江蘇省姜堰第二中學(xué)(225500) 凌世兵 徐樹(shù)旺

對(duì)于數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，2017版課程標(biāo)準(zhǔn)從情境與問(wèn)題、知識(shí)與技能、思維與表達(dá)、交流與反思四個(gè)方面給出了三個(gè)不同水平劃分.多數(shù)學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)只能達(dá)到水平一，少部分學(xué)生能達(dá)到水平二.也就是大多數(shù)學(xué)生只能在熟悉的數(shù)學(xué)情境中，根據(jù)問(wèn)題的特征形成合適的運(yùn)算思路，少部分學(xué)生能夠針對(duì)運(yùn)算問(wèn)題，合理選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，很少有學(xué)生能夠做到構(gòu)造運(yùn)算程序，解決問(wèn)題.總有數(shù)學(xué)老師抱怨：我已花了很大力氣從算法、算理等多方面來(lái)提升學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)水平，但收效還是不盡人意.究其原因，主要在于我們老師沒(méi)有深入調(diào)研學(xué)生現(xiàn)有運(yùn)算素養(yǎng)水平，不能從學(xué)生現(xiàn)有的運(yùn)算素養(yǎng)水平出發(fā)，而是盲目拔高，講自己所要講而不是講學(xué)生所要聽(tīng)，追求運(yùn)算的高技巧與高難度，學(xué)生無(wú)法越級(jí)跟上，所以收效甚微，這需要我們老師調(diào)研并關(guān)注學(xué)生現(xiàn)有運(yùn)算素養(yǎng)水平，基于學(xué)生現(xiàn)有的運(yùn)算素養(yǎng)水平進(jìn)行合理的教學(xué)設(shè)計(jì)，讓學(xué)生拾階而上，切實(shí)有效提升學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)水平.

案例已知函數(shù)f(x)=lnx+ax-1(a∈R).

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

(2)若函數(shù)f(x)圖像過(guò)點(diǎn)(1,0)，求證：e-x+xf(x)≥0.

這是我校高二調(diào)研試題，第(1)小題是一個(gè)簡(jiǎn)單的分類(lèi)討論，學(xué)生均能完成，第(2)小題是難點(diǎn)，學(xué)生只能想到的是“要證e-x+xf(x)≥0，即證e-x+x(lnx+x-1)≥0”，然后直接構(gòu)造函數(shù)g(x)=e-x+x(lnx+x-1)，再證g(x)≥0，但在解答過(guò)程中遇到了很大的困難，學(xué)生均未能完成證明.即學(xué)生只能在熟悉的數(shù)學(xué)情境中，根據(jù)問(wèn)題的特征形成合適的運(yùn)算思路，達(dá)成運(yùn)算素養(yǎng)水平一，沒(méi)有學(xué)生能夠做到構(gòu)造運(yùn)算程序，解決實(shí)際問(wèn)題，即不能到達(dá)水平二，這是學(xué)生的現(xiàn)有運(yùn)算素養(yǎng)水平，老師須從這里出發(fā)幫學(xué)生解決困難，并力爭(zhēng)在現(xiàn)有水平上有所提升.

任課教師A沒(méi)有調(diào)研學(xué)生解法，而是直接講解如下參考答案：

任課教師B先研究學(xué)生解法.

由于學(xué)生無(wú)法像參考答案提供的解法那樣得到g(x0)=0，所以學(xué)生均未能完成解題，這是學(xué)生急需要解決的問(wèn)題.教師B對(duì)這道題設(shè)計(jì)了如下的教學(xué)環(huán)節(jié)，首先幫學(xué)生解決“g(x0)=0”的困惑，然后再引領(lǐng)學(xué)生一起感受參考答案.

老師(投影學(xué)生解法)：要證g(x)≥g(x0)即要證g(x0)=0，但由于x0是超越方程e-x0=lnx0+2x0的根，無(wú)法解出，所以很大同學(xué)只能到此為止，很是遺憾！

學(xué)生1：從e-x0=lnx0+2x0得到g(x0)=0著實(shí)不易，但我試著把e-x0=lnx0+2x0代入g(x0)得到g(x0)=e-x0+x0(lnx0+x0-1)=e-x0+x0(e-x0-x0-1)=(1+x0)(e-x0-x0)，這里出現(xiàn)了兩個(gè)因式，顯然我們要證e-x0-x0=0，可我未能成功.

沿著學(xué)生1的思路，再?gòu)摹癳-x0=lnx0+2x0”尋找路徑，經(jīng)師生合作得到如下解答：

由①式可得e-x0-x0=lnx0+x0.設(shè)e-x0-x0=lnx0+x0=t，則 e-x0=t+x0,lnx0=t-x0，即-x0=ln(t+x0),lnx0-t=-x0，可得lnx0=ln(x0+t)+t， 由此同構(gòu)式可得t=0， 則 e-x0-x0=0，所以 g(x0)=e-x0+x0(lnx0+x0-1)=e-x0+x0(e-x0-x0-1)=(1+x0)(e-x0-x0)=0，所以 g(x)≥g(x0)=0 .

實(shí)際上，學(xué)生在考場(chǎng)上的解法得到g(x0)=0著實(shí)不易，這對(duì)代數(shù)恒等變換提出非常高的要求，難怪學(xué)生均未能完成解答，在師生通力合作下，問(wèn)題終于得到成功解決，學(xué)生課前的困惑得到了圓滿(mǎn)解決，甚是欣慰，雖解決地很是辛苦，但拉近了師生、生生之間的距離，課堂和諧高效.這樣的過(guò)程在考場(chǎng)很難完成，為了回避這一思維難點(diǎn)，所以此題提供的參考答案在原有不等式兩邊同時(shí)除以x，但如果不看參考答案，估計(jì)老師也會(huì)像學(xué)生那樣移項(xiàng)直接構(gòu)造函數(shù)，當(dāng)然，部分解題經(jīng)驗(yàn)較豐富的老師還是會(huì)選擇參考答案的思路.

緊接著B(niǎo)教師給出了參考答案，并與學(xué)生一起進(jìn)行了比較與分析，得出如下小結(jié)：在原有不等式兩邊同時(shí)除以x后，所構(gòu)造函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)只含有一個(gè)超越表達(dá)式，易于得出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)；而直接構(gòu)造函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)含有兩個(gè)超越表達(dá)式，很難得出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn).學(xué)生心中的結(jié)得到了徹底解決，收獲滿(mǎn)滿(mǎn)！

學(xué)生2(舉手)：老師，我有個(gè)新的解法.在原有不等式兩邊同時(shí)乘以ex，然后構(gòu)造函數(shù)g(x)=1+ex(xlnx+x2-x)，其導(dǎo)函數(shù)為g′(x)=ex(x+1)(lnx+x)，由g′(x0)=0可得lnx0+x0=0，即lnx0=-x0，同樣可得x0=e-x0，接下來(lái)同前面解法，問(wèn)題也能得到圓滿(mǎn)解決.學(xué)生2的解法中，所構(gòu)造函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)含有兩個(gè)超越表達(dá)式，但一點(diǎn)都不影響問(wèn)題的解決，由此可見(jiàn)，前面的小結(jié)也不是絕對(duì)的，學(xué)生2能由“除”想到“乘”，并很快給出新的解法，敢于突破老師超越老師，這說(shuō)明在教師B正確課堂教學(xué)設(shè)計(jì)的影響下，學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)水平得到了極大提升，這是有效課堂教學(xué)的充分體現(xiàn)，也是B教師合理教學(xué)設(shè)計(jì)的有力證明!

B教師雖然浪費(fèi)了教學(xué)時(shí)間(只講了這道題和兩道變式)，未能像A教師那樣完成更多的教學(xué)任務(wù)(完成整份調(diào)研測(cè)試6道重點(diǎn)試題的講評(píng))，但其收效卻很大，要知道，在課堂教學(xué)中，像B教師這樣的講解才是學(xué)生最需要的，當(dāng)然也是很有效的.

當(dāng)然，課后經(jīng)聽(tīng)課老師們深入研討后發(fā)現(xiàn)：在函數(shù)的綜合題中，經(jīng)常會(huì)遇到令人望而生畏的超越不等式，在艱難求解后，可基于文[3]的思考進(jìn)一步探索出此題的命制路徑.

結(jié)語(yǔ)：由于上課教師A課前沒(méi)有認(rèn)真研究學(xué)生的解答過(guò)程，直接講參考答案，還在暗地里嫌學(xué)生笨，連“不等式兩邊同時(shí)除以x”都想不到，但學(xué)生非常期待老師能幫其完成解答，但教師A只提供了一個(gè)學(xué)生不能想到的思路，技巧性強(qiáng)，學(xué)生根本達(dá)不到，這樣的課堂教學(xué)效果是很差的，我們需要切實(shí)解決學(xué)生的問(wèn)題，達(dá)成有效課堂，真正提升學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)水平.任課教師B課前充分研究學(xué)生解法，先展示學(xué)生未能成功的解法，并與學(xué)生合作完成后續(xù)思路，后再提供新的思路，最后進(jìn)行比較，以總結(jié)此類(lèi)問(wèn)題的常用處理策略，即教師B先基于學(xué)生現(xiàn)有運(yùn)算素養(yǎng)水平，后再提升學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)水平，達(dá)成了很好的教學(xué)效果.

學(xué)生解法是學(xué)生現(xiàn)有數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)水平的真實(shí)體現(xiàn)，即可理解為學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，是學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)水平生長(zhǎng)的起點(diǎn)，也就是老師課堂教學(xué)的起點(diǎn)及著力點(diǎn)，課堂教學(xué)應(yīng)始于此起點(diǎn)，首先抓牢這一起點(diǎn)，然后帶領(lǐng)學(xué)生飛向更高的點(diǎn)，所以我們老師要講學(xué)生所要學(xué)，而不是講老師所要教，基于學(xué)生現(xiàn)有數(shù)學(xué)運(yùn)算所以水平，實(shí)施切實(shí)有效的教學(xué)，真正幫助學(xué)生提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)水平，讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地有聲.