

可得

…

下面，我們利用有限差分和Legendre小波方法的組合方法，得到了計(jì)算歐式看漲和看跌期權(quán)的Black-Scholes微分方程的數(shù)值解。

3 歐式期權(quán)定價(jià)

在本節(jié)中，我們得到滿足以下Black-Scholes PDE的歐式期權(quán)的值：

(34)

其中，r為無風(fēng)險(xiǎn)率，σ為股票價(jià)格S的波動率，V(S,t)為t時刻和股票價(jià)格S的期權(quán)價(jià)值，設(shè)E為行權(quán)價(jià)格。已知看漲期權(quán)的收益函數(shù)是

V(S,T)=max(S-E,0)，

(35)

看跌期權(quán)的收益函數(shù)為

V(S,T)=max(E-S,0)，

(36)

式(37)給出了歐式看漲期權(quán)的邊界條件，

V(0,t)=0 ，

V(S,t)～S-Ee-r(T-t),S→∞，

(37)

式(38)給出了歐式看跌期權(quán)的邊界條件，

V(0,t)=Ee-r(T-t)，

V(S,t)=0,S→∞，

(38)

將Si代入式(34)，可得

為簡化，設(shè)置Vi(t)=V(Si,t)，并且通過利用一階導(dǎo)數(shù)?V/?S和二階導(dǎo)數(shù)?2V/?S2的有限差分公式，對于i=1,2,…,N-1，可得

(39)

使

那么，將式(39)轉(zhuǎn)化為常微分方程(ODE)組

(40)

其中，

(41)

(42)

通過積分式(42)，可得

(43)

結(jié)合式(40),(42),(43)可得

(44)

其中，

R(t)=AV(1)+b(t),

(45)

并且，

接下來考慮式(44)分別來評估看漲期權(quán)和看跌期權(quán)。

3.1 看漲期權(quán)

對于歐式看漲期權(quán)，式(45)中的右側(cè)向量R(t)可由式(35)和式(37)通過設(shè)置得到

Vi(1)=V(Si,1)=max(iΔS-E,0),

V0(t)=V(S0,t)=V(0,t)=0,

(46)

VN(t)=V(SN,t)=V(Smax,t)=Smax-Ee-r(T-t).

(47)

設(shè)定，

R(t)=(R1(t),R2(t),…,RN-1(t))T,

(48)

那么，通過Ri(t)的Legendre小波展開，可得

(49)

因此，結(jié)合式(44)和式(49)可得下列Sylvester方程

(50)

其中，

通過求解sylvester方程(50)，再結(jié)合式(43)，歐式看漲期權(quán)的近似值為

(51)

算法 1：t時刻歐式看漲期權(quán)

InputN,M,k

3：for i=1,2,…,N-1 do

5：end for

算法1表明，該方法易于實(shí)現(xiàn)，具有較高的執(zhí)行速度。

算例1考慮式(34)Black-Scholes PDE在r=0.2,σ=0.25,E=10和Smax=20下的歐式看漲期權(quán)定價(jià)。對于ΔS=1和2，在k=2，M=3時用本文提出的方法求解了這個問題。圖1給出了看漲期權(quán)V(Si,0)的近似解和精確解式(2)。

圖1 對于空間步長(a) ΔS=2和(b)ΔS=1，算例1中采用本文所提方法時Black-Scholes PDE在M=3和k=2下精確解和近似解的比較

從圖1中可以看出，盡管有其他方法，如有限差分法，ΔS并不需要非常小。而且，在Legendre小波的近似中，k和M不需要很大，這樣可以減少計(jì)算成本。為了表明所提方法的數(shù)值穩(wěn)定性，空間步長ΔS對計(jì)算精度的影響如圖2所示。

圖2 在不同的空間步長ΔS下，例1中在M=3和k=2下采用本文所提方法時，Black-Scholes偏微分方程的精確解與近似解之間的最大絕對誤差

3.2 看跌期權(quán)

對于歐式看跌期權(quán)，式(45)的右邊向量R(t)可由式(36)和(38)通過設(shè)置得到

Vi(1)=V(Si,1)=max(E-iΔS,0),

V0(t)=V(S0,t)=V(0,t)=Ee-r(T-t),

(52)

VN(t)=V(SN,t)=V(Smax,t)=0,

(53)

使

R(t)=((R1(t),R2(t),…,RN-1(t))T,

(54)

那么，可得

(55)

因此，根據(jù)式(44)和式(55)，可得Sylvester方程式

(56)

其中，

通過求解式(56)，并根據(jù)式(43)，可得歐式看跌期權(quán)在時間t的近似值

(57)

算法2給出了歐式看跌期權(quán)的評估方法，如下所示:

算法2：t時刻歐式看跌期權(quán)

InputN,M,k

Output European put optionV(Si,t)

3：for i=1,2,…,N-1 do

5：end for

算例2考慮Black-Scholes PDE式(34)在r=0.2,σ=0.25,E=10和Smax=20下的歐式看跌期權(quán)定價(jià)。對于ΔS=1和2，在k=2，M=3時用本文提出的方法求解了這個問題。圖3給出了看跌期權(quán)V(Si,0)的近似解和精確解。

圖3 對于空間步長(a)ΔS=2和(b)ΔS=1，算例2中采用本文所提方法時Black-Scholes PDE在M=3和k=2下精確解和近似解的比較

圖4 在不同的空間步長ΔS下，例2中在M=3和k=2下采用本文所提方法時，Black-Scholes偏微分方程的精確解與近似解之間的最大絕對誤差

3.3 所得Sylvester方程解的存在唯一性

接下來，證明了Sylvester方程式(50)和(56)有唯一解。

定理3給出了在(Veselic 1979)[22]中證明的某三對角矩陣的慣性。

定理3對于三對角矩陣

其中，ak，bk，ck是實(shí)值，l是虛數(shù)單位，a1≠0，akck≠0，k=2,…,n。那么，ln(T)=ln(D)，其中，D=diag(a1,a1a2c2,a1a2a3c2c3,…,a1…anc2…cn)。

引理1定義式為(41)的A的所有特征值都是不同的實(shí)數(shù)，且大于或等于無風(fēng)險(xiǎn)率r。

證明對于三對角矩陣A，如式(41)所示，由于γiαi+1>0，i=1,2;…,N，A的特征值λA是不同的實(shí)數(shù)[22]。而且，通過Gershgorin圓定理[23]可以很容易地證明，λ(A)≥r。

證明

(58)

推論2歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的近似如式(51)和(57)所示，存在并且是唯一的。

證明定理4的一個推論是Sylvester方程式(50)和(56)，用所提方法得到的近似歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)都有解，且解是唯一的。

4 結(jié)語

股票交易者廣泛使用股票期權(quán)定價(jià)來對沖金融市場中的風(fēng)險(xiǎn)，利用期權(quán)來調(diào)整交易策略和投資組合。歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)是兩種主要的期權(quán)定價(jià)問題，可由布萊克-斯科爾斯偏微分方程(Black-Scholes partial differential equation, PDE)推導(dǎo)。本文研究了Black-Scholes偏微分方程的數(shù)值解。給出了Legendre小波積分算子的矩陣結(jié)構(gòu)。另外，為了采用到期時的支付函數(shù)t=T，得到了另一個運(yùn)算矩陣，它是由已知上限的Legendre小波的不定積分得到的。利用有限差分、截?cái)嗟腖egendre小波級數(shù)展開和相應(yīng)的積分運(yùn)算矩陣，將Black-Scholes微分方程簡化為Sylvester方程。本文通過兩種算法對歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)進(jìn)行了評估。算法表明，與文獻(xiàn)方法相比，該方法易于實(shí)現(xiàn)，具有較高的執(zhí)行速度。同時證明了所得到的Sylvester方程具有唯一解，數(shù)值結(jié)果表明所提出的方法具有較高的精度。與文獻(xiàn)方法相比，為了得到一個合適的解，該方法不需要選擇非常小的步長，而且只需要Legendre小波序列中少量的基函數(shù)。