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        在深度思維中追尋數(shù)學(xué)本質(zhì)

        2022-03-01 19:44:29江蘇省濱??h東坎街道中心小學(xué)李艾娣
        學(xué)苑教育 2022年15期
        關(guān)鍵詞:圓規(guī)蘇教版半徑

        江蘇省濱??h東坎街道中心小學(xué) 李艾娣

        教師要由“知識(shí)本位”向“素養(yǎng)本位”轉(zhuǎn)向,促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科思維的培養(yǎng),讓學(xué)生通過(guò)深度學(xué)習(xí)去探尋數(shù)學(xué)規(guī)律,形成深度的數(shù)學(xué)理解,獲得有意義的建構(gòu)。教師要借助挑戰(zhàn)性的問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生積極參與,在深度的思考中獲得創(chuàng)新的見(jiàn)解。

        一、比較:凸顯本質(zhì),形成深度理解

        比較,能借助于相對(duì)點(diǎn)與不同點(diǎn)的研究理解知識(shí),分析事物特征,形成有深度的理解。比較,能厘清概念與性質(zhì)的異同,把握概念間的邏輯關(guān)系,能化解難點(diǎn)內(nèi)容,暴露出錯(cuò)根源,探尋分析錯(cuò)根。教師要借助于知識(shí)的比較,加強(qiáng)橫向與縱向的聯(lián)系,能促進(jìn)學(xué)生對(duì)本質(zhì)內(nèi)容的理解。

        1.比較工具,掌握優(yōu)勢(shì)。教師要借助于不同數(shù)學(xué)工具的比較,讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)優(yōu)勢(shì),從而不自覺(jué)地探尋其中蘊(yùn)含的規(guī)律。如在學(xué)習(xí)蘇教版五下《圓的認(rèn)識(shí)》一課內(nèi)容時(shí),教師提出問(wèn)題:如果讓大家畫(huà)一個(gè)圓,你會(huì)用怎樣的方法去畫(huà)?學(xué)生想到了不同的方法,有的學(xué)生想到用瓶蓋、硬幣、鈕扣等圓形的物體去畫(huà),有的學(xué)生想到借助三角尺中間的圓去畫(huà),也有學(xué)生想到用圓規(guī)畫(huà)圖。教師讓學(xué)生試著用圓形物體、圓規(guī)這些方法畫(huà)圓,并說(shuō)說(shuō)自己的體會(huì)。學(xué)生通過(guò)比較,發(fā)現(xiàn)圓形物體畫(huà)得容易,但只能畫(huà)出與物體一樣大小的圓,圓規(guī)畫(huà)得慢,但可以畫(huà)出大小不等的圓。

        為了讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)圓規(guī)的特征,教者故意不去講述圓規(guī)的正常使用方法,而為他們留有探索使用圓規(guī)的空間。教師呈現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)的圓以及用圓規(guī)畫(huà)出的不規(guī)則的圓,讓學(xué)生分析“病因”,有針尖動(dòng)了的,有兩腳距離發(fā)生變化的,有旋轉(zhuǎn)不流暢的……教師順勢(shì)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)圓規(guī)的各個(gè)部分,讓他們掌握畫(huà)圓的“竅門(mén)”,懂得“定點(diǎn)”“定長(zhǎng)”這兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)。

        2.比較方法,多向思維。教師要引領(lǐng)學(xué)生立足于不同的視角去分析問(wèn)題、探尋規(guī)律,以不同的方法去分析、歸納,從而獲得相同的答案。教師將多種方法加以對(duì)比,既能激活學(xué)生的思維,也能讓學(xué)生學(xué)會(huì)從不同的角度去思考問(wèn)題、解決問(wèn)題。

        如在學(xué)習(xí)蘇教版五下《圓的面積》一課內(nèi)容時(shí),為促進(jìn)學(xué)生對(duì)“轉(zhuǎn)化”思想的認(rèn)識(shí),教師引導(dǎo)學(xué)生將圓的面積“切割”成等大的小扇形(32 份、64 份……),并將之重組成近似的長(zhǎng)方形,這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)就是圓周長(zhǎng)的一半,高就是圓的半徑,因而可以自然地推導(dǎo)出圓的面積公式。教師也可以借助于多媒體動(dòng)畫(huà)將圓的面積“層層剝離”,從外圈逐步向內(nèi)層剝起,將之轉(zhuǎn)化為一個(gè)底為圓的周長(zhǎng)、高為圓的半徑的三角形,這樣學(xué)生也能輕易地推導(dǎo)出圓的面積。教師通過(guò)形式化的推導(dǎo),讓學(xué)生感受轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思維,也學(xué)會(huì)從多角度去探尋解決問(wèn)題的方法。

        3.比較主體,明晰特征。傳統(tǒng)教學(xué)中教師是“主體”,通過(guò)教師的講解,讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)規(guī)律。教師要讓學(xué)生成為探求知識(shí)的“主體”,彈性設(shè)計(jì)內(nèi)容,為他們留有操作驗(yàn)證的空間,通過(guò)優(yōu)化教學(xué)活動(dòng),促進(jìn)教學(xué)融合。教師要善于讓學(xué),讓出課堂的“C 位”,讓出話語(yǔ)的機(jī)會(huì)、體驗(yàn)的空間,給他們更大的探索空間,形成自己的獨(dú)特感悟,從而能探尋出數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì),形成有深度的理解。

        在學(xué)習(xí)《圓的認(rèn)識(shí)》一課內(nèi)容時(shí),教師讓學(xué)生用折、畫(huà)、量等方式去找到圓片的圓長(zhǎng)、最長(zhǎng)的線段,并驗(yàn)證圓的直徑與半徑之間的關(guān)系。學(xué)生在探索中會(huì)發(fā)現(xiàn)折痕交叉的點(diǎn)就是圓心、折痕就是直徑,并發(fā)現(xiàn)圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形,直徑有無(wú)數(shù)條且每條長(zhǎng)度都相等,通過(guò)測(cè)量、對(duì)比等方法發(fā)現(xiàn)圓的直徑是半徑的2 倍。雙主融合,能為學(xué)生搭建探索知識(shí)的平臺(tái),讓學(xué)生形成的認(rèn)識(shí)更深刻。

        二、整體:縱橫聯(lián)系,建立知識(shí)脈絡(luò)

        教師要立足于數(shù)學(xué)系統(tǒng)化、整體化的視角,對(duì)教學(xué)內(nèi)容加以整合,疏通邏輯關(guān)系,建立內(nèi)在聯(lián)系,優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu),能促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思維方法的理解,將數(shù)學(xué)教學(xué)不斷引向深入。

        1.縱向聯(lián)系,疏理知識(shí)脈絡(luò)。數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)是呈螺旋上升的,教師要抓住知識(shí)的生長(zhǎng)與延伸之處,能尋找數(shù)學(xué)概念的前世今生,建立局部與整體之間的關(guān)聯(lián),再現(xiàn)知識(shí)的發(fā)展脈絡(luò),能幫助學(xué)生獲得整體的認(rèn)知。教師要借助“前知識(shí)”學(xué)習(xí)中積累的經(jīng)驗(yàn)去探索新知,讓學(xué)生去運(yùn)用掌握的方法模型去解決問(wèn)題,從而能形成整體化的理解。

        如在學(xué)習(xí)蘇教版五上《除數(shù)是小數(shù)的小數(shù)除法》一課內(nèi)容時(shí),教師要立足于學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn),讓學(xué)生回顧兩、三位數(shù)除以一位數(shù),除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法的計(jì)算方法,探索將除數(shù)是小數(shù)的除法轉(zhuǎn)化為除數(shù)是整數(shù)的除法,在“轉(zhuǎn)化”思想的運(yùn)用中掌握計(jì)算的方法。教師提出問(wèn)題:三峽船閘最大的一扇門(mén)高38.5 米,寬20.2 米,被稱(chēng)為“天下第一門(mén)”,小男孩家的門(mén)高是2.2 米,根據(jù)上面的信息,你會(huì)提出怎樣的問(wèn)題?通過(guò)學(xué)生探討交流,他們采用的方法是將米轉(zhuǎn)化為分米,或?qū)⒊龜?shù)、被除數(shù)都擴(kuò)大10 倍,在探討中他們發(fā)現(xiàn)被除數(shù)與除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)要相同,商的小數(shù)點(diǎn)要與被除數(shù)移動(dòng)后的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊。

        2.橫向關(guān)聯(lián),建立思維網(wǎng)絡(luò)。教師加強(qiáng)知識(shí)的橫向關(guān)聯(lián),引領(lǐng)學(xué)生去分析、比較、概括、類(lèi)比等活動(dòng),能幫助他們獲得整體的認(rèn)知。教師只有聯(lián)系相關(guān)聯(lián)的內(nèi)容,處理好知識(shí)之間的關(guān)聯(lián),才能幫助學(xué)生建立結(jié)構(gòu)化的知識(shí)體系。

        如在學(xué)習(xí)蘇教版五下《三角形的面積》一課內(nèi)容時(shí),教師引領(lǐng)學(xué)生回顧“平行四邊形面積的推導(dǎo)”,讓他們結(jié)合“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想將三角形的面積轉(zhuǎn)化為平行四邊形的面積。三角形的面積推導(dǎo)也為后面梯形的面積推導(dǎo)做好鋪墊。教師讓大家猜一猜:能不能將三角形轉(zhuǎn)化為已有的圖形來(lái)求面積?學(xué)生在小組探究中思考:將三角形轉(zhuǎn)化為學(xué)過(guò)的什么圖形?三角形與轉(zhuǎn)化后的圖形有什么關(guān)系?大家拿出準(zhǔn)備好的三種類(lèi)型的三角形,通過(guò)動(dòng)手拼一拼、擺一擺或剪拼等方式進(jìn)行探索。學(xué)生有了平行四邊形面積公式的支撐,必然會(huì)想到將三角形轉(zhuǎn)化為平行四邊形進(jìn)行探究,從而能找到新舊知識(shí)之間的聯(lián)系,讓舊知識(shí)成為新知識(shí)的鋪墊。

        學(xué)生要建構(gòu)知識(shí)之間的聯(lián)系,能從整體關(guān)聯(lián)的角度將相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)串連起來(lái),能將零散、碎片的知識(shí)由點(diǎn)及面地聯(lián)系起來(lái),形成一個(gè)縱橫交錯(cuò)、立體化的知識(shí)“網(wǎng)絡(luò)”,能促進(jìn)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)點(diǎn)的系統(tǒng)理解。

        3.融會(huì)貫通,拓展認(rèn)知路徑。教師要立足于學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn),通過(guò)有層次、遞進(jìn)性的探索,促進(jìn)他們對(duì)知識(shí)的理解內(nèi)化。教師要對(duì)所學(xué)問(wèn)題進(jìn)行合理改變,如由長(zhǎng)方體的表面積問(wèn)題遷移到計(jì)算“制作無(wú)蓋魚(yú)缸所用的玻璃”問(wèn)題,以實(shí)現(xiàn)知識(shí)的正向遷移,實(shí)現(xiàn)知識(shí)的融會(huì)貫通,能豐富他們的知識(shí)經(jīng)驗(yàn),完善他們的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

        教師要不滿(mǎn)足于結(jié)論的探尋,為學(xué)生留有思維拓展的空間,能加深對(duì)所學(xué)內(nèi)容的理解,使他們的思維向縱深處延伸。如在學(xué)習(xí)《圓的認(rèn)識(shí)》一課內(nèi)容后,教師提出諸如“輪胎為什么設(shè)計(jì)成圓形的,而不是方形的?”“井蓋為什么是圓的?”學(xué)生通過(guò)查閱資料等方式,經(jīng)歷探索、理解、應(yīng)用的過(guò)程,能加深他們對(duì)圓的理解。教師讓學(xué)生剪下一個(gè)圓,折一折、畫(huà)一畫(huà),看誰(shuí)在自己的圓中畫(huà)的半徑最多?并追問(wèn):還能繼續(xù)畫(huà)嗎?能畫(huà)得完嗎?這說(shuō)明了什么?學(xué)生通過(guò)積極的探索,能說(shuō)出“半徑有無(wú)數(shù)條”的結(jié)論。教師讓學(xué)生用刻度尺量一量這些半徑,看看有什么發(fā)現(xiàn)?學(xué)生發(fā)現(xiàn)半徑都相等。教師追問(wèn)學(xué)生:你們手上的圓的半徑與老師黑板上圓的半徑相等嗎?什么情況下半徑的長(zhǎng)度才相等?在同一圓內(nèi)有多少條直徑?這些直徑相等嗎?教師以問(wèn)題導(dǎo)學(xué),讓他們探尋圓的內(nèi)在規(guī)律,能準(zhǔn)確地把握?qǐng)A的特征。

        三、類(lèi)推:觸類(lèi)旁通,孕育創(chuàng)新思維

        類(lèi)推,是從兩個(gè)對(duì)象部分屬性相同,推出其他屬性亦相同,這是一種從特殊到特殊的推理,能使學(xué)生的思維實(shí)現(xiàn)“從0到1”質(zhì)的突破。類(lèi)推,在猜想、判斷、驗(yàn)證等活動(dòng)中建構(gòu)知識(shí)間的關(guān)聯(lián),將新的知識(shí)、新的方法納入到知識(shí)體系中。類(lèi)推,能打破思維定式,讓學(xué)生經(jīng)歷由此及彼的發(fā)現(xiàn),提升學(xué)生觸類(lèi)旁通的能力。

        1.探尋對(duì)象,借猜想促頓悟。學(xué)生面對(duì)超出舊知范圍的內(nèi)容進(jìn)行思考、猜想,能產(chǎn)生全新的思考。教師要引導(dǎo)學(xué)生去尋找與探索對(duì)象相關(guān)的類(lèi)比對(duì)象,讓他們?nèi)ゲ孪?、?yàn)證,能從不同的視角去解決問(wèn)題。

        如在學(xué)習(xí)蘇教版四下《乘法分配律》一課內(nèi)容時(shí),教師提出問(wèn)題:公園里共種植芍藥 12 排,牡丹 8 排,每排 9 棵,芍藥和牡丹一共有多少棵?學(xué)生找到了兩種方法解決問(wèn)題:一種方法是,先求出芍藥與牡丹一共種了多少排,再求出共有多少棵,即(12+8)×9=180(棵);另一種方法是,分別求出芍藥與牡丹各種了多少棵,即12×9+8×9=180(棵)。學(xué)生通過(guò)結(jié)果的對(duì)比,發(fā)現(xiàn)雖然算法不同,但結(jié)果是一樣的。教師引導(dǎo)他們聯(lián)系前面所學(xué)的運(yùn)算律,會(huì)產(chǎn)生怎樣的猜想?學(xué)生將交換律與結(jié)合律放一起類(lèi)比,從而對(duì)“乘法分配率”產(chǎn)生猜想。

        2.大膽探索,借驗(yàn)證促提升。類(lèi)推能促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)造思維的發(fā)展,但很多類(lèi)推未能獲得嚴(yán)密的論證,有些是片面的、不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?,教師要引?dǎo)他們?nèi)ヲ?yàn)證自己的猜想,使自己的思維變得更加嚴(yán)謹(jǐn)。教師要教會(huì)學(xué)生驗(yàn)證的方法,可以通過(guò)舉例來(lái)驗(yàn)證,也可以通過(guò)畫(huà)圖來(lái)驗(yàn)證,學(xué)生通過(guò)分工協(xié)作,以不同的方法驗(yàn)證自己的猜想,從而能促進(jìn)學(xué)生思維品質(zhì)的提升。

        在學(xué)習(xí)蘇教版四下《三角形的內(nèi)角和》一課內(nèi)容時(shí),教師讓學(xué)生量一量自己的三角板各個(gè)角的度數(shù),并求出三個(gè)內(nèi)角的和,再讓他們類(lèi)比兩個(gè)特殊的直角三角形,猜想一下不同類(lèi)型三角形的內(nèi)角和是多少?為驗(yàn)證他們的猜想,學(xué)生使出了“渾身解數(shù)”,有的學(xué)生通過(guò)測(cè)量各個(gè)角的度數(shù),并求出內(nèi)角和;有的學(xué)生用拼一拼的方式驗(yàn)證,將三個(gè)角剪下來(lái),拼在一起,看是不是平角;有的學(xué)生通過(guò)折一折的方法,先找到兩條邊的中點(diǎn),并用線連起來(lái),按這條線折起來(lái),再將另外兩個(gè)角折起來(lái)……教師為學(xué)生驗(yàn)證的機(jī)會(huì),讓他們聚焦問(wèn)題核心,運(yùn)用不同的方法驗(yàn)證,從而能促進(jìn)創(chuàng)造思維品質(zhì)的培育。

        3.多元表征,借關(guān)聯(lián)促發(fā)展。學(xué)生在類(lèi)推的過(guò)程,能從不同的角度探索,形成了多種驗(yàn)證方法,能打通知識(shí)之間的關(guān)聯(lián),讓他們?cè)谏疃忍剿髦行纬勺约旱睦斫狻=處熞龑?dǎo)學(xué)生將符號(hào)、圖形、文字等多種表征方式聯(lián)系起來(lái),深化學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容的理解。如在學(xué)習(xí)“乘法結(jié)合律”內(nèi)容時(shí),教師要類(lèi)推加法結(jié)合律的學(xué)習(xí)方式,先讓學(xué)生用文字表述,再以符號(hào)簡(jiǎn)化(ab)c=a(bc),還可以運(yùn)用圖形表達(dá),不同表征方式彼此聯(lián)系、相互驗(yàn)證,能促進(jìn)學(xué)生對(duì)乘法結(jié)合律的理解。

        四、批判:質(zhì)疑問(wèn)難,精確理解內(nèi)容

        教師要革新傳統(tǒng)的教學(xué)文化,改變“記憶、模仿、訓(xùn)練”的模式,讓探究成為課堂學(xué)習(xí)的常態(tài)。批判不是簡(jiǎn)單的質(zhì)疑與否定,而是在探究中對(duì)概念、原理的分析與論證,能形成更好的判斷與理解。

        1.合理質(zhì)疑,精準(zhǔn)把握概念。教師要圍繞重點(diǎn)處、疑點(diǎn)處引生質(zhì)疑,讓他們能提供科學(xué)的證據(jù)、有力的推理對(duì)概念進(jìn)行深度的再思考,從而能更精準(zhǔn)地把握概念。如在學(xué)習(xí)四下《認(rèn)識(shí)三角形》一課內(nèi)容時(shí),教師讓學(xué)生依圖試說(shuō)什么叫三角形,當(dāng)學(xué)生說(shuō)出“由三條線段組成的圖形叫三角形 ”時(shí),教師讓學(xué)生在操作中感悟,并舉出反例,從而使自己的表述變得更加嚴(yán)謹(jǐn)。在分類(lèi)時(shí),教師要追問(wèn)“是否還有其他情況”,能促進(jìn)他們對(duì)概念內(nèi)涵的理解以及分類(lèi)討論思考的滲透。

        2.讓導(dǎo)發(fā)現(xiàn),自探數(shù)學(xué)問(wèn)題。學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)充滿(mǎn)好奇,教師要以“發(fā)問(wèn)”激發(fā)學(xué)生的好奇心,引導(dǎo)他們探索在學(xué)習(xí)中遇到的問(wèn)題。教師要善于“留白”,為學(xué)生留有自主探索數(shù)學(xué)規(guī)律的空間,讓他們?cè)谧灾魉伎贾杏兴l(fā)現(xiàn)、有所感悟。如在學(xué)習(xí)蘇教版二下《直角的初步認(rèn)識(shí)》一課內(nèi)容時(shí),教師引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)物抽象出直角,并通過(guò)直角特征的觀察建立表象。教師讓學(xué)生觀察鐘面上的時(shí)針與分針?biāo)纬傻慕?,讓他們說(shuō)說(shuō)哪個(gè)是直角?學(xué)生在交流后,借助于三角尺上的直角去比一比,驗(yàn)證自己的判斷,并強(qiáng)化了對(duì)直角的認(rèn)識(shí),并發(fā)現(xiàn)直角比銳角大、比鈍角小。

        3.觀點(diǎn)交鋒,形成深度見(jiàn)解。教師要為學(xué)生營(yíng)造開(kāi)放的學(xué)習(xí)氛圍,引導(dǎo)學(xué)生從不同角度去思考問(wèn)題,對(duì)不同觀點(diǎn)進(jìn)行辯論,為自己的觀點(diǎn)尋找證據(jù)的支持,修正對(duì)方的誤解,也要直面錯(cuò)誤,對(duì)自己的不足進(jìn)行補(bǔ)充、完善。教師要引導(dǎo)學(xué)生敢于質(zhì)疑、大膽批判,在辨析中形成深度的思考。學(xué)生在持有批判精神的同時(shí),也要能理解他人的不同觀點(diǎn),并探尋其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想。

        總而言之,在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師要圍繞核心內(nèi)容,引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷探索過(guò)程,形成深度的數(shù)學(xué)理解,能把握其中的數(shù)學(xué)規(guī)律,感悟蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想。教師要變“教”為“引”,變“授”為“啟”,能發(fā)掘?qū)W生的思維潛能,讓他們?cè)隗w驗(yàn)、感悟中獲得有意義的建構(gòu)。

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