魯恩民， 王中結(jié)

(安徽師范大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院， 蕪湖 241000)

1 引 言

量子糾纏一直是量子通信[1]、量子密碼[2]、量子隱形傳態(tài)[3]等方向的核心內(nèi)容. 量子糾纏一詞首次出現(xiàn)是在1935年薛定諤發(fā)表的貓態(tài)一文中[4]，經(jīng)過后人對于量子世界逐漸探索，量子糾纏才真正的被人們所接受和理解. 1982年法國Aspect實驗小組關(guān)于檢驗Bell不等式的實驗[5],宣告著人們對于量子糾纏的認(rèn)識從經(jīng)典論轉(zhuǎn)向量子力學(xué)范疇. 對于量子糾纏的研究成果開始爆發(fā)式的涌現(xiàn)，首先是在量子判據(jù)方面，Peres[6]、Schlienz[7]、Keller[8]等人分別給出了不同的解釋，其次許許多多不同的糾纏度量方法被提出，其中Phonenix和Knight等人就將熵理論應(yīng)用于部分糾纏度量中[9,10]，因其既可以分析場與原子之間經(jīng)典與非經(jīng)典的關(guān)聯(lián)程度，又可以分析場與原子之間糾纏特性，所以近些年來，利用量子場熵來度量系統(tǒng)與光場之間糾纏度的研究取得了令人欣喜的結(jié)果. 2017年 Arturo Zǘniga-Segundo等人證明了混合態(tài)的原子與場的相互作用可以計算出兩倍于崩潰時間的場熵[11]. 2018年劉堂昆等人介紹了如何通過量子場熵來計算相干態(tài)光場與雙量子態(tài)的兩個原子相互作用的糾纏度等[12]. 2019年Jorge A. Anaya-Contreras等人研究了用Araki-Lieb不等式從原子熵來計算場熵[13].

本文所研究的量子Rabi模型在量子信息方面是靠量子模擬來實現(xiàn)，主要的量子模擬平臺有超導(dǎo)電路[14]，超冷原子氣體[15]，和囚禁離子平臺[16]等. 本文首次將Von-Neumann量子約化熵理論引入到囚禁離子非線性Rabi模型量子場熵演化特性的研究中，間接的研究囚禁離子與光場之間的量子糾纏，并借助計算機的模擬，給出Lamb-Dicke參數(shù)和初始平均光子數(shù)對量子糾纏的影響.

2 模型及其解

我們考慮了一個被囚禁在諧波勢阱中的離子，它與失諧的一階紅、藍(lán)邊帶光場相互作用，產(chǎn)生相應(yīng)的失諧量，即光學(xué)RWA讀出后系統(tǒng)的哈密頓量:

(1)

其中，δ1=ω1-ωa+kν,δ2=ω2-ωa-kν,ωa是兩能級躍遷頻率，ω1,2是驅(qū)動激光的頻率，ν是囚禁勢頻率，σz是與這個兩能級系統(tǒng)相關(guān)的泡利矩陣，σ+是原子上升算符，Ω是拉比頻率. 如果我們應(yīng)用振動的旋轉(zhuǎn)波近似，我們得到

(2)

式中

(3)

(4)

如果選擇k=2，我們可以得到如下的雙光子非線性Rabi模型

(5)

假設(shè)在初始時間原子處于激發(fā)態(tài)|e>，光場處于相干態(tài)|α>，系統(tǒng)的初始狀態(tài)為：

(6)

系統(tǒng)在任何時刻的波矢可以表示為：

(7)

將(7)代入由單光子非線性拉比模型的哈密頓量(4)或雙光子非線性拉比模型的哈密頓量(5)所決定的薛定諤方程，得到與和有關(guān)的相應(yīng)微分方程.

3 光場與囚禁離子之間的量子糾纏演化特性

由(5)式可以得到相互作用系統(tǒng)的密度算符ρ(t)=|ψΙ(t)〉〈ψΙ(t)|，根據(jù)Von-Neumann量子約化熵理論，激光場的約化密度矩陣為：

ρL(t)=Triρ(t)=Tri{|ψΙ(t)><ψΙ(t)}

(8)

采用文獻[13]中的處理方法，可以得到光場約化密度矩陣的本征值為

(9)

(10)

從而我們可以得到光場的Von-Neumann量子約化熵為

(11)

4.1 Lamb-Dicke參數(shù)對量子糾纏的影響

我們?nèi)α|2=20，Lamb-Dicke參數(shù)取不同值時，求解方程后我們可以做出數(shù)值計算，得到量子場熵隨標(biāo)度時間的演化曲線如圖一所示.

圖1 Lamb-Dicke參數(shù)取不同值時，量子場熵隨標(biāo)度時間的演化曲線(a)η=0.5;(b) η=0.6;(c) η=0.7;(d) η=0.8Fig. 1 Evolution curves of quantum field entropy with scaling time when Lamb-Dicke parameter takes different values(a)η=0.5;(b) η=0.6;(c) η=0.7;(d) η=0.8

圖1我們給出了|α|2=20時，Lamb-Dicke參數(shù)η取不同值時，量子場熵隨標(biāo)度時間的演化曲線，我們可以看出Lamb-Dicke參數(shù)η影響著量子場熵演化曲線的周期性，Lamb-Dicke參數(shù)η較大時，周期性越來越明顯，這說明了Lamb-Dicke參數(shù)η對量子場熵起到了一定的調(diào)制作用，隨著Lamb-Dicke參數(shù)η的不斷增大，我們發(fā)現(xiàn)存到達(dá)某極值后調(diào)制效果達(dá)到最大隨后調(diào)制效果開始減弱. 其次量子場熵演化曲線的平均值是先變小后變大，曲線的振蕩幅度先增大而后減小，振蕩的頻率越來越慢. 這說明了隨著Lamb-Dicke參數(shù)η的不斷增大，囚禁離子與駐波激光場之間量子糾纏強度先減弱后增強.

4.2 初始平均光子數(shù)對量子糾纏的影響

我們?nèi)amb-Dicke參數(shù)η=0.7. 初始平均光子數(shù)取不同值時，我們可以做出數(shù)值計算，得到量子場熵隨標(biāo)度時間的演化曲線如圖二所示.

圖2我們可以給出了當(dāng)Lamb-Dicke參數(shù)η=0.7時，量子場熵與平均光子數(shù)之間的關(guān)系，可以看出場熵的演化具有明顯的振蕩性，其次隨著初始平均光子數(shù)的增大，量子場熵的平均值是先減小后增大. 其振蕩頻率和振蕩幅度都是隨著初始平均光子數(shù)的增大，先減小后增大. 這也就是說，隨著初始平均光子數(shù)的增大，囚禁離子與駐波激光場之間量子糾纏的程度先減弱后增強.

5 雙光子Rabi模型中場熵演化

5.1 Lamb-Dicke參數(shù)對量子糾纏的影響

在這一章節(jié)的研究中我們?nèi)α|2=20，改變Lamb-Dicke參數(shù)的取值，來研究Lamb-Dicke參數(shù)對于量子糾纏曲線的影響，得到的量子場熵隨標(biāo)度時間的演化曲線如圖四所示：

從圖中我們可以看出雙光子Rabi模型場熵的演化曲線有明顯的周期性，這說明原子與光場的糾纏呈現(xiàn)周期性的變化并且隨著Lamb-Dicke參數(shù)η的增大，場熵的周期性在逐漸消失，當(dāng)Lamb-Dicke參數(shù)η較小時出現(xiàn)了周期性的糾纏和退糾纏即退耦現(xiàn)象，隨著Lamb-Dicke參數(shù)η的不斷增大，場熵的退糾纏現(xiàn)象消失. 另一方面，量子場熵演化曲線的平均值在逐漸增加，振蕩的頻率越來越快. 這說明了隨著Lamb-Dicke參數(shù)η的不斷增大，囚禁離子與駐波激光場之間量子糾纏強度在逐漸增強. 從中我們可以看出Lamb-Dicke參數(shù)η對于場熵的演化曲線有明顯的調(diào)制作用.

圖2 初始平均光子數(shù)取不同值時，量子場熵隨標(biāo)度時間的演化曲線Fig. 2 The evolution curves of quantum field entropy with scaling time when the initial average photon number is

圖3 Lamb-Dicke參數(shù)取不同值時，量子場熵隨標(biāo)度時間的演化曲線(a)η=0.25;(b) η=0.30;(c) η=0.35;(d) η=0.40.Fig. 3 Evolution curves of quantum field entropy with scaling time when Lamb-Dicke parameter takes different values(a)η=0.25;(b) η=0.30;(c) η=0.35;(d) η=0.40.

圖4 初始平均光子數(shù)取不同值時，量子場熵隨標(biāo)度時間的演化曲線Fig. 4 The evolution curves of quantum field entropy with scaling time when the initial average photon number is

5.2 初始平均光子數(shù)對量子糾纏的影響

在這一節(jié)中我們?nèi)amb-Dicke參數(shù)η=0.40，改變初始平均光子數(shù)，來探究初始平均光子數(shù)對于量子糾纏的影響.

從圖5中我們可以看出，場熵的演化曲線具有周期性，這說明光場與原子的糾纏存在周期性，隨著初始平均光子數(shù)的增大，量子場熵的平均值逐漸減小，振蕩幅度略有增加，振蕩頻率加快. 這也就是說明，隨著初始平均光子數(shù)的增大，囚禁離子與駐波激光場之間量子糾纏的程度越來越弱.

6 結(jié) 論

根據(jù)上述囚禁離子與駐波激光場之間的量子糾纏特性，我們可以選取適當(dāng)?shù)腖amb-Dicke參數(shù)η和使得初始選取恰當(dāng)?shù)墓庾訑?shù)來制備糾纏態(tài)或純態(tài)，還可以利用這些演化特性構(gòu)建有用的量子邏輯門等.