秦 麟

(煙臺(tái)大學(xué)土木工程學(xué)院，山東 煙臺(tái) 264005)

0 引言

在實(shí)際工程中存在著大量的隨機(jī)因素，傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分析時(shí)，為保證結(jié)構(gòu)安全，則要保證結(jié)構(gòu)具有足夠的抵抗力來(lái)應(yīng)對(duì)其使用年限內(nèi)可能產(chǎn)生的最大荷載，于是往往采用的是確定性的模型，這與實(shí)際情況并不相符。首先結(jié)構(gòu)所進(jìn)行的抵抗力估算是有誤差的，并且所選用的材料性質(zhì)也不是固定不變的，相應(yīng)的所受外界荷載更是具有明顯的不確定性。于是在二十世紀(jì)五六十年代初步提出了可靠性理論，且在七八十年代快速的發(fā)展起來(lái)。

1 結(jié)構(gòu)可靠性的概念

提出兩個(gè)假設(shè)來(lái)描述結(jié)構(gòu)可靠性問(wèn)題。一是該結(jié)構(gòu)中構(gòu)件只有兩個(gè)性能狀態(tài)即安全和故障；二是分析中存在的不確定量可以建模為空間和時(shí)間不變的連續(xù)隨機(jī)變量[1]。這使得我們可以使用解析的方法來(lái)描述結(jié)構(gòu)可靠性問(wèn)題。此外，在上述假設(shè)下作出的可靠性估計(jì)對(duì)于實(shí)際工程來(lái)說(shuō)通常是足夠準(zhǔn)確的。結(jié)構(gòu)是由構(gòu)件組成的，所以考慮結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可靠性前需要確定構(gòu)件可靠性。當(dāng)滿足上述假設(shè)時(shí)，構(gòu)件的性能可以用一個(gè)連續(xù)可微的極限狀態(tài)函數(shù)來(lái)定義。對(duì)于包含n個(gè)隨機(jī)變量x=[x1,x2,…xn]T的可靠性問(wèn)題，極限狀態(tài)函數(shù)g(x)=0為由x所定義空間的安全域與失效域的邊界，稱為極限狀態(tài)面。其中g(shù)(x)≤0定義了故障域，g(x)≥0定義了安全域。因此，構(gòu)件的失效概率由下面所示的n維積分給出，其中fx(x)是基本隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)[2-3]。

(1)

β=-φ-1(Pf)

(2)

從式(2)的一對(duì)一轉(zhuǎn)換中可以找到廣義可靠性指標(biāo)，其中,φ-1(Pf)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的反函數(shù)。廣義可靠性指標(biāo)提供了替代失效概率的方法，失效概率通常在[10-7,10-1]的范圍內(nèi)，而廣義可靠性指標(biāo)通常在[1,5]。從式(1)和式(2)可以看出，結(jié)構(gòu)可靠性領(lǐng)域的大部分研究都將集中在以下3個(gè)問(wèn)題上：1)可用于問(wèn)題的統(tǒng)計(jì)信息很少完整，即聯(lián)合概率密度函數(shù)的定義不明確。2)由于用于表示真實(shí)結(jié)構(gòu)物理行為的模型中存在缺陷，用于定積分的極限狀態(tài)函數(shù)g(x)本身可能不確定。3)即使當(dāng)聯(lián)合概率密度函數(shù)和極限狀態(tài)函數(shù)確定時(shí)，如果隨機(jī)變量的數(shù)量n很大(大致n≥5)，則多重積分的計(jì)算也可能十分艱巨。結(jié)構(gòu)可靠性發(fā)展至今有三類方法：解析法、模擬法以及混合法。解析法又分為精確解析法和近似解析法，精確解析法的限制條件較為苛刻，所以實(shí)際工程中很少使用。有效的近似解法例如：一次二階矩法、一次可靠度法和二次可靠度法等。本文著重介紹實(shí)際工程中廣為應(yīng)用的一次二階矩法、一次可靠度法和系統(tǒng)可靠性分析。

2 一次二階矩法

在結(jié)構(gòu)可靠性研究中發(fā)現(xiàn)在計(jì)算結(jié)構(gòu)可靠性時(shí)必須要解決統(tǒng)計(jì)信息不全的問(wèn)題，學(xué)者們發(fā)現(xiàn)僅利用隨機(jī)變量的均值向量和標(biāo)準(zhǔn)差向量就能求解出結(jié)構(gòu)可靠性信息，這便是一次二階矩法。

2.1 cornell可靠性指標(biāo)

基本構(gòu)件的極限狀態(tài)函數(shù)定義為Z=R-S，由于R和S均是隨機(jī)變量，所以Z也是隨機(jī)變量，這時(shí)失效區(qū)域?yàn)閆≤0，因此得出該構(gòu)件失效的概率為Pf=FZ(0)。從式(1)看出積分復(fù)雜，所以往往將隨機(jī)變量Z轉(zhuǎn)換為服從均值0和標(biāo)準(zhǔn)差1標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量U[4]。其中,U=(Z-μz)/σz，σz為標(biāo)準(zhǔn)差;μz為均值?？梢钥闯觯琙≤0時(shí)對(duì)應(yīng)于U≤μz/σz。如果定義β=μz/σz，則Pf可以表示為Pf=FU(-β)。β也被稱為cornell可靠性指標(biāo)。

2.2 均值一次二階矩可靠性指標(biāo)

(3)

g(x)≈g(M)+gT(M)(x-M)

(4)

而對(duì)于g(x)為非線性函數(shù)時(shí),如式(4)所示,可使用x和g(x)之間非線性關(guān)系的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)來(lái)近似求得其均值和標(biāo)準(zhǔn)差信息。

2.3 均值一次二階矩可靠性指標(biāo)的幾何解釋

假設(shè)隨機(jī)變量x的均值向量M和協(xié)方差矩陣∑是可用的。這樣給定的協(xié)方差矩陣就可以寫(xiě)成∑=DRD的形式。其中D=diag[σi]是基本隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)差的n×n對(duì)角矩陣,R=[ρij]是n×n的相關(guān)系數(shù)矩陣?；倦S機(jī)變量X可以通過(guò)以下所示的線性變換轉(zhuǎn)換為一組不相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)變量U,式中L是通過(guò)R的cholesky分解[5]獲得的下三角矩陣。

R=LLT

(5)

U=L-1D-1(X-M)

(6)

(7)

在解析幾何中,從任何n維空間的原點(diǎn)到由b0+bTu=0定義的超平面的最短距離Δ=b0/‖b‖，如圖1所示。因此對(duì)于線性極限狀態(tài)函數(shù),βMVFOSM在數(shù)值上等于標(biāo)準(zhǔn)變量空間中從原點(diǎn)到極限狀態(tài)函數(shù)所定義超平面的最短距離。如果使用這種幾何解釋,那么我們就可以為βMVFOSM公式化提供一個(gè)替代表達(dá)式。令點(diǎn)u*表示為超平面上的原點(diǎn)投影點(diǎn),即極限狀態(tài)函數(shù)在超平面上最靠近原點(diǎn)的那個(gè)點(diǎn)。同時(shí)令α表示指向故障區(qū)域平面上的單位法向,α等于歸一化負(fù)梯度矢量,即:α=-G(u*)/‖G(u*)‖。因此βMVFOSM可以表示為式(8)。

βMVFOSM=αT·u*

(8)

2.4 Hasofer-Lind可靠性指標(biāo)

對(duì)于非線性極限狀態(tài)函數(shù),根據(jù)幾何解釋可以看出可靠性指標(biāo)可以定義為從標(biāo)準(zhǔn)變量空間的原點(diǎn)到極限狀態(tài)表面G(u)=0距離最近點(diǎn)u*的距離。于是,在此定義下意味著極限狀態(tài)函數(shù)的線性化發(fā)生在u*點(diǎn)處。這樣,與之前βMVFOSM之間的唯一區(qū)別就在于線性化的點(diǎn)。通過(guò)HLRF(Hasofer-Lind-Rackwitz-Fiessler)算法[6],我們可以找到需要的驗(yàn)算點(diǎn)u*和與之對(duì)應(yīng)的x*,這樣就可以在原始空間或標(biāo)準(zhǔn)空間中在設(shè)計(jì)點(diǎn)處進(jìn)行一階泰勒展開(kāi)方式計(jì)算Hasofer-Lind可靠性指標(biāo)βFOSM。在原始空間中表示為式(9),在標(biāo)準(zhǔn)空間我們表示為式(10)。

(9)

(10)

但是,βFOSM指標(biāo)的不足是缺乏有序性,從圖2中可以看出,三種情況下的βFOSM值是相等的,但是失效概率是c>a>b。從圖2中分析可以看出,這是由于在極限狀態(tài)面在點(diǎn)u*線性化過(guò)程中失效區(qū)域形狀缺失所致。

3 一次可靠度法(FORM)

大多數(shù)實(shí)際應(yīng)用中,我們可以利用二階矩以外的信息來(lái)改進(jìn)可靠性計(jì)算,利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間完全轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱和在徑向和切向上指數(shù)衰減兩個(gè)特殊性質(zhì),通過(guò)全分布可靠性法[7-8]將基本隨機(jī)變量轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量(當(dāng)量正態(tài)化),即u=u(x)。使得我們能夠獲得Pf的準(zhǔn)確估計(jì)。在極限狀態(tài)曲面G(u)上最接近原點(diǎn)的點(diǎn)u*在失效區(qū)域所有點(diǎn)中具有最高的概率密度,我們將此點(diǎn)稱為最可能的故障點(diǎn)。此外,由于概率密度的指數(shù)衰減,當(dāng)失效概率較小時(shí),對(duì)失效概率的大部分貢獻(xiàn)都來(lái)自于u*附近的區(qū)域。在該點(diǎn)進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)得到線性函數(shù),再通過(guò)式(8)即可求得良好的可靠性指標(biāo)近似值。FORM和Hasofer-Lind可靠性指標(biāo)一樣,需要確定驗(yàn)算點(diǎn)u*,所以同樣可以使用HLRF算法進(jìn)行求解。

值得關(guān)注的是,盡管u*是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中最可能的故障點(diǎn),但如果通過(guò)u*=u(x*),則x*不一定是原始空間中最可能的故障點(diǎn),基本隨機(jī)變量是非正態(tài)的,因此最可能的故障不是唯一的,它取決于定義故障點(diǎn)的空間。但是,經(jīng)過(guò)大量研究發(fā)現(xiàn),即使隨機(jī)變量是非正態(tài)的,x*也是非常接近原始空間中最可能的故障點(diǎn)。FORM中估計(jì)的誤差取決于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中極限狀態(tài)表面的不平整度,這種非平坦性可能是由于原始空間極限狀態(tài)函數(shù)的非線性或非正態(tài)到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間轉(zhuǎn)換導(dǎo)致的。但是,根據(jù)以往結(jié)構(gòu)工程問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)來(lái)看,FORM的近似值都在可接受的范圍。

4 系統(tǒng)可靠性

系統(tǒng)是構(gòu)件的組合,每個(gè)組件都具有與之關(guān)聯(lián)的極限狀態(tài)函數(shù),該函數(shù)定義了構(gòu)件的性能狀態(tài)。對(duì)于構(gòu)件的可靠性問(wèn)題,我們僅考慮安全和故障兩個(gè)性能狀態(tài)。我們將考慮的系統(tǒng)也只有這兩個(gè)狀態(tài)。系統(tǒng)可靠性分析中的一個(gè)重要且通常復(fù)雜的步驟是識(shí)別構(gòu)成系統(tǒng)構(gòu)件的所有組合。系統(tǒng)通?？梢苑譃榇?lián)系統(tǒng)、并聯(lián)系統(tǒng)和一般系統(tǒng)。如果任何構(gòu)件發(fā)生故障而發(fā)生故障的系統(tǒng)稱為串聯(lián)系統(tǒng),一條鏈的強(qiáng)度與其最薄弱環(huán)節(jié)的強(qiáng)度相當(dāng);僅當(dāng)所有構(gòu)件均發(fā)生故障時(shí)發(fā)生故障的系統(tǒng)稱為并聯(lián)系統(tǒng);如果無(wú)法將力從系統(tǒng)一端傳遞到另一端,就發(fā)生故障稱為一般系統(tǒng)[9]。為了便于分析一般系統(tǒng),我們引入概率論中割集和徑集的概念,將其看成最小割集的串聯(lián)系統(tǒng)或最小徑集的并聯(lián)系統(tǒng)。通過(guò)計(jì)算或近似計(jì)算出每個(gè)構(gòu)件的失效概率通過(guò)組合最終求解整個(gè)系統(tǒng)的可靠性信息。

5 結(jié)論

通過(guò)以上對(duì)結(jié)構(gòu)可靠性解析法的分析和研究,總結(jié)出以下結(jié)論:

1)一次二階矩法包括cornell可靠性指標(biāo)、均值一次二階矩可靠性指標(biāo)和Hasofer-Lind可靠性指標(biāo)。其中前兩種方法計(jì)算便捷,不需要進(jìn)行復(fù)雜計(jì)算,相應(yīng)的誤差也較大,而Hasofer-Lind可靠性指標(biāo)通過(guò)引入驗(yàn)算點(diǎn),提高了計(jì)算精度,相應(yīng)的增加了計(jì)算難度。

2)一次可靠度法可以充分考慮一階矩和二階矩以外的概率分布信息,較一次二階矩法能夠進(jìn)一步提高計(jì)算精度,但是對(duì)于當(dāng)量正態(tài)化和數(shù)值積分有較大難度。

3)對(duì)建筑結(jié)構(gòu)可靠性的計(jì)算可以將其分解為構(gòu)件可靠性計(jì)算,然后應(yīng)用系統(tǒng)可靠性的概念將其組合,最終計(jì)算出整個(gè)建筑結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的失效概率等可靠性信息,復(fù)雜構(gòu)件性能由多個(gè)因素影響時(shí)同樣可以應(yīng)用該思路進(jìn)行求解。