耿宗璞，劉海濤，袁華駿，葉筱怡

(南京工程學(xué)院 電力工程學(xué)院，江蘇 南京 211167)

0 引 言

能源是國(guó)家的經(jīng)濟(jì)命脈，當(dāng)今世界的關(guān)注點(diǎn)在保證可持續(xù)供應(yīng)的基礎(chǔ)上，實(shí)現(xiàn)用能環(huán)節(jié)做到環(huán)保、高效。由電力系統(tǒng)(electric power system，EPS)和天然氣系統(tǒng)(natural gas system，NGS)構(gòu)成的綜合能源系統(tǒng)的能流分布以及兩個(gè)子系統(tǒng)之間的交互一直受到學(xué)術(shù)界的關(guān)注。文獻(xiàn)[1]構(gòu)建適用的耦合環(huán)節(jié)的模型，將一系列能源轉(zhuǎn)換設(shè)備的運(yùn)行約束條件考慮進(jìn)模型中，采用交替求解法進(jìn)行含電、氣、熱的綜合能源系統(tǒng)的能流分布求解。文獻(xiàn)[2]開(kāi)發(fā)出多能流綜合能量管理系統(tǒng)。通過(guò)電、熱、氣等不同能量網(wǎng)絡(luò)之間的耦合環(huán)節(jié)實(shí)現(xiàn)各系統(tǒng)之間的能量互補(bǔ)。在保證穩(wěn)定運(yùn)行的前提下，實(shí)現(xiàn)效益最大化。文獻(xiàn)[3]提出一種含電、氣的綜合能源系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型，基于此研究?jī)上到y(tǒng)互動(dòng)關(guān)系。文獻(xiàn)[4]在含電、氣的綜合能源系統(tǒng)概率流計(jì)算中，引入概率潮流的概念。通過(guò)計(jì)算評(píng)估兩個(gè)子系統(tǒng)的運(yùn)行穩(wěn)定性，避免某個(gè)故障引發(fā)兩個(gè)相連系統(tǒng)的連環(huán)故障，造成大面積的損失。上述文獻(xiàn)多注重于優(yōu)化運(yùn)行和故障分析，但是對(duì)于求取EPS和NGS的能流分布的計(jì)算方法并未有太多涉及。

目前研究中針對(duì)電-氣綜合能源系統(tǒng)的能流計(jì)算大多采用的方法是Newton法，考慮EPS采用平啟動(dòng)方法(電壓幅值和相角初值分別選為1.0 pu和0°)可以使大部分的潮流計(jì)算收斂。但NGS多采用工程經(jīng)驗(yàn)來(lái)選取計(jì)算初值，并未有適用的方法解決Newton法計(jì)算的缺點(diǎn)。針對(duì)上述問(wèn)題，本文提出基于BFGS(Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno)信賴域算法的能流計(jì)算方法，將求解NGS能流分布的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題，利用BFGS信賴域算法求解此問(wèn)題。算法的全局收斂能力良好地解決了NGS能流計(jì)算的初值選取問(wèn)題，并且將此算法應(yīng)用在由EPS和NGS構(gòu)成的綜合能源系統(tǒng)能流計(jì)算中。采用19節(jié)點(diǎn)電-氣綜合能源系統(tǒng)構(gòu)成的兩個(gè)算例驗(yàn)證了本文所述方法的適用性。

1 含電、氣的IES穩(wěn)態(tài)建模

1.1 EPS潮流方程

目前EPS的潮流計(jì)算一般采用平啟動(dòng)法，即平衡節(jié)點(diǎn)電壓幅值、相角的初始值分別設(shè)為1.0 pu和0°。本文采用經(jīng)典交流潮流模型，其節(jié)點(diǎn)功率表達(dá)式見(jiàn)式(1)。

(1)

式中:P、Q為節(jié)點(diǎn)的有功功率和無(wú)功功率；Y為節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣；U為節(jié)點(diǎn)電壓相量。

1.2 NGS穩(wěn)態(tài)模型

NGS包含輸氣管道、壓氣機(jī)、天然氣節(jié)點(diǎn)、氣源和負(fù)荷這幾部分。鑒于NGS和EPS兩者在很多方面有相似之處：經(jīng)過(guò)輸送路徑將能源由供應(yīng)處送至用戶端；都滿足基爾荷夫定律等?？梢越梃bEPS的建模方法，將NGS中的節(jié)點(diǎn)壓強(qiáng)類比于EPS中的節(jié)點(diǎn)電壓，把它作為NGS進(jìn)行能流計(jì)算的主要狀態(tài)變量。

輸氣管道(管道兩端節(jié)點(diǎn)為m、n)的流量方程如下：

(2)

(3)

式中:Lgm、Lgn分別為節(jié)點(diǎn)m和n的壓強(qiáng)，Pa；kmn為常量，與管道自身參數(shù)相關(guān)；fmn為管道流量，m3/h；Dmn為氣體流量方向。

天然氣在管道傳輸過(guò)程中會(huì)有流量損耗，為彌補(bǔ)損耗，NGS會(huì)配置一定數(shù)量的加壓站，通過(guò)站內(nèi)壓氣機(jī)實(shí)現(xiàn)管道內(nèi)輸送壓力的上升，但是這個(gè)過(guò)程會(huì)消耗額外能量。消耗的天然氣流量的公式如式(4)、式(5)所示。

(4)

(5)

式中：c為壓氣機(jī)；fc為通過(guò)壓氣機(jī)的流量，m3/h；Hc為壓氣機(jī)消耗的功率，MW；Bc、Zc為壓氣機(jī)參數(shù)；τc為壓氣機(jī)消耗的流量；α、β、γ為壓縮機(jī)的效率常數(shù)。

1.3 耦合環(huán)節(jié)數(shù)學(xué)建模

1.3.1 燃?xì)廨啓C(jī)

燃?xì)鈾C(jī)組消耗NGS中的天然氣產(chǎn)生電能，輸送給EPS[5-6]。在進(jìn)行電-氣綜合能源系統(tǒng)能流計(jì)算時(shí)，將其看作EPS中的電源和NGS中的氣負(fù)荷。其穩(wěn)態(tài)數(shù)學(xué)模型如式(6)所示。

(6)

式中：fj為從天然氣節(jié)點(diǎn)j獲取的燃?xì)饬髁?，m3/h；Pi為向EPS中相連節(jié)點(diǎn)i輸出的電功率，MW；μ為燃?xì)廨啓C(jī)效率，可表示為流量的二次函數(shù)；H為天然氣燃燒值，典型值為39 MJ/m3；C1、C2和C3為常數(shù)，與燃?xì)廨啓C(jī)的參數(shù)相關(guān)。

1.3.2 壓氣機(jī)

壓氣機(jī)除燃?xì)怛?qū)動(dòng)型還有電力驅(qū)動(dòng)型。后者從EPS獲取電能，在計(jì)算中充當(dāng)電力負(fù)荷角色。本文采用電驅(qū)動(dòng)型，對(duì)其進(jìn)行數(shù)學(xué)建模[7]，如式(7)所示。

(7)

2 基于BFGS信賴域算法的電-氣系統(tǒng)的能流 計(jì)算

2.1 電-氣系統(tǒng)能流計(jì)算數(shù)學(xué)模型

基于以上所述電-氣綜合能源系統(tǒng)的能量流模型，對(duì)于它的求解問(wèn)題可以描述為：

(8)

式中:fe、fg分別為電力系統(tǒng)方程、天然氣系統(tǒng)向量方程組；Pe、Qe、V、θ分別為電氣節(jié)點(diǎn)的有功功率、無(wú)功功率、電壓幅值和相角向量；Lg、f分別為天然氣系統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)壓強(qiáng)和管道流量向量。上述兩個(gè)方程式之間通過(guò)耦合環(huán)節(jié)進(jìn)行能流交換。

2.2 BFGS信賴域算法在天然氣子系統(tǒng)能流計(jì)算中的應(yīng)用

信賴域算法是一種求解非線性優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)值方法，把最優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)簡(jiǎn)單的局部尋優(yōu)問(wèn)題。關(guān)鍵是在當(dāng)前迭代點(diǎn)定義一個(gè)搜索范圍，在此范圍尋找一個(gè)合適的步長(zhǎng)。在求解優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)時(shí)，首先在當(dāng)前迭代點(diǎn)給定一個(gè)信賴域半徑，然后在信賴域內(nèi)用一個(gè)二次模型逼近目標(biāo)函數(shù)，用二次模型在信賴域內(nèi)的極小值作為下一個(gè)迭代點(diǎn)，此信賴域內(nèi)的下一個(gè)迭代點(diǎn)也即求得的一個(gè)局部最優(yōu)解。

由式(8)可知，天然氣子系統(tǒng)的能流計(jì)算的本質(zhì)就是求解一組非線性方程組。對(duì)方程組的求解可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題：

(9)

計(jì)算式(9)的非線性信賴域模型可以表示為：

(10)

(11)

式中:yk=zk+1-zk；Bk為正定矩陣(B0代表k=0時(shí)的初始正定矩陣，為單位矩陣)；η1為迭代成功判別系數(shù)，且0<η1<1。

下面介紹BFGS信賴域算法進(jìn)行計(jì)算的步驟：

(1) 設(shè)置k=0，給定參數(shù)Δ0>0，計(jì)算精度ε>0，信賴域修正半徑參數(shù)0

(2) 計(jì)算‖zk(xk)‖。若‖zk(xk)‖≤ε，則停止迭代；否則進(jìn)行下一步。

(3) 由式(10)求解出試探步長(zhǎng)dk，定義目標(biāo)函數(shù)的預(yù)估下降量predk(dk)和實(shí)際下降量aredk(dk)，兩者表達(dá)式如式(12)所示。

(12)

(4) 定義兩者比值rk：

(13)

rk的大小反映了新目標(biāo)函數(shù)g(dk)逼近h(xk)的程度，若rk→1，說(shuō)明近似程度很好，則此次迭代成功。

(5) 更新信賴域半徑Δk：在迭代過(guò)程中，若rk→1，則擴(kuò)大信賴域半徑Δk；若rk>0，但是不接近1，則保持Δk不變；若rk接近于0，則縮小Δk。信賴域半徑Δk更新公式如下[17]：

(14)

(6) 更新迭代點(diǎn)xk、Bk：xk+1=xk+dk，由式(11)計(jì)算Bk+1，返回第(2)步。

3 算例分析

3.1 算例參數(shù)

19節(jié)點(diǎn)電-氣綜合能源系統(tǒng)由IEEE 13節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)和6節(jié)點(diǎn)天然氣系統(tǒng)構(gòu)成(見(jiàn)圖1):GB為天然氣系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)；EB為電力系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)；GB1為天然氣系統(tǒng)的參考節(jié)點(diǎn)；EB1為電力系統(tǒng)的參考節(jié)點(diǎn)。耦合部分中壓氣機(jī)采用電壓氣機(jī)，與EB1相連。燃?xì)廨啓C(jī)連接EB9和GB6，本文采用以電定氣來(lái)計(jì)算電氣系統(tǒng)能流分布。

圖1 電-氣綜合能源系統(tǒng)算例結(jié)構(gòu)圖

3.2 算例仿真結(jié)果

在MATLAB中分別編寫(xiě)基于BFGS信賴域算法和常規(guī)牛頓法的電-氣綜合能源系統(tǒng)能流計(jì)算程序，其中本文所述算法的初始參數(shù)設(shè)置：B0設(shè)置為單位矩陣(6×6)，Δmax=2，Δ0=1，η1=0.01，η2=0.75，c1=0.5，c2=2，ε=10-3。電力子系統(tǒng)中電壓幅值用標(biāo)幺值來(lái)表示，基準(zhǔn)電壓值取69 kV。為驗(yàn)證本文所述方法計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性，其與常規(guī)牛頓法的計(jì)算結(jié)果比較如圖2～圖5所示。

由圖2～圖5數(shù)據(jù)可知：牛頓法和BFGS信賴域算法計(jì)算的天然氣系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)壓強(qiáng)、管道流量和電力系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)電壓、相角的相對(duì)誤差在1×10-4以內(nèi)，均在允許范圍內(nèi)，驗(yàn)證了本文所述方法計(jì)算結(jié)果的正確性。

為比較Newton法和BFGS信賴域算法進(jìn)行電-氣系統(tǒng)能流計(jì)算的優(yōu)越性，只需比較Newton法和BFGS信賴域算法進(jìn)行計(jì)算所需迭代次數(shù)和計(jì)算時(shí)間即可，結(jié)果如表1所示。相較于常規(guī)牛頓法，利用BFGS信賴域算法進(jìn)行電-氣綜合能源系統(tǒng)計(jì)算需要的計(jì)算時(shí)間和迭代次數(shù)相對(duì)減少，驗(yàn)證了本文所述方法有一定的優(yōu)越性。

圖2 天然氣子系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)壓強(qiáng)計(jì)算結(jié)果比較

圖3 天然氣子系統(tǒng)管道流量計(jì)算結(jié)果比較

圖4 電力子系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)壓強(qiáng)幅值計(jì)算結(jié)果

圖5 電力子系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)壓強(qiáng)相角計(jì)算結(jié)果

表1 兩種方法優(yōu)越性比較

4 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)采用常規(guī)Newton法對(duì)天然氣系統(tǒng)進(jìn)行能流計(jì)算時(shí)對(duì)初值敏感的問(wèn)題，提出基于BFGS信賴域算法的能流計(jì)算方法。將天然氣網(wǎng)絡(luò)的非線性節(jié)點(diǎn)壓強(qiáng)方程組的求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題，利用BFGS信賴域算法求解此最優(yōu)化問(wèn)題。本文利用兩個(gè)算例來(lái)驗(yàn)證本文所述方法的正確性和有效性。由算例結(jié)果可知：

(1) 本文提出的方法具有很好的全局收斂特性，可以很好地解決常規(guī)Newton法進(jìn)行天然氣系統(tǒng)能流計(jì)算時(shí)的初值敏感的問(wèn)題，保證天然氣系統(tǒng)能流計(jì)算的收斂性。同時(shí)可以減少計(jì)算所需的迭代次數(shù)和計(jì)算時(shí)間，提高計(jì)算的效率。

(2) 在進(jìn)行電-氣綜合能源系統(tǒng)能流計(jì)算時(shí)，相較于用Newton法求解系統(tǒng)的能流分布，本文所述方法在保證計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確的前提下，在計(jì)算效率方面有一定的優(yōu)越性。