安徽省肥東城關中學 (231600) 王東海

1 引言

2021 年高考數(shù)學上海卷第16題的題干簡潔，沒有繁冗的文字，和以往的選擇題的最后一題比較，學生易想到使用構造函數(shù)和圖像法，即它相對容易入題.但此題融入了眾多數(shù)學思想與方法的考查，體現(xiàn)了對學生數(shù)學核心素養(yǎng)應用水平的較高要求，因而完成正確的求解并非易事．就筆者所進行的調查結果而言，本題的區(qū)分度好，不失為一道比較成功的選擇壓軸題．波利亞說：掌握數(shù)學就意味著解題，本文嘗試從不同的切入點來分析解題思路，并給出幾點啟示.

2 問題呈現(xiàn)

已知x1、y1、x2、y2、x3、y3為六個不同的實數(shù)，滿足①x1

A.2x2x1+x3,

3 解法賞析

分析1：由x1+y1=x2+y2=x3+y3知和為常數(shù)，設為k，再結合①、③兩條件去推理.

評注：在代入③式后，使用基本不等式是解題的破冰之處.

分析2：不用基本不等式，也可通過作商比較大小的方法去處理.

分析3:考慮到x1+y1=x2+y2=x3+y3，也可換一個角度去假設.

評注：假設比較巧妙，解法簡潔高效.

分析4：此題通過分析后，可根據(jù)其結構特點，通過構造函數(shù)去處理此題.

解法4：前同解法1，∵x1y1+x3y3=2x2y2,∴x1(k-x1)+x3(k-x3)=2x2(k-x2)，構造函數(shù)f(x)=x(k-x)，則上式

圖1

評注:結合函數(shù)的圖像去研究，顯得直觀易懂，體現(xiàn)了數(shù)形結合的解題思想.

分析5:此題如能同高數(shù)中函數(shù)凸凹性聯(lián)系起來，則解題比較迅速.

評注：抓住函數(shù)的凸凹性去解題，簡潔明了，比較節(jié)約時間.

分析6：選擇題用特殊值法去解題，也可得到答案.

4 幾點啟示

4.1高數(shù)背景

解法5用到了高數(shù)中的部分知識，是六種解法中較簡單的.事實上近年來的高考題往往有高數(shù)的背景，如高數(shù)中的泰勒級數(shù)、等價無窮小、洛必達法則、拉格朗日中值定理等時有出現(xiàn)，掌握了這部分知識可以很快給出解答，比如下列這兩道新課標高考題.

A.a

C.b

例2(2010新課標理解題)設f(x)=ex-1-x-ax2≥0對x∈[0,+∞)恒成立，求a的范圍.

4.2追本溯源

本題求解對思維有較高要求，其命題背景也與教材有著緊密的聯(lián)系，貫徹了高考命題源于教材高于教材的理念.一般地，本題的通法是構造函數(shù)，再結合函數(shù)的圖像觀察即可得.其來源于人教版數(shù)學選修2-2第32頁B組第1題：證明下面不等式：(1)sinx0,x∈(0,1).

5 結語

總之，加強“一題多解”的教學，既能培養(yǎng)學生的解題能力，又能使學生的核心素養(yǎng)的培養(yǎng)落地生根，且避免了學生陷入題海戰(zhàn)術，從而收到良好的教學效果.正如羅增儒教授所言：“一個數(shù)學問題，如果我們只有一個解法，不管是自己想出來的還是翻答案看到的，都肯定會存在認識上的局限性，只有在得出二個或更多個解法之后，才會對問題的本質有真正的了解，通過解題而培養(yǎng)能力的目的也才有可能實現(xiàn).”