文 /黃一川

引 言

加強解題訓(xùn)練是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)。在日常教學(xué)中我們不難發(fā)現(xiàn)，一本優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教材，不僅要有準確的定理和概念敘述，還應(yīng)有用于檢測教學(xué)成果的習題。數(shù)學(xué)習題是數(shù)學(xué)教材中不可或缺的組成部分。毫不夸張地說，教師對課后習題的選擇直接關(guān)系到課堂教學(xué)質(zhì)量。

一、配置數(shù)學(xué)教材習題問題的提出

數(shù)學(xué)是目前基礎(chǔ)教育學(xué)科中十分重要的學(xué)科之一，在新課程改革下的數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，解題是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習水平的最基本的檢驗方法。戴再平在《數(shù)學(xué)習題理論》中說道：“數(shù)學(xué)教育活動中，‘解題’是最基本的活動形式。無論是學(xué)生的數(shù)學(xué)概念的形成、數(shù)學(xué)命題的掌握、數(shù)學(xué)方法和技巧的獲得，還是學(xué)生智力的培養(yǎng)和發(fā)展，都必須通過‘解題’來實現(xiàn)。同時，‘解題’也是評價學(xué)生的知識發(fā)展水平的主要手段?！盵1]在傳統(tǒng)教育觀念中，解題就意味著解答習題，而在當今AI賦能高質(zhì)量精選習題的情況下，每年數(shù)學(xué)教材中的習題設(shè)置都在發(fā)生變化。

習題是中學(xué)數(shù)學(xué)課本的重要組成部分。習題配備得好不好，直接影響到學(xué)生學(xué)習質(zhì)量的高低。許多優(yōu)秀中學(xué)教師的教學(xué)質(zhì)量之所以高，一部分原因是習題選擇和處理得恰當。教師在日常教學(xué)中不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)習題不僅僅是模擬性的習題，也有一些來自我們生產(chǎn)生活中的各種實際問題。學(xué)生在思考和解答這些問題時，也必然會促進自身數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展。

一本優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教材，不但要有準確的定理和概念，而且要配置高質(zhì)量的課后習題。素質(zhì)教育背景下，教師在日常教學(xué)中，不再一味地追求難題、偏題，而是立足教材本身，充分發(fā)揮教材習題的作用，進而提高課堂教學(xué)的效率與質(zhì)量。數(shù)學(xué)習題的定義、功能、分類、選擇、配置方法、配置原則是如何相互聯(lián)系、相互影響的，決定著數(shù)學(xué)教材習題配置今后的發(fā)展方向。綜上所述，筆者結(jié)合日常教學(xué)中的反思，對中學(xué)數(shù)學(xué)教材習題配置問題進行了探討。

二、數(shù)學(xué)教材習題配置的特性

什么是數(shù)學(xué)習題？“習題”一詞在《現(xiàn)代漢語詞典（第7版）》中的解釋是：“教學(xué)上供練習用的題目?！痹~典上的解釋已經(jīng)很好地說明了習題的作用，也讓我們從側(cè)面認識到習題對日常教學(xué)的重要性。數(shù)學(xué)習題是考查學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)計算、數(shù)學(xué)說理能力的題目，數(shù)學(xué)習題包含在習題范圍內(nèi)，因此習題所具有的特性它同樣具有。

（一）數(shù)學(xué)習題的分類

按照題目所考查的內(nèi)容，數(shù)學(xué)習題可以分為封閉題、綜合題與發(fā)散題三種類型。封閉題是具有確定且唯一答案的習題，主要由選擇題、填空題等組成，這類習題的特點是答案固定不變，用來考查學(xué)生對某些固定的數(shù)學(xué)知識點的掌握情況。綜合題是考查知識比較全面的習題，如果一道習題涉及的知識點超出了某個單元或?qū)W科，那么這道習題就具有了綜合題的特點。發(fā)散題是答案不唯一或條件不充分的習題，一般沒有固定答案，可以讓學(xué)生自己拓展，去尋求不唯一的答案，這類題目最大的特點在于能幫助學(xué)生提高舉一反三的能力。

按功能數(shù)學(xué)習題分為課本例題、課后習題、模擬題、考試真題等。課本例題是對新知識定理、概念的實踐和示范，強調(diào)培養(yǎng)學(xué)生學(xué)以致用的能力。課后習題是對課堂所學(xué)知識的熟悉和鞏固。模擬題和考試真題用于檢驗學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習水平，一般此類題目具有技巧性和典型性的特點，能篩選出不同水平的學(xué)生，同時讓數(shù)學(xué)教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生存在的問題。

（二）數(shù)學(xué)習題的功能

1.學(xué)習定理

通過數(shù)學(xué)習題，學(xué)生能系統(tǒng)地掌握數(shù)學(xué)定理，并熟練地運用數(shù)學(xué)定理解題，從而形成數(shù)學(xué)思維，提煉解題方法。

2.發(fā)散智力

通過數(shù)學(xué)習題的訓(xùn)練，學(xué)生的智力水平會得到提高，對數(shù)學(xué)基本知識和基本技能的運用能力會得到培養(yǎng)，同時學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力、解題能力也會得到提高。

3.評價成績

學(xué)業(yè)成績的檢查與評定是整個教學(xué)過程的有機組成部分。在現(xiàn)行教育體制下，學(xué)生的成績與規(guī)定時間內(nèi)解題的數(shù)量和正確率息息相關(guān)，考評內(nèi)容為基礎(chǔ)知識掌握、識圖水平、計算能力、說理表達等；而數(shù)學(xué)教學(xué)的考評主要側(cè)重于計算能力和說理表達。

三、數(shù)學(xué)教材習題配置的原則

數(shù)學(xué)教材習題不應(yīng)盲目進行配置，應(yīng)遵循如下原則。

（一）目標性原則

在編寫不同教學(xué)階段的教材過程中，編者需要按照新課程標準和新的考試標準來精選習題，所配置的數(shù)學(xué)習題要具有明確的目標，避免盲目性，避免在同一層面上機械地重復(fù)。只有這樣，才能達到預(yù)期的效果，起到鍛煉和提高學(xué)生解題能力和學(xué)習能力的作用。例如，“二次根式”是初中數(shù)學(xué)對學(xué)生數(shù)域擴容的一項重要教學(xué)內(nèi)容，而對二次根式的化簡計算，學(xué)生應(yīng)該都能記住下面的計算公式：

但是，在解決問題的過程中，學(xué)生對公式使用過程中符號的判定會出現(xiàn)些許問題。這就要求我們設(shè)置的習題更有目的性。比如，教師可以設(shè)置如下習題。

化簡并討論各題目中a、b的范圍。

上述幾個題目的難度是由淺入深的，這方面會在后面的循序漸進原則里再講，每個題目都是針對公式中符號判斷加以練習，從單個字母替換到整體思想的運用，目的在于提高學(xué)生在二次根式化簡計算過程中符號判斷的能力。

（二）指向性原則

教育教學(xué)需要因材施教，數(shù)學(xué)習題配置更要立足學(xué)生實際，具有指向性。習題配置應(yīng)遵循精準分層，如果課后習題太簡單，全部學(xué)生都可以輕松解決，就無法體現(xiàn)學(xué)生的個體差異，無法讓部分學(xué)生獲得成就感；課后習題太難同樣也不可取，會使基礎(chǔ)較差的學(xué)生產(chǎn)生畏難情緒，而基礎(chǔ)較好的學(xué)生也容易忽視對基礎(chǔ)知識和基本技能技巧的掌握，所以，我們強調(diào)難易適當。

例如，在課堂上，教師可以設(shè)置下面這組題目：如圖1，正方形ABCD中，E為AB上一點，F(xiàn)是BC延長線上一點，且AE＝CF，M是EF的中點。則①∠EDB=∠EFB； ②CM垂直平分BD；③EB=CM； ④設(shè)AE＝x，AG＝y(tǒng)，AB=1，y關(guān)于x的函數(shù)解析式為其中正確的個數(shù)為（ ）。

圖1

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個

這道題目體現(xiàn)了指向性原則，它是多結(jié)論的證明，每個結(jié)論的證明都需要用到題干里相同的條件，學(xué)生要自己判斷調(diào)用哪個條件，但彼此之間又可以是遞進的證明，前面的結(jié)論可以被用作后面結(jié)論證明的條件，學(xué)生可以根據(jù)自己的能力從結(jié)論①開始不斷挑戰(zhàn)，直到完成全部證明。

（三）循序漸進原則

數(shù)學(xué)不同于其他學(xué)科，中學(xué)階段所學(xué)的數(shù)學(xué)知識就如“搭梯子”，前面的知識掌握不牢固，就好比底層的梯子沒搭牢，無法越爬越高，勢必會影響到后面知識的學(xué)習。因此，習題配置要始終把握循序漸進的原則，使知識點之間緊密聯(lián)系，串聯(lián)成線。例如，在教學(xué)“絕對值”時，教師可選用下列習題供學(xué)生練習。

①|(zhì)2|-|-2|=___________

②若a=2.21，b=-4.79，則|a|+|b|=___________

③若|a|=7，則a=___________

④若a＜0，則|a|=__________

⑤絕對值小于5的非正整數(shù)是___________

⑥已知|a|=5，|b|=4，求a+b的值

以上6個題按知識產(chǎn)生的過程，難度由淺入深。前3題可以在教學(xué)過程中讓全部學(xué)生完成；第④⑤題可以只讓部分學(xué)生在前3題的基礎(chǔ)上完成；最后一題則是靈活度非常高的題目，可讓學(xué)生進行分類討論，讓完成全部前5題的學(xué)生完成。這樣循序漸進地提升習題難度，能讓學(xué)生對絕對值的理解達到一定的高度。

（四）可操作性原則

回顧近幾年的中高考數(shù)學(xué)試題，我們不難發(fā)現(xiàn)，與生活實際相關(guān)的數(shù)學(xué)真題呈逐年增長的趨勢。這類題目不僅符合教學(xué)課程標準的要求，還充分體現(xiàn)了可操作性原則。這類數(shù)學(xué)題把我們的日常生活和新聞焦點結(jié)合在一起，有一定的綜合性，有利于提高學(xué)生從生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題、解決數(shù)學(xué)問題的能力。因此，我們在數(shù)學(xué)教材習題配置中更應(yīng)注重可操作性原則，將數(shù)學(xué)知識與日常生活聯(lián)系起來，在解題中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習能力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣、靈感、想象力。

例如，在教學(xué)“利用相似三角形測高”時，教師可設(shè)置實驗性操作習題：在學(xué)校操場上選擇合適的方法測量國旗桿的高度，并錄制成小視頻。

這樣的習題設(shè)置能打破多年沿用的數(shù)學(xué)習題形式，使數(shù)學(xué)課從講理論變成有趣的動手實操活動。這節(jié)課的內(nèi)容本來就是學(xué)習3種利用三角形相似性測高的方法，學(xué)習之余配以這樣的習題讓學(xué)生走出教室，自己去獲得解題需要的數(shù)據(jù)，自己尋找解題方法，自己建立數(shù)學(xué)模型圖，能顯著提高學(xué)生的學(xué)習能力。

（五）發(fā)展性原則

根據(jù)因材施教的教學(xué)原則，對于知識理解能力較強的學(xué)生，教師應(yīng)主動為其創(chuàng)造發(fā)揮才能的機會和條件，使他們的數(shù)學(xué)學(xué)習能力得到充分發(fā)展，這與素質(zhì)教育的要求是完全一致的。例如，在教學(xué)“等腰三角形”相關(guān)知識時，教師可以設(shè)置如下問題：

等腰三角形兩腰上的高線相等嗎？角平分線呢？中線呢？

幾何圖形應(yīng)按照定義、性質(zhì)定理、判定方法的順序來學(xué)習，而幾何題目也意在讓學(xué)生用所學(xué)的定義、公理、定理來完成證明。上題在此基礎(chǔ)上給學(xué)生提供了發(fā)展空間，證明高線相等不僅可以應(yīng)用三角形全等知識，還可以用面積相等來證明，這樣不僅用到了等腰三角形的性質(zhì)，還發(fā)展了學(xué)生的思維能力。

四、數(shù)學(xué)教材習題配置的方法

中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容不是孤立的客觀存在，其內(nèi)容既有獨立性與特殊性，也有相互之間的關(guān)聯(lián)性與普遍性。數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容是一個復(fù)雜連貫且有規(guī)則的體系,而數(shù)學(xué)習題的配置必須是在難度上由淺入深，符合知識規(guī)律的。在日常教學(xué)中，教師必須先以書本習題為基礎(chǔ)，由易到難，高質(zhì)量地配置數(shù)學(xué)習題。一是由個性到共性，將數(shù)學(xué)知識同類型中個性與共性關(guān)系部分恰當結(jié)合，透過個性問題探索共性問題，通過對每道習題的分析，提煉同類型問題的解決方式，從而提升每道習題的思考價值；二是由一法到多法，充分結(jié)合教材所學(xué)內(nèi)容，通過不同思維途徑，利用正向逆向、具體抽象等多種解題方法，用數(shù)學(xué)語言啟迪學(xué)生的發(fā)散性思維，讓學(xué)生在獲取知識的同時培養(yǎng)辯證思維能力；三是從一般到特殊，將數(shù)學(xué)解題中蘊含的發(fā)散思維發(fā)掘出來，可以設(shè)置一般方法難解、特殊方法易解的習題。

結(jié) 語

美國數(shù)學(xué)家克萊因曾說：“數(shù)學(xué)是一種理性的精神，使人類的思維得以運用到最完善的程度?！敝袑W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱也明確指出：“發(fā)展思維能力是培養(yǎng)能力的核心”“要重視學(xué)生在獲取和運用知識過程中發(fā)展思維能力”。在中學(xué)教材習題配置已經(jīng)日趨完善的今天，我們在實際教學(xué)過程中仍會發(fā)現(xiàn)，教材習題作為數(shù)學(xué)教學(xué)中不可或缺的一部分，其配置還不能完全滿足不同學(xué)習水平的學(xué)生，還有值得商榷的地方。因此，持續(xù)研究教材習題配置問題，是每位一線教師不可忽視的責任。