劉志昂

(蘇州高新區(qū)第五初級中學校 215151)

人們對于美的追求是對于生命本真的追求，數(shù)學美是數(shù)學生命力的重要支柱，是數(shù)學教育目標之一，是數(shù)學教師對數(shù)學教學的理性追求．學校的數(shù)學教育教學，承載著美育教育的任務．

1 數(shù)學之美

美是自然的，是一切事物生存和發(fā)展的本質特征．法國數(shù)學家笛卡爾也說過，美是客觀適應滿足于主觀感受與體驗的一種特征．張文俊認為，數(shù)學的美就是數(shù)學問題的結論或解決問題過程適應人類的心理需要而產(chǎn)生的一種滿足感，簡潔的表現(xiàn)形式，精細的思考方法，處處充滿著理性、高雅、和諧之美，這是真與善的客觀表現(xiàn)[1]．

徐利治也指出，對于數(shù)學美的追求，歸根到底還是對于數(shù)學真理的追求．數(shù)學乃是真與美的完整統(tǒng)一，盡管真與美的表現(xiàn)形式不盡相同，但在本質上卻是一致的[2]．

數(shù)學之美有很多，如數(shù)學的統(tǒng)一之美、簡潔之美、對稱之美、奇異之美、結論之美、方法之美、結構之美等等．它們激發(fā)著人們心靈上的美感和靈感，使之迸發(fā)出創(chuàng)造性的思想火花．我們?nèi)粘５臄?shù)學教學，就需要培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學之美和欣賞數(shù)學之美的能力，而模式識別這一解題教學策略就不失為一種非常好的方法．

2 模式識別

喻平認為，數(shù)學模式是指形式化地采用數(shù)學語言，概括地或近似地表述某種事物系統(tǒng)的特征或數(shù)量關系的一種數(shù)學結構．在數(shù)學問題解決中，具有共同結構的一類問題或具有相同解法的一類問題也稱為一種模式．所謂模式識別，是當主體接觸到數(shù)學問題之后，能將該問題歸類，使得與自己認知結構中的某種數(shù)學模式相匹配的過程[3]．

羅增儒認為，在數(shù)學問題的解決過程中，所積累的知識和經(jīng)驗經(jīng)過加工，會得出有長久保存價值或基本重要性的經(jīng)典結構與重要類型——模式，將其有意識地記憶下來．當遇到一個新問題時，我們聯(lián)想起已經(jīng)解決的問題，在記憶中提取相應的方法加以解決[4]．

在幾何解題教學中，模式識別是基本圖形(或基本問題)的基本結論，基本思想和基本方法．往往通過對基本圖形(或基本問題)進行各種變式，在解決問題的過程中，探尋出基本圖形(或基本問題)及諸多變式的共同特征，概括出它們的一般規(guī)律，總結出基本圖形(或基本問題)的基本結論，歸納出一般的數(shù)學思想和方法，構建出解決問題的模式．運用遷移、化歸等數(shù)學思想方法，進行直接識別應用、間接識別應用、轉化識別應用、變式識別應用、遷移識別應用、拓展識別應用，最終達到問題解決的目的．

圖1

3 模式識別實踐

下面以“正方形中的互垂線段”一例對如上的模式構建和識別應用加以解釋．

3.1 從變式到模式

如圖2，正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在BC，CD上，且BE=CF．連接AE，BF交于點H．你可以得到哪些結論？你是怎樣得到的？(△ABE≌△BCF，AE=BF，AE⊥BF，S△ABH=S四邊形CEHF等，通過“SAS”證明△ABE≌△BCF即可以直接或者間接得到如上結論．)

設計說明這是一個結論開放的問題，鼓勵學生猜想和驗證自己得到的結論，最后引導學生分析所有結論的共性——都是通過△ABE≌△BCF得到的， 因而證明三角形全等是根本性的方法和結論．

變式1：將部分結論與題設交換，你可以得到什么命題？是真命題嗎？如何證明？(若AE=BF或AE⊥BF或S△ABH=S四邊形CEHF，均可得到如上的其它結論，且都是通過證明△ABE≌△BCF而直接或者間接得到)

圖2

圖3

圖4

變式2：如圖3，正方形ABCD中，點E，F(xiàn)，G在邊BC，CD，AD上，連接BF，EG交于點H．

(1)若BF與EG垂直，則BF與EG相等嗎？你是怎樣得到的？(若BF與EG垂直，則BF=EG，將GE向左平移，使G與A重合，證明所得三角形與△BCF全等即可)

(2)若BF與EG相等，則BF與EG垂直嗎？你是怎樣得到的？(在如圖的情況下，同上平移構造全等是可以的；但是存在著其它情況：如果G的位置不變，E點靠近B點，也會有BF與EG相等的時候，此時BF與EG不垂直)

變式3：如圖4，正方形ABCD中，點E，F(xiàn)，G，M在邊BC，CD，AD和AB上，連接MF，EG交于點H．

你能提出什么問題嗎？如何解決？(若MF與EG垂直，則MF與EG相等．將GE向左平移，使G與A重合；將MF向下平移，使M與B重合．結論同變式2．)

設計說明變式1是命題的互逆變式，變式2和變式3則是正方形的形內(nèi)變式．通過變式讓學生逐漸得到這樣的結論：在這個特定的結構中，MF與EG若垂直則相等．都是通過平行化歸構造全等三角形來得到的．

變式4：如圖5，如果點G，E分別在AD，BC的延長線上，點F在CD上，BF的延長線交GE于點M．上述結論是否存在？如何說明？(若BF與EG垂直，則BF與EG相等是成立的，依然是通過平行化歸證全等來得到的)

圖5

圖6

變式5：如圖6，如果直線a⊥b，垂足為M，直線a與AB，DC的延長線分別交于點H，F(xiàn)，直線b與AD，BC的延長線分別相交于點G，E． 上述結論是否存在？如何說明？(若HF與GM垂直，則HF與GM相等是成立的，依然是通過平行化歸證全等來得到的)

設計說明變式4與變式5是在正方形的形外變式． 得到的結論與前面的變式一樣，在這個特定的結構中，MF與EG若垂直則相等．這也是一個“變化中的不變性”：線段的位置在變，但是特殊的位置關系(互相垂直)沒有變，特殊的數(shù)量關系(相等)沒有變，證明的方法沒有變：都是通過平行化歸構造全等三角形來得到的．

在上面解決問題的過程中，我們構建出一個“模式”——即“基本圖形的基本結論，基本思想和基本方法”．基本圖形——端點分別在正方形兩組對邊所在直線上且互相垂直的兩條線段．基本結論——這兩條線段相等．基本思想——通過平行化歸得到圖2的基本圖形．證明這一結論的基本方法——通過借助正方形的邊和直角構造出全等的直角三角形，再運用全等三角形的性質來證明．

3.2 從識別到應用

例1如圖7，E、F分別是正方形ABCD的邊BC、CD上的點，AE、BF相交于點H，且AE⊥BF．下列結論：①AE=BF；②S△AHB=S四邊形CEHF；③AH=HF．其中正確的有(填寫序號)．

圖7

圖8

設計說明這里可以直接識別出該圖形就是模式中的基本圖形，可以直接得出結論AE=BF，再通過證明三角形全等就可以對另外兩個問題的正確性做出判斷．

例2如圖8，將正方形紙片ABCD沿MN折疊，使點D落在邊AB上，對應點為D′，點C落在C′處．若AB=6，AD′=2，折痕MN的長為．

設計說明連接DD′．根據(jù)軸對稱的性質得到DD′⊥MN，間接地識別出正方形中的互垂模式，通過三角形全等的證明得到DD′=MN，再運用勾股定理求出DD′的值即可解決問題．

例3已知，四邊形ABCD是正方形，點P在直線BC上，點G在直線AD上(P、G不與正方形頂點重合，且在CD的同側)，PD=PG，DF⊥PG于點H，交直線AB于點F，將線段PG繞點P逆時針旋轉90°得到線段PE，連接EF．

①如圖9，當點P與點G分別在線段BC與線段AD上時，請說明線段DP與EF有什么樣的關系？

②如圖10，當點P與點G分別在線段BC與線段AD的延長線上時，請猜想四邊形PEFD是怎樣的特殊四邊形，并證明你的猜想．

圖9

圖10

設計說明①DP=EF且DP∥EF． 由點P在直線BC上，點G在直線AD上且DF⊥PG，可以識別出是圖3中的正方形互垂線段模式，因而通過平行化歸證全等后，結合圖形旋轉的性質得到PE=PG=DF，再證明PE∥DF．轉化為證明四邊形PEFD是平行四邊形，因而DP=EF且DP∥EF． ②中點P與點G分別在線段BC與線段AD的延長線上，且DF⊥PG可以識別出是圖6中的正方形互垂模式，同①證明出四邊形PEFD是平行四邊形，結合PD=PG=DF，所以PEFD是菱形．

圖11

圖11

4 模式識別的數(shù)學之美

好而有用的模式總是具有模式美．所謂模式美就是模式本身表現(xiàn)出來的結構形式的和諧性和應用上的普適性．同時模式本身結論的簡潔性、構思的精巧性，模式在構建過程中思維的和諧、方法的美妙也是與生俱來的，從模式的構建到模式的識別與應用，最終達成數(shù)學問題的解決，也形成了一個獨特的數(shù)學學習結構．所以，模式識別具有簡潔之美、結論之美、方法之美、結構之美．

4.1 簡潔之美

數(shù)學的簡潔美是數(shù)學之美的重要標志，它是指數(shù)學的證明方法、表達形式和理論體系結構的簡單性，邏輯表述上的簡潔性，主要包括符號美、抽象美、統(tǒng)一美、常數(shù)美等．

模式的構建，往往是在基本圖形(或基本問題)的諸多變式中，建立它們之間的聯(lián)系，找到其共同點，概括出共同的規(guī)律和根本屬性，尋求變化中的永恒，動態(tài)中的靜止，用不變規(guī)律來描述數(shù)學本質．模式的識別和應用，是一個從一般到特殊的過程，把一個個特例與構建的模式進行數(shù)學本質的比較，把復雜的問題化歸為已經(jīng)解決的問題，將數(shù)學問題的解決歸結到自己熟悉的領域中．這就是模式識別的抽象美、統(tǒng)一美和常數(shù)美．

在上例模式的構建中，正方形中互垂線段(基本圖形)的各種變式，通過平行化歸證全等概括出一般的結論：端點分別在正方形兩組對邊所在直線上且互相垂直的兩條線段相等．這個從特殊到一般的過程，是一個數(shù)學抽象的過程．在模式的識別與應用時，圖形中識別出正方形的互垂線段(基本圖形)的基本結論：若垂直則相等．而其中蘊含的基本思想和基本方法(平行化歸證全等)是不變的，這既是抽象美，統(tǒng)一美，也是常數(shù)美，而“若垂直則相等”作為此模式的代名詞，則為符號美．

4.2 結論之美

數(shù)學的結論之美主要表現(xiàn)在兩個方面：形式美與內(nèi)涵美．從形式上看，數(shù)學結論簡潔、有序、對稱、和諧等；從內(nèi)涵上看，主要是結論自身的深刻性，比如揭示本質，建立聯(lián)系，統(tǒng)一對象等，具有完備性和統(tǒng)一性[5]．

在上例模式的構建過程中，一系列的基本圖形的變式(互逆變式、形內(nèi)變式和形外變式)，是一個將特殊圖形逐漸一般化的過程，構思是精巧而有序的；各種變式圖形均可以通過平行移動而化歸為基本圖形，再通過證明三角形的全等來解決問題，它又是對稱的、和諧的．上例中構造的模式“端點分別在正方形兩組對邊所在直線上且互相垂直的兩條線段相等”本質上是一個數(shù)學命題，是一個正方形中兩條特殊位置線段之間的特殊的數(shù)量關系，是一個由線段特殊位置關系向特殊數(shù)量關系轉化的結論．顯然是建立了聯(lián)系，統(tǒng)一了對象，所以具有完備性和統(tǒng)一性，因而具有數(shù)學的結論之美．

4.3 方法之美

弗賴登塔爾認為：沒有一種數(shù)學的思想，以它被發(fā)現(xiàn)時的那個樣子公開發(fā)表出來．一個問題被解決后，相應的發(fā)展為一種形式化技巧，結果把求解過程丟在一邊，使得火熱的發(fā)明變成冰冷的美麗[6]．模式在構建過程中思維的和諧、方法的美妙也是與生俱來的，從模式的構建到模式的識別與應用，最終達到數(shù)學問題的解決，既是一個學習的過程，也是一個學習的方法．

在上例的模式構建過程中，各種變式中問題的解答，均是聯(lián)想到基本圖形中知識之間關聯(lián)、問題解決的方法(通過全等三角形來解決問題)，而每種變式與基本圖形之間也是有著內(nèi)在關聯(lián)的．接下來通過平行化歸構造全等，將要解決的問題化歸為已經(jīng)解決的基本問題，本身就是一個“變更問題”[7]的方法，使問題的初始狀態(tài)與目標狀態(tài)愈來愈近．而模式的識別與應用，如上例中的直接識別應用、間接識別應用、轉化識別應用、變式識別應用等，就是一個解題思路的產(chǎn)生與應用的方法，是一個數(shù)學思維方式獲得的方法，還是一個用數(shù)學的方法，最終是一個數(shù)學問題解決的方法．

4.4 結構之美

模式是以抽象形式反映關系結構的，模式的識別與應用則是對這種關系結構的識別和應用的過程，因而模式識別既是一個數(shù)學抽象的過程，也是一個數(shù)學建模的過程．如上例就是從基本圖形的基本結論出發(fā)，通過一系列的變式，引導學生歸納出諸多例證的共同特征，抽象出一般的規(guī)律，得到一般的結論，這是一個從特殊到一般的過程；而在諸多的識別與應用中，則是一個從一般到特殊的過程．

在上述的模式構建與識別、應用中，學生體會到不同的數(shù)學知識之間的內(nèi)在關聯(lián)，如正方形的性質、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、線段的特殊位置關系與特殊數(shù)量關系、平行四邊形的判定與性質等等，形成了一個特定的知識結構．

學生通過對模式的構建與理解、模式的識別與應用，進一步地理解上述的知識，內(nèi)化后將它們轉化為自己的東西，變?yōu)閮?nèi)在的認知結構，這里“基本圖形——端點分別在正方形兩組對邊所在直線上且互相垂直的兩條線段．基本結論——這兩條線段相等．基本思想——通過平行化歸得到圖2的基本圖形．證明這一結論的基本方法——通過借助正方形的邊和直角構造出全等的直角三角形，再運用全等三角形的性質來證明”就是一個特定的認知結構．

這一結構有助于學生的學習，有助于學生解決具有相關特征的數(shù)學問題，以達到問題解決的目的，因而形成了一個有效的學習結構．一旦形成這樣的學習結構，學生在快速準確解決問題的同時，獲得成功體驗，有了快樂感受，產(chǎn)生積極情緒．這種積極情緒使得學生學習數(shù)學和愉快情緒建立穩(wěn)定的聯(lián)系，激發(fā)學生對數(shù)學學習的興趣，促進學生學好的愿望和信心．法國數(shù)學家笛卡爾說過：“一般的說，所謂美和愉快，所指的不過是我們的判斷和對象之間的一種關系．凡是能使大多數(shù)人感到愉快的東西就可以說是最美的．”