羅 正

(北京理工大學(xué)精工書院 北京 102488)

1 提出問題

小球在光滑半圓槽內(nèi)的運(yùn)動(dòng)是講解動(dòng)量守恒時(shí)常用的模型.如果將小球換成均質(zhì)細(xì)直桿，那么對(duì)于均質(zhì)細(xì)直桿的運(yùn)動(dòng)就無法用質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)的知識(shí)進(jìn)行求解.均質(zhì)細(xì)直桿是剛體，剛體運(yùn)動(dòng)因具有角速度而有別于質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，所以需要應(yīng)用剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行推導(dǎo).本文將以如下題目為例，通過兩種方法求解均質(zhì)細(xì)直桿在光滑半圓槽內(nèi)的運(yùn)動(dòng).

在圖1所示的豎直平面內(nèi)，質(zhì)量m1=3m，半徑為r的光滑半圓槽放置在光滑水平面上，其中放置有質(zhì)量m2=m，長度為r的均質(zhì)細(xì)直桿AB，初始時(shí)刻A端位于半圓槽左頂點(diǎn)處.系統(tǒng)無初速度釋放，求桿AB發(fā)生30°轉(zhuǎn)角的瞬間，桿AB的角速度.

圖1 半圓槽-均質(zhì)細(xì)桿系統(tǒng)

2 用動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒求解桿AB的角速度

如圖2所示，半圓槽沿水平方向做直線運(yùn)動(dòng)，桿AB的質(zhì)心C相對(duì)于半圓槽以動(dòng)點(diǎn)O為圓心做圓周運(yùn)動(dòng).

圖2 速度分析

設(shè)質(zhì)心C的速度為vc，半圓槽速度為v0，質(zhì)心C相對(duì)于半圓槽的速度為vr.以半圓槽為參考系，選取質(zhì)心C為動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)伽利略速度變換有

vc=v0+vr

(1)

m1v1x+m2vcx=0

有

(2)

整理得

(3)

在系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的過程中，只有桿AB的重力做功，所以系統(tǒng)的機(jī)械能守恒.初始時(shí)刻系統(tǒng)的動(dòng)能T0=0，末了時(shí)刻系統(tǒng)的動(dòng)能為

(4)

設(shè)半圓槽最低點(diǎn)，也即末了時(shí)刻桿AB上B點(diǎn)所在的位置為零勢(shì)能點(diǎn).則初始時(shí)刻系統(tǒng)的勢(shì)能

末了時(shí)刻系統(tǒng)的勢(shì)能

根據(jù)機(jī)械能守恒定律

T0+V0=T1+V1

有

(5)

根據(jù)系統(tǒng)末了時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，可知桿AB沿逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度方向垂直紙面向外.化簡(jiǎn)式(5)，角速度大小為

(6)

3 用瞬時(shí)法求解桿AB的角速度

上一節(jié)給出了用動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒求解桿AB角速度的方法.本節(jié)將從系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)瞬時(shí)狀態(tài)的角度切入，給出此題的另一種解法.

(7)

其中

ω和α分別為桿AB的角速度和角加速度.桿AB的轉(zhuǎn)動(dòng)角度為φ時(shí)，假定各加速度方向如圖3所示.

圖3 加速度分析

在系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的過程中，半圓槽和桿AB組成的系統(tǒng)在水平方向不受外力，根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理可知

(8)

整理得

(9)

(10)

桿AB的重力對(duì)動(dòng)點(diǎn)O產(chǎn)生的力矩MO為

(11)

對(duì)桿AB使用相對(duì)動(dòng)點(diǎn)O的動(dòng)量矩定理

在垂直紙面方向上投影得到標(biāo)量方程

(12)

(13)

(14)

將式(14)代入式(13)，整理得

(15)

考察式(15)發(fā)現(xiàn)，等式左側(cè)可以合并為

即

(16)

(17)

4 基于MATLAB的數(shù)值模擬

圖5 ω-t曲線

(18)

圖6 運(yùn)動(dòng)周期隨質(zhì)量比的變化曲線

5 結(jié)束語

本文通過兩種方法解出了例題中桿AB的角速度，利用MATLAB數(shù)值模擬清晰直觀地分析了系統(tǒng)的周期性運(yùn)動(dòng)，又討論了半圓槽與均質(zhì)細(xì)直桿的質(zhì)量比對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)周期的影響，給出了均質(zhì)細(xì)直桿在光滑半圓槽內(nèi)運(yùn)動(dòng)的綜合性研究.