江蘇省蘇州市吳縣中學(xué) (215151) 康小峰

1.背景分析

2020年初，教育部考試中心發(fā)布了《中國高考評價體系》，高考評價體系主要由“一核”、“四層”、“四翼”三部分組成, “一核”為核心功能,即“立德樹人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)”,回答“為什么考”的問題; “四層”為考查內(nèi)容,即“核心價值、學(xué)科素養(yǎng)、關(guān)鍵能力、必備知識”, 回答“考什么”的問題; “四翼”為考查要求,即“基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性”, 回答“怎么考”的問題.高考評價體系是高考命題、評價與改革的理論基礎(chǔ)和實踐指南,2021年新高考Ⅰ卷是在該評價體系下成功命題的一個典范,本文以此卷第19題為例從“一核”、“四層”、“四翼”三個維度加以分析,旨在更好的指導(dǎo)今后的高中數(shù)學(xué)教學(xué),不當(dāng)之處敬請同行批評指正.

2.試題呈現(xiàn)

(2021年新高考Ⅰ卷第19題)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知b2=ac，點D在邊AC上，BDsin∠ABC=asinC．

(1)證明：BD=b；

(2)若AD=2DC，求cos∠ABC．

分析：本題以三角形為載體，圍繞常見的邊角關(guān)系來設(shè)計問題，考查學(xué)生利用正弦定理和余弦定理來解決三角綜合問題的能力，題設(shè)中——點D在邊AC上，使得原本單個三角形變成了復(fù)雜圖形，給人一種似曾相識的感覺.本題第一問直接用正弦定理便可得證,第二問內(nèi)涵豐富,因此會有不同的思路,下面先給出4種解法.

解:(1)略.

3.試題分析

3.1 體現(xiàn)高考的核心功能

本題第(1)問起點低，面向全體學(xué)生，讓所有學(xué)生都有所得；第(2)問綜合性較高，體現(xiàn)了“多層次、高落差”的特點，“多層次”體現(xiàn)為試題在難度設(shè)計上呈現(xiàn)出難度和思維的層次性，給學(xué)生提供了多種解決問題的途徑，讓不同層次的學(xué)生都有發(fā)揮的空間.“ 高落差”體現(xiàn)為在試題的難度設(shè)計上不僅有層次性，而且在思維的靈活性、深刻性，方法的綜合性和創(chuàng)造性等方面,為優(yōu)秀的學(xué)生提供施展才華的空間.如果第(2)問采取前三種解法則耗時較多，影響后續(xù)試題的解答，反之，若采取創(chuàng)新性的解法四，則解答省時省力，有利于考生騰出更多的時間去主攻導(dǎo)數(shù)壓軸題，四種解法能有效甄別出不同思維的考生，從而展現(xiàn)出高考的選拔性功能.

該題很好的體現(xiàn)了“教材起點，高考落點“的高考命題原則，很多解題方法都是源自課本，比如解法二利用鄰角互補的余弦值互為相反數(shù)，便來自于蘇教版數(shù)學(xué)必修5教材第16頁例6的求解方法.

圖2

上述案例向我們一線教師傳遞出這樣一個信號, 教材是一切知識的載體，一切命題的源泉，雖然新高考在情境載體、考查內(nèi)容、試題結(jié)構(gòu)等方面進行了有效的嘗試和突破，但面對新高考我們絕不能以題海戰(zhàn)術(shù)來代替課本教學(xué)，而是要扎扎實實的立足課堂用好課本，注重引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展的全過程，充分挖掘典型問題的內(nèi)在價值與遷移功能，讓學(xué)生感到學(xué)有所用，在潛移默化中提高 “四基”發(fā)展 “四能”，促進學(xué)生核心素養(yǎng)的形成.

3.2 體現(xiàn)“四層”的考查要求

根據(jù)高校人才選拔要求和國家課程標(biāo)準(zhǔn)，考試評價的規(guī)律，高考評價體系將考查的素質(zhì)教育目標(biāo)凝練為“核心價值、學(xué)科素養(yǎng)、關(guān)鍵能力、必備知識”的“四層”考查內(nèi)容.

核心價值是指即將進入高等學(xué)校的學(xué)習(xí)者應(yīng)當(dāng)具備的良好政治素質(zhì)、道德品質(zhì)和科學(xué)思想方法的綜合，是在各學(xué)科中起著價值引領(lǐng)作用的思想觀念體系，是其在面對現(xiàn)實的問題情境時應(yīng)當(dāng)表現(xiàn)出的正確的情感態(tài)度和價值觀的綜合.數(shù)學(xué)是培養(yǎng)理性思維的學(xué)科，有助于學(xué)生樹立科學(xué)精神和科學(xué)態(tài)度，有助于學(xué)生形成正確的人生觀、世界觀和價值觀,比如本題以研究三角形中邊與角的關(guān)聯(lián)關(guān)系為切入點，要求學(xué)生在解決問題時，樹立戰(zhàn)勝困難的信心和勇氣，要有百折不撓、契而不舍、刻苦鉆研的探索精神，會用聯(lián)系、運動和發(fā)展的辯證思維深入地思考和探究，從而突出試題的理性思維，彰顯出數(shù)學(xué)的理性精神.

必備知識是指是指即將進入高等學(xué)校的學(xué)習(xí)者在面對與學(xué)科相關(guān)的生活實踐經(jīng)驗或?qū)W習(xí)探索問題情境時，高質(zhì)量的認(rèn)識問題、分析問題、解決問題所必須具備的知識.本題是學(xué)習(xí)探索創(chuàng)新情境題，考查的是高中數(shù)學(xué)必備知識——解三角形及其向量.在試題設(shè)計中體現(xiàn)了“主題單元教學(xué)”理念，以解三角形核心考點為主線，把解三角形的相關(guān)知識(正弦定理、余弦定理、面積公式等)串聯(lián)在一起，考查完整知識體系建構(gòu)情況以及在知識交匯處靈活運用轉(zhuǎn)化進行求解的策略.體現(xiàn)出高考在設(shè)計考查內(nèi)容時，更加注重知識的系統(tǒng)性、整體性、結(jié)構(gòu)性和交匯性.

SΔABC=SΔABD+SΔBCD圖3

關(guān)鍵能力是指即將進入高等學(xué)校的學(xué)習(xí)者在面對與學(xué)科相關(guān)的生活實踐經(jīng)驗或?qū)W習(xí)探索問題情境時，高質(zhì)量的認(rèn)識問題、分析問題、解決問題所必須具備的能力.高考評價體系對高考數(shù)學(xué)科提出5大關(guān)鍵能力：邏輯思維能力、運算求解能力、空間想象能力、數(shù)學(xué)建模能力和創(chuàng)新能力.本題的不同解法，反映出不同的能力.解法一是解三角形中常見的解題思路，解法二和解法三考查了學(xué)生的邏輯思維能力、運算求解能力和數(shù)學(xué)建模能力.解法四是在認(rèn)真分析現(xiàn)有圖形與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的異同之后，通過變換面積視角并借助于三角形相似得出的，整個方法新穎、簡潔、給人眼前一亮的感覺，展現(xiàn)了學(xué)生高水平的直觀想象、數(shù)學(xué)建模、創(chuàng)新實踐等關(guān)鍵能力，同時對數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力的邏輯性和條理性也提出了更高的要求.

3.3 體現(xiàn)“四翼”的考查要求

“四翼”立足于素質(zhì)教育應(yīng)達(dá)成的內(nèi)容表現(xiàn)與形式表現(xiàn)，是聯(lián)結(jié)“四層”高考考查內(nèi)容與高考命題實踐的紐帶，不僅是評價學(xué)生素質(zhì)高低的基本維度，也是評價高考試題質(zhì)量優(yōu)劣的基本指標(biāo).

在“基礎(chǔ)性”維度上，試題將三角形、三邊長關(guān)系、邊角關(guān)系等多個數(shù)學(xué)對象組合在一個情境中，由于沒有給出圖形，需要考生根據(jù)題意畫出圖形，在厘清圖形中邊、角關(guān)系后，考慮從兩個方向切入：①將已知量全部集中在一個三角形中，利用正、余弦定理求解；②已知量與未知量涉及兩個或兩個以上的三角形，先考慮解條件充分的三角形，再逐步解其它三角形,然后展開分析與求解的過程.第(1)問考查了正弦定理的直接應(yīng)用，第(2)問考查了余弦定理，利用第(1)問的結(jié)論和題設(shè)條件，結(jié)合課本中解三角形問題常見的處理方法便可以求解，整個求解過程無不在考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想方法和基本活動經(jīng)驗，可見試題注重情境的典型性、數(shù)學(xué)知識的基本性和求解策略的通用性，很好的體現(xiàn)了“四翼”的基礎(chǔ)性.

在“綜合性”維度上，本題第一個綜合點是如何求線段BD長，題目給出的兩個條件,一個是邊的關(guān)系，另一個是邊角混合關(guān)系，結(jié)合目標(biāo)消角是關(guān)鍵，綜合考查了學(xué)生分析問題的能力和消元的數(shù)學(xué)思想；第二個綜合點是尋求三邊a,b,c的關(guān)系，難點表現(xiàn)在兩個方面：一是如何用好BD=b及線段BD在ΔABC中的位置；二是如何找到切入點列出關(guān)于a,b,c的等式，需要根據(jù)自身積累的數(shù)學(xué)解題經(jīng)驗并調(diào)動認(rèn)知結(jié)構(gòu)中現(xiàn)有的解題模型方可解決問題，學(xué)生要具備較強的直觀想象能力和數(shù)學(xué)探究能力.

在“應(yīng)用性”維度上，本題打破傳統(tǒng)意義上用正、余弦定理來解三角形的解題套路，運用向量方法，亦可用平幾知識中的三角形相似來求解，展現(xiàn)出“應(yīng)用性”的豐富內(nèi)涵.

在“創(chuàng)新性”維度上，試題的呈現(xiàn)沒有出現(xiàn)在第17、18題位置，而是破除原來固有的模式，直接出現(xiàn)在具有區(qū)分度位置的第19題，體現(xiàn)出三角函數(shù)解答題題序的創(chuàng)新.高考結(jié)束后與一些學(xué)生交流得知，考試時感覺第(2)問看起來常規(guī)，但又不知如何下手，硬是浪費了不少時間，可見該題的理性探索之深刻，命題思路之深邃，體現(xiàn)了試題的靈活性與創(chuàng)新性，展現(xiàn)了穩(wěn)定與創(chuàng)新的融合.而創(chuàng)新性的解法四，更可以考查學(xué)生的綜合素質(zhì)和創(chuàng)新精神，體現(xiàn)出命題者的良苦用心.其實，該題的創(chuàng)新性遠(yuǎn)不止于上述分析，還體現(xiàn)在試題的可推廣性，比如將原題中的AD=2DC改為AD=λDC(λ>0)，試題的考查深度將更加深入，也可以更好的突出數(shù)學(xué)本質(zhì).

4.結(jié)束語

通過“一核”、“四層”、“四翼”對2021年新高考Ⅰ卷第19題的分析，試題很好的貫徹了高考評價體系的核心理念，以“立德樹人”為宗旨，突出數(shù)學(xué)本質(zhì)，倡導(dǎo)學(xué)以致用，聚焦核心素養(yǎng)，發(fā)揮數(shù)學(xué)科的選拔功能，從根本上體現(xiàn)了素質(zhì)教育的要求，為今后的高中數(shù)學(xué)教學(xué)起到了積極的導(dǎo)向作用.