張世功，肖志俊，劉廣群

(貴州理工學(xué)院 理學(xué)院，貴州 貴陽(yáng) 550003)

光電門(mén)是大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中經(jīng)常用到的計(jì)時(shí)計(jì)數(shù)儀器，可以用來(lái)驗(yàn)證與速度相關(guān)的機(jī)械能守恒定律等[1]。其內(nèi)部有一個(gè)線性光源，向另一個(gè)接收光敏電阻發(fā)出光線。當(dāng)光敏電阻接收到的光照度改變時(shí)，其阻值會(huì)發(fā)生變化，從而引起電阻兩端電壓的改變。然后通過(guò)單片機(jī)進(jìn)行計(jì)數(shù)、計(jì)時(shí)實(shí)現(xiàn)對(duì)擋光時(shí)間的測(cè)量[2]。但一般的光電門(mén)只能對(duì)總時(shí)間和擋光次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，對(duì)于理想單擺等周期性實(shí)驗(yàn)已經(jīng)可以達(dá)到使用目的。但對(duì)于非線性的實(shí)驗(yàn)，由于光電門(mén)設(shè)備不能對(duì)每個(gè)周期進(jìn)行計(jì)時(shí)，需要利用示波器等儀器才能達(dá)到預(yù)期目的[3]。相關(guān)文獻(xiàn)[4]從理論上研究了大擺角單擺的周期，并利用單次測(cè)量的方式進(jìn)行了驗(yàn)證，但也未能研究周期隨時(shí)間的變化。

計(jì)算機(jī)聲卡的采樣頻率一般為44.1 kHz，時(shí)間分辨率可以達(dá)到0.023 ms。通過(guò)聲卡對(duì)光電門(mén)產(chǎn)生的電壓信號(hào)進(jìn)行采樣，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)每一次擋光時(shí)間的準(zhǔn)確測(cè)量，從而對(duì)非周期性振動(dòng)展開(kāi)詳細(xì)研究。本文基于MATLAB軟件通過(guò)聲卡對(duì)單擺通過(guò)光電門(mén)的時(shí)間進(jìn)行測(cè)量，計(jì)算了重力加速度。發(fā)現(xiàn)單擺周期隨著時(shí)間有減小的趨勢(shì)，又對(duì)大幅度初始條件的阻尼單擺進(jìn)行了分析，并對(duì)空氣阻尼系數(shù)進(jìn)行了估計(jì)。結(jié)果顯示，利用基礎(chǔ)的簡(jiǎn)單儀器，也可以實(shí)現(xiàn)更復(fù)雜的物理實(shí)驗(yàn)深入研究。

1 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)及采集的原始數(shù)據(jù)

本文利用杭州大華生產(chǎn)的DHTC-1型多功能微秒計(jì)配套的光電門(mén)，內(nèi)部的紅、黑、黃三顆線分別為電源正、負(fù)及信號(hào)線，其中電源負(fù)極與信號(hào)負(fù)極共用。通過(guò)直流電源供電，并將信號(hào)的兩端與3.5 mm音頻接頭(左右聲道也短接)相接后插入計(jì)算機(jī)的音頻輸入接口。單擺儀選擇大華DH4605MP，測(cè)量得到擺長(zhǎng)頂點(diǎn)到小球上、下邊緣的長(zhǎng)度分別為99.50 cm及101.00 cm，利用50分度游標(biāo)卡尺測(cè)量小球直徑為1.600 cm。由于使用平視法對(duì)擺長(zhǎng)進(jìn)行測(cè)量，米尺不能貼近上下頂點(diǎn)邊緣，故存在1 mm的誤差，本文不做誤差分析，其他常規(guī)注意事項(xiàng)也不再列出。

接通電源后，光線射出并被對(duì)面的光敏電阻接收，當(dāng)光線被遮擋時(shí)，光敏電阻上的電壓信號(hào)產(chǎn)生突變，并被傳輸?shù)铰暱ㄖ?。利用MATLAB的audiorecorder函數(shù)對(duì)聲卡的信號(hào)進(jìn)行提取，可以得到光敏電阻兩端的電壓信號(hào)。當(dāng)單擺擺動(dòng)正常后，運(yùn)行程序?qū)怆婇T(mén)進(jìn)行數(shù)據(jù)采樣，采集數(shù)據(jù)為30個(gè)周期，總時(shí)稍長(zhǎng)于1 min，數(shù)據(jù)如圖1所示，其中(a)圖為采集數(shù)據(jù)的整體圖，而(b)圖為單次擋光的信號(hào)局部圖。由于信號(hào)幅度對(duì)研究周期等振動(dòng)規(guī)律無(wú)作用，圖中信號(hào)進(jìn)行了歸一化。

圖1 聲卡采集的光電門(mén)原始數(shù)據(jù)

顯然，當(dāng)光電門(mén)被遮擋時(shí)，光敏電阻接收光照減小，電阻增大，測(cè)量電壓增大。上升沿和下降沿分別為由光敏電阻從無(wú)遮擋狀態(tài)變化為被遮擋狀態(tài)及由被遮擋變化為無(wú)遮擋時(shí)的情況。

2 小幅度單擺數(shù)據(jù)處理

對(duì)原始電壓信號(hào)數(shù)據(jù)進(jìn)行一階差分，上升沿和下降沿將分別變化為一個(gè)正脈沖和負(fù)脈沖，如圖2所示。對(duì)該脈沖進(jìn)行定位可以得到遮擋狀態(tài)變化的時(shí)間信息。

圖2 光電門(mén)原始數(shù)據(jù)的一階差分

一階差分后的信號(hào)，在原始信號(hào)上升沿和下降沿，即遮擋狀態(tài)發(fā)生變化的時(shí)刻分別有一個(gè)極值。利用其對(duì)時(shí)間信息進(jìn)行定位，即用所有擋光狀態(tài)發(fā)生變化時(shí)(即從無(wú)遮擋狀態(tài)變化為被遮擋狀態(tài)和由被遮擋狀態(tài)變化為無(wú)遮擋狀態(tài))對(duì)應(yīng)的時(shí)間減去相應(yīng)的第一個(gè)上升沿和下降沿時(shí)間，即可以得到每次擋光開(kāi)始和擋光結(jié)束的時(shí)刻。結(jié)果顯示，上升沿和下降沿的到時(shí)幾乎完全重疊，并與周期次數(shù)呈線性關(guān)系，文中不再進(jìn)行圖示。第61次擋光開(kāi)始和擋光結(jié)束的時(shí)間分別為60.123 4 s及60.123 9 s，這里數(shù)據(jù)已經(jīng)減去了第一次擋光開(kāi)始和擋光結(jié)束的時(shí)間，即這兩個(gè)數(shù)據(jù)分別是利用擋光開(kāi)始和擋光結(jié)束的總凈時(shí)間，取其平均為60.123 6 s，為30個(gè)周期振動(dòng)的總時(shí)間，周期為2.004 12 s，計(jì)算得到的重力加速度g=9.85±0.02 m/s2，誤差主要來(lái)自為長(zhǎng)度測(cè)量。

一個(gè)完整的單擺振動(dòng)周期包含兩次擋光過(guò)程，故振動(dòng)周期可通過(guò)上升沿(或下降沿)時(shí)刻間隔一個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行差分得到，分別稱(chēng)為上升沿周期和下降沿周期，如圖3所示。每一次的上升沿周期和下降沿周期都非常接近，兩條線重合性較好。但相鄰的周期時(shí)間(包括上升沿周期和下降沿周期)卻顯示了交替變化的狀態(tài)，原因仍有待分析。

3 大幅度初始條件單擺的周期

理想簡(jiǎn)諧振動(dòng)的周期不隨時(shí)間發(fā)生變化，由于空氣阻尼的存在，單擺振動(dòng)幅度逐漸減小。圖3中的周期顯然呈現(xiàn)了隨時(shí)間(振動(dòng)次數(shù))減小的趨勢(shì)。為充分研究大幅度振動(dòng)初始條件單擺周期隨時(shí)間(振動(dòng)幅度減小過(guò)程)的變化情況，進(jìn)行了長(zhǎng)時(shí)間采樣實(shí)驗(yàn)。受實(shí)驗(yàn)條件影響，再加上地球自轉(zhuǎn)引起的傅科擺現(xiàn)象，長(zhǎng)時(shí)間的單擺振動(dòng)會(huì)逐漸變?yōu)閳A錐擺。采樣時(shí)間設(shè)定為500 s時(shí)，此時(shí)單擺的幅度已經(jīng)衰減得較小。

初始(最大)擺角通過(guò)小球下落前到擺長(zhǎng)重垂線的水平距離與擺長(zhǎng)計(jì)算得到，其中測(cè)量水平距離為35.8 cm，擺長(zhǎng)為1.002 m，估計(jì)初始擺角為arcsin(0.358/1.002)≈21°，已遠(yuǎn)超5°。

首先，小幅(小角度)振動(dòng)的單擺近似為理想的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，前文已經(jīng)利用小幅振動(dòng)周期對(duì)重力加速度進(jìn)行了計(jì)算。但實(shí)驗(yàn)中的初始擺角達(dá)到了近21°，明顯不是理想的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，需要利用大擺角的單擺理論進(jìn)行模擬仿真。

式(1)為L(zhǎng)indstedt-Poincare攝動(dòng)法[5]獲得的大幅單擺近似周期公式

(1)

對(duì)大幅單擺周期進(jìn)行計(jì)算，式中T為周期、ω0為理想單擺的角頻率、a為擺角、φ為與擺角相關(guān)的積分變量。這個(gè)積分實(shí)際是第一類(lèi)橢圓積分，可以通過(guò)查表獲得，也可以利用數(shù)值計(jì)算方法得到，擺角為21°時(shí)的單擺周期為2.018 5 s。

采集得到的原始數(shù)據(jù)及其一階差分信號(hào)不再進(jìn)行展示。圖4為存在阻尼情況及大幅角初始條件的單擺周期隨時(shí)間的變化圖。初始時(shí)刻的單擺周期略小于2.02 s，與理論計(jì)算的2.018 5 s相當(dāng)，驗(yàn)證了攝動(dòng)法求解大振幅單擺周期的正確性。

大幅單擺的周期隨著時(shí)間推移逐漸變小，這實(shí)際上是因?yàn)樽枘岬拇嬖谑箶[幅(擺角)逐漸減小，所以周期也隨時(shí)間減小。圖中上升沿周期、下降沿周期和平均周期幾乎完全重疊。在接近500 s時(shí)刻，擺角小于5°，單擺周期略小于2.005 s，與前文的2.004 12基本一致。但同時(shí)發(fā)現(xiàn)，周期還存在繼續(xù)下降趨勢(shì)，但實(shí)驗(yàn)已難以進(jìn)行，實(shí)驗(yàn)小球會(huì)存在大概率碰撞光電門(mén)門(mén)架。圖4中的周期隨時(shí)間的變化曲線不甚光滑，存在小的突變，可能是實(shí)驗(yàn)條件或程序運(yùn)行計(jì)時(shí)的問(wèn)題。

Time/s

4 空氣阻尼系數(shù)的估計(jì)

由于空氣阻尼的影響，單擺幅度逐漸減小，周期也逐漸減小，可以利用單擺每次通過(guò)平衡位置的速度與時(shí)間的關(guān)系對(duì)空氣的阻尼系數(shù)進(jìn)行估計(jì)。

為了測(cè)量小球通過(guò)平衡位置時(shí)的速度，實(shí)驗(yàn)用了1.80 mm管徑的黑色細(xì)管穿在擺線外面，緊靠在小球上方。利用相鄰上升沿和下降沿的時(shí)差計(jì)算小球通過(guò)平衡位置的速度。小球靜止時(shí)，光電門(mén)的光線剛好照射在細(xì)管的中間部分，所以光線照射的位置可視為單擺的平衡位置。

小球通過(guò)平衡位置時(shí)的速度(稱(chēng)其為低位速度)隨時(shí)間的變化如圖5中的“×”所示，低位速度隨時(shí)間推移也逐漸減小。利用初始擺角和擺長(zhǎng)可以計(jì)算得到首次通過(guò)平衡位置的最大速率為1.144 m/s，與圖5中的初始低位速度實(shí)驗(yàn)值趨勢(shì)較為接近。

圖5中的另外四條彩色點(diǎn)線為擬合的低位速度隨時(shí)間的變化，擬合公式分別采用了v=(p+qt)-n和v=v0e-δt。擬合結(jié)果見(jiàn)表1所示。表中還通過(guò)積分的方法對(duì)加速度與速度的關(guān)系以及初始速度等進(jìn)行了計(jì)算。

時(shí)間/s

為了估計(jì)空氣阻尼，并為使問(wèn)題簡(jiǎn)單化，假設(shè)連續(xù)低位速度為直線運(yùn)動(dòng)的速度，時(shí)間對(duì)應(yīng)原來(lái)的時(shí)間，對(duì)空氣阻尼進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果如表1.表中前兩行的擬合結(jié)果存在物理意義問(wèn)題，即初速度大小為負(fù)，阻尼系數(shù)為正，不再進(jìn)行討論。所有擬合的公式中以1.5方的確定系數(shù)R2最接近1，說(shuō)明公式

表1 存在空氣阻尼情況的速度擬合情況

v=(p+qt)-3/2

(2)

中的速度與時(shí)間的的關(guān)系與實(shí)驗(yàn)值最接近，這一點(diǎn)與文獻(xiàn)[6]的結(jié)論相當(dāng)。但擬合的初速度(3.00 m/s)卻與初始條件計(jì)算的結(jié)果(1.16 m/s)有些出入，但卻與e指數(shù)公式擬合的初速度(1.087 m/s)吻合程度高。

不同公式擬合的空氣阻尼系數(shù)均在0.01附近或0.008 9～0.020 6之間，與文獻(xiàn)[7]中的空氣阻尼系數(shù)相當(dāng)。由于單擺周期測(cè)量存在諸多系統(tǒng)誤差因素[8]，結(jié)果仍有待進(jìn)一步的實(shí)驗(yàn)證明。

5 結(jié) 語(yǔ)

利用MATLAB通過(guò)聲卡對(duì)光電門(mén)數(shù)據(jù)進(jìn)行了采集，對(duì)存在阻尼情況下的大幅度單擺進(jìn)行了研究，采集數(shù)據(jù)可對(duì)每一次擋光狀態(tài)變化的時(shí)刻進(jìn)行時(shí)間定位，以此為基礎(chǔ)對(duì)大幅度單擺的周期進(jìn)行了測(cè)量，結(jié)果表明：由于阻尼的存在，大幅度單擺的周期隨時(shí)間呈指數(shù)下降，通過(guò)對(duì)低位速度的測(cè)量與數(shù)值擬合，發(fā)現(xiàn)速度也呈指數(shù)下降，擬合結(jié)果的初始低位速度與阻尼系數(shù)與實(shí)際情況相當(dāng)，為簡(jiǎn)單儀器測(cè)量復(fù)雜實(shí)驗(yàn)提供了技術(shù)支撐。