浙江省寧波市第四中學(xué) (315016) 蔣亞軍

定值與定點(diǎn)問題是圓錐曲線中典型的問題，其中圓錐曲線C上的一定點(diǎn)M和兩動(dòng)點(diǎn)P,Q(異于點(diǎn)M)，則動(dòng)直線PQ過定點(diǎn)與直線MP,MQ的斜率之積(和)為定值密切相關(guān).

一、幾個(gè)結(jié)論

(3)當(dāng)kMP+kMQ=λ(λ≠0)時(shí)，

二、典例運(yùn)用

1.定點(diǎn)求定值

圖1

評(píng)注：對(duì)圓錐曲線上一定點(diǎn)M(x0,y0)和兩動(dòng)點(diǎn)A,B(異于點(diǎn)Q)，由動(dòng)直線l過定點(diǎn)P(p,q)，求kMA+kMB或kMA·kMB的定值，需要注意直線l的斜率是否存在，為避免分類討論，利于二次方程齊次化的轉(zhuǎn)化，可設(shè)直線l:m(x-p)+n(y-q)=1.

2.定值找定點(diǎn)

例2 已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)A(4,0)，且在y軸上截得弦MN的長為8.(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程；(2)已知點(diǎn)B(-1,0)，設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P,Q.若x軸是∠PBQ的角平分線，證明直線l過定點(diǎn).

圖2

圖3

評(píng)注：對(duì)一定點(diǎn)Q(x0,y0)和圓錐曲線上兩動(dòng)點(diǎn)A,B(異于點(diǎn)Q)，由kQA+kQB或kQA·kQB為定值，求動(dòng)直線l過定點(diǎn)是這類問題的正向問題.

3.提煉與移植

圖4

三、連接高考題

2020年高考全國卷Ⅰ理數(shù)第20題:

(2)證明：直線CD過定點(diǎn).

本題還可得出有關(guān)定點(diǎn)、定值問題：

(1)證明：直線AD與BC的交點(diǎn)在定直線直線x=6上；

結(jié)合上述的結(jié)論，我們可以將此題改編為：