梁 棟,梁正宇,楊建成,徐振宇
(1.天津工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,天津 300387;2.天津工業(yè)大學(xué) 天津市現(xiàn)代機(jī)電裝備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,天津 300387;3.江蘇金龍科技股份有限公司,江蘇 蘇州 215500)
多臂開口織機(jī)(簡(jiǎn)稱為多臂織機(jī))通過多臂實(shí)現(xiàn)開口,其在劍桿織機(jī)、噴氣織機(jī)等無梭織機(jī)中應(yīng)用廣泛,常用于較為復(fù)雜的小花紋織物的織制,而提綜臂則是多臂織機(jī)上實(shí)現(xiàn)凸輪開口的一個(gè)核心部件[1-2]?,F(xiàn)階段對(duì)提綜臂的裝配加工,主要采用旋鉚工藝,由人工將提綜臂相關(guān)零部件放至旋鉚機(jī)上進(jìn)行鉚接。因人工操作效率低且誤差較大,故存在鉚接的產(chǎn)品一致性差、質(zhì)量不穩(wěn)定的問題。為實(shí)現(xiàn)該工藝的自動(dòng)化,提高生產(chǎn)效率,保證加工質(zhì)量,本文關(guān)注多臂織機(jī)提綜臂的輔助旋鉚加工,并針對(duì)提綜臂的部分加工過程,采用先進(jìn)并聯(lián)機(jī)器人技術(shù),提出新型輔助旋鉚并聯(lián)機(jī)器人。在此基礎(chǔ)上,重點(diǎn)關(guān)注機(jī)器人的高效動(dòng)力學(xué)控制策略,旨在保證機(jī)械手實(shí)現(xiàn)高速、高精度地抓放動(dòng)作。
相比于傳統(tǒng)串聯(lián)機(jī)器人,并聯(lián)機(jī)器人具有速度快、剛度大、結(jié)構(gòu)穩(wěn)定、運(yùn)動(dòng)慣性小、承載能力強(qiáng)、誤差累積小等特點(diǎn)[3-4]。然而,并聯(lián)機(jī)器人因其存在非線性閉環(huán)約束,其關(guān)節(jié)間的耦合作用較強(qiáng)。因此,并聯(lián)機(jī)器人也具有控制難度大的特點(diǎn),簡(jiǎn)單的電機(jī)位置控制(不考慮動(dòng)力學(xué)因素)難以保證并聯(lián)機(jī)器人在高速下的運(yùn)動(dòng)精度。對(duì)此,李占賢[5]提出基于伺服電動(dòng)機(jī)的控制模型,通過增加速度前饋等環(huán)節(jié),實(shí)現(xiàn)對(duì)并聯(lián)機(jī)器人的準(zhǔn)確控制。除此之外,基于逆動(dòng)力學(xué)模型的控制方法因其良好的控制性能而備受青睞,設(shè)計(jì)者可以基于數(shù)學(xué)模型設(shè)計(jì)其相應(yīng)的控制器來實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)控制,例如計(jì)算力矩控制[6-7]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制[8]、模糊控制[9-10]、滑??刂芠11]、模糊滑??刂芠12]、模糊神經(jīng)控制[13]等。動(dòng)力學(xué)模型是動(dòng)態(tài)特性分析和控制的基礎(chǔ),對(duì)于剛體動(dòng)力學(xué)模型的建立,采用的方法則主要有牛頓-歐拉法[14-15]、虛功原理法[5-7]、拉格朗日方法[3-16]、KANE方法[17]等。在控制仿真實(shí)驗(yàn)的方法選擇上,文獻(xiàn)[18]采用Simulink與SimMechanics相結(jié)合的方法進(jìn)行控制仿真實(shí)驗(yàn),文獻(xiàn)[19]采用Simulink與ADAMS聯(lián)合仿真的方法對(duì)控制參數(shù)進(jìn)行整定。
以提綜臂的高效自動(dòng)化加工為背景,本文采用并聯(lián)機(jī)器人技術(shù),提出一種輔助旋鉚機(jī)械手,實(shí)現(xiàn)將提綜臂零部件從傳送帶快速放至專用夾具,并對(duì)該機(jī)械手開展剛體動(dòng)力學(xué)分析、控制策略設(shè)計(jì)及虛擬仿真實(shí)驗(yàn),為其樣機(jī)制造及實(shí)際應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。首先,建立單支鏈的閉環(huán)矢量方程,并進(jìn)行位置和速度分析;其次,基于拉格朗日方法建立機(jī)構(gòu)的逆剛體動(dòng)力學(xué)模型;接著,采用計(jì)算力矩控制方法,設(shè)計(jì)一種任務(wù)空間運(yùn)動(dòng)控制律;最后,借助ADAMS與Simulink平臺(tái)開展聯(lián)合虛擬仿真,整定控制參數(shù)。
為實(shí)現(xiàn)多臂織機(jī)提綜臂的自動(dòng)化旋鉚加工,提出一種輔助旋鉚并聯(lián)機(jī)械手,其主體運(yùn)動(dòng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)的SolidWorks虛擬樣機(jī)如圖1所示。為便于觀察,圖1僅示出主要運(yùn)動(dòng)執(zhí)行機(jī)構(gòu),其余附件未示出。該機(jī)構(gòu)包含左、右兩條相同支鏈,各支鏈均由一組平行四連桿機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng),保證了中間肘部關(guān)節(jié)擁有與驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)一致的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,便于實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)控制。兩條支鏈各由一臺(tái)伺服電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng),且兩個(gè)驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)軸相互平行。各支鏈中肘部連接架與動(dòng)平臺(tái)則由一組4U(U表示虎克鉸)子鏈相連接,其余均由轉(zhuǎn)動(dòng)副連接。
圖1 機(jī)構(gòu)示意圖Fig.1 Diagram of mechanism
虎克鉸的布置:不失一般性,動(dòng)平臺(tái)形狀設(shè)計(jì)為正方形,其對(duì)角線上的虎克鉸的固定轉(zhuǎn)軸兩兩平行,相鄰的固定轉(zhuǎn)軸兩兩垂直。動(dòng)平臺(tái)上4個(gè)虎克鉸的空間排布形式如圖2所示。中間肘部關(guān)節(jié)上虎克鉸的固定軸線,兩兩相互垂直,與桿件另一端連接動(dòng)平臺(tái)的虎克鉸上的固定軸線各自平行。由文獻(xiàn)[20]可知,該機(jī)構(gòu)具有y、z兩個(gè)方向的移動(dòng)自由度。
圖2 動(dòng)平臺(tái)上虎克鉸的布置Fig.2 Collocation of hook joints on moving platform
根據(jù)生產(chǎn)工藝要求,設(shè)計(jì)結(jié)果應(yīng)達(dá)到如下目標(biāo):在最大加速度為3g的工況下,y、z2個(gè)方向的誤差小于1 mm。由此設(shè)計(jì)的輔助旋鉚機(jī)械手可以實(shí)現(xiàn)在多臂機(jī)提綜臂旋鉚加工過程中將零部件快速、精準(zhǔn)地放至專用夾具,進(jìn)而有效提高生產(chǎn)效率,保證加工質(zhì)量。
由于機(jī)構(gòu)是依靠平行四連桿驅(qū)動(dòng),且相對(duì)布置的兩桿相互平行,具有相同的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。為簡(jiǎn)化分析,以驅(qū)動(dòng)桿、肘部連接架、單被動(dòng)桿和動(dòng)平臺(tái)構(gòu)造閉環(huán)矢量鏈,如圖3所示。以靜平臺(tái)中心點(diǎn)O為原點(diǎn),建立慣性坐標(biāo)系O-XYZ,設(shè)驅(qū)動(dòng)桿與Y軸夾角為θi,G點(diǎn)坐標(biāo)為[0yz]T,i為支鏈序號(hào),且當(dāng)i=1,sgn(i)=-1;i=2,sgn(i)=1,可得到以下矢量:
圖3 閉環(huán)矢量鏈Fig.3 Closed-loop vector chain
由圖3可建立閉環(huán)矢量方程,將所有桿件視為剛性桿,對(duì)向量DE求模,得到如下位置約束方程:
2.1 .1 位置逆解
對(duì)式(2)進(jìn)行化簡(jiǎn),可得
2.1 .2 位置正解
位置正解對(duì)于并聯(lián)機(jī)構(gòu)的控制具有重要意義,其通常需借助數(shù)值迭代法(如牛頓迭代法[21])進(jìn)行求解。由于牛頓迭代法對(duì)初始點(diǎn)的要求較高,若給定的初始點(diǎn)位置與實(shí)際初始點(diǎn)位置偏離較大,則可能會(huì)導(dǎo)致無法求得正確解,甚至無法收斂。因本文機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)特殊,可以得到其解析正解,這將有助于后續(xù)基于任務(wù)空間的高效控制策略設(shè)計(jì)。
對(duì)式(2)展開,分離出變量y、z,得到以下方程:
當(dāng)i=1、i=2時(shí),根據(jù)式(5)可得2個(gè)二元二次方程,聯(lián)立消元整理后可得
根據(jù)一元二次方程求根公式解得
2.1 .3 速度分析
對(duì)約束方程式(2)關(guān)于時(shí)間求導(dǎo)得
由此可得輸入與輸出之間的運(yùn)動(dòng)映射關(guān)系為
對(duì)式(10)做矩陣變換,得到
式中:J為機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)雅可比矩陣,且
剛體動(dòng)力學(xué)建模旨在給出機(jī)構(gòu)的尺度和慣性參數(shù)的條件下,建立驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)輸入力(力矩)與末端動(dòng)平臺(tái)輸出運(yùn)動(dòng)之間的映射關(guān)系,它是評(píng)價(jià)機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)操作性能、物理樣機(jī)設(shè)計(jì)、伺服電機(jī)選型以及運(yùn)動(dòng)控制策略設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。本文采用Lagrange方法建立機(jī)器人的剛體動(dòng)力學(xué)模型。
2.2 .1 結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化及能量計(jì)算
由于求解完整的動(dòng)力學(xué)模型較為復(fù)雜,且考慮到后續(xù)控制器運(yùn)算的高效性,對(duì)部分桿件做適當(dāng)簡(jiǎn)化,對(duì)一些非線性項(xiàng)進(jìn)行忽略,在此利用以下假設(shè):
(1)運(yùn)動(dòng)副為理想的,無因摩擦而引起的能量耗散;各桿件為剛體,不考慮在高速運(yùn)動(dòng)下慣性力引致的彈性變形。
(2)考慮到被動(dòng)桿為輕質(zhì)桿,忽略其轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)帶來的慣性力,其質(zhì)量按靜力等效原則,以其質(zhì)量的1/2分別等效到被動(dòng)桿兩端。
取驅(qū)動(dòng)桿轉(zhuǎn)軸平面為零勢(shì)能面,以下為對(duì)單條支鏈各部分的能量分析。動(dòng)平臺(tái)的動(dòng)能:
動(dòng)平臺(tái)的勢(shì)能:
式中:m1為動(dòng)平臺(tái)質(zhì)量;g為自然重力加速度(取9.8 m/s2)
主動(dòng)桿組(包括驅(qū)動(dòng)桿與輔助連桿)動(dòng)能:由于驅(qū)動(dòng)桿與輔助連桿具有相同的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,故主動(dòng)桿組的動(dòng)能可寫為
式中:I21為驅(qū)動(dòng)桿繞基座轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;I22為輔助連桿繞基座轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。
主動(dòng)桿組的勢(shì)能:
式中:m21為驅(qū)動(dòng)桿的質(zhì)量;m22為輔助連桿的質(zhì)量;r21為驅(qū)動(dòng)桿質(zhì)心到其轉(zhuǎn)軸中心的距離;r22為輔助連桿質(zhì)心到其轉(zhuǎn)軸中心的距離;h為驅(qū)動(dòng)桿轉(zhuǎn)軸中心與輔助連桿轉(zhuǎn)軸中心的z向垂直距離。
中間關(guān)節(jié)的動(dòng)能:
中間關(guān)節(jié)的勢(shì)能:
式中:I3為中間關(guān)節(jié)的繞驅(qū)動(dòng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;r3為中間關(guān)節(jié)質(zhì)心到驅(qū)動(dòng)軸的距離;m3為中間肘部關(guān)節(jié)的質(zhì)量。
2.2 .2 建立系統(tǒng)的逆剛體動(dòng)力學(xué)模型
考慮到機(jī)器人機(jī)構(gòu)為含閉環(huán)約束的多體系統(tǒng),采用第一類Lagrange方程:
式中:L為L(zhǎng)agrange能量函數(shù);qi(i=1,2,…)為廣義坐標(biāo);τi為廣義力;fj為第j個(gè)約束方程;λj為第j個(gè)Lagrange乘子。選取系統(tǒng)廣義坐標(biāo)向量為:
根據(jù)機(jī)器人閉環(huán)矢量方程,以桿長(zhǎng)為約束,可列得如下約束方程:
將簡(jiǎn)化的模型代入動(dòng)能表達(dá)式,求取系統(tǒng)總動(dòng)能為:
系統(tǒng)總勢(shì)能為:
將上述式子分別代入式(19),求得各廣義力:
廣義力τ1:
廣義力τ3:
因機(jī)構(gòu)僅有主動(dòng)關(guān)節(jié)處安裝伺服電機(jī),故τ3=0且τ4=0,將其代入式(26)和(27)得到方程組:
對(duì)式(28)方程組進(jìn)行消元,求得拉格朗日乘子,其可表征機(jī)構(gòu)的廣義約束力:
式中:|J1|表示矩陣J1的行列式。
將求得的拉格朗日乘子代入上面動(dòng)力學(xué)方程組,整理得到:
式中:
與一般機(jī)械系統(tǒng)一樣,當(dāng)機(jī)器人結(jié)構(gòu)及其相關(guān)參數(shù)確定后,其動(dòng)態(tài)特性可由系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程來描述。因此,可通過基于系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型設(shè)計(jì)相應(yīng)的控制器來實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)控制。對(duì)于具有強(qiáng)耦合性、非線性的機(jī)械系統(tǒng)而言,PD(P表示比例系數(shù),D表示微分系數(shù))反饋控制是最為簡(jiǎn)單且行之有效的控制方法[7]。為實(shí)現(xiàn)高速下的機(jī)器人運(yùn)動(dòng)控制,本文計(jì)及系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)因素,對(duì)輔助旋鉚機(jī)械手設(shè)計(jì)具有PD補(bǔ)償和非線性補(bǔ)償?shù)挠?jì)算力矩控制器。其中,PD補(bǔ)償是對(duì)慣性項(xiàng)進(jìn)行補(bǔ)償,非線性項(xiàng)是對(duì)重力項(xiàng)、離心力與科氏力項(xiàng)進(jìn)行補(bǔ)償。在實(shí)際應(yīng)用中,計(jì)算力矩實(shí)質(zhì)上是通過求出驅(qū)動(dòng)電機(jī)的輸出力矩,進(jìn)而通過改變電機(jī)的輸出電壓(電流)實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)械系統(tǒng)的精確控制。
在本文研究中,暫不考慮摩擦力帶來的影響,后期可在樣機(jī)調(diào)試中對(duì)這部分力矩進(jìn)行辨識(shí)/補(bǔ)償。
根據(jù)系統(tǒng)逆動(dòng)力學(xué)方程,可以得到驅(qū)動(dòng)力矩與末端執(zhí)行器運(yùn)動(dòng)的映射關(guān)系為:
在輸入力矩中,離心力與科氏力項(xiàng)以及重力項(xiàng),均采用理論值作為補(bǔ)償,慣性項(xiàng)則采用PD進(jìn)行補(bǔ)償,設(shè)計(jì)任務(wù)空間控制輸入力矩為:
式中:e=xd-x;Kp為位置增益對(duì)角矩陣;Kd為速度增益對(duì)角矩陣;x為末端執(zhí)行器實(shí)際位置向量;xd為末端執(zhí)行器理論位置向量。
假設(shè)控制輸入力矩與驅(qū)動(dòng)力矩相同,可以得到:
上式化簡(jiǎn)后得到一個(gè)關(guān)于時(shí)間的常系數(shù)二階齊次線性微分方程:
根據(jù)常系數(shù)二階齊次微分方程解的形式可知,誤差函數(shù)可由指數(shù)函數(shù)線性表達(dá)。因此,通過調(diào)整PD參數(shù),可使誤差漸進(jìn)趨近于0,即末端軌跡的控制精度可以得到保證。控制原理框圖如圖4所示。
圖4 計(jì)算力矩控制原理框圖Fig.4 Diagram of computed torque control(CTC)
為了驗(yàn)證設(shè)計(jì)的動(dòng)力學(xué)控制策略的合理性與有效性,以及便于直觀地觀察機(jī)器人控制效果與運(yùn)動(dòng)狀況,現(xiàn)結(jié)合控制策略與虛擬樣機(jī)技術(shù)進(jìn)行聯(lián)合虛擬仿真。通過聯(lián)合仿真,可以在虛擬環(huán)境下調(diào)試并發(fā)現(xiàn)設(shè)計(jì)中存在的問題,并及時(shí)對(duì)控制參數(shù)做出修正與調(diào)整,降低樣機(jī)研發(fā)成本,為未來樣機(jī)制造提供理論依據(jù)和技術(shù)儲(chǔ)備。
在此通過MATLAB軟件中的Simulink模塊與ADAMS軟件中的Control模塊實(shí)施聯(lián)合虛擬仿真實(shí)驗(yàn)。主要思路是:在Simulink中按照?qǐng)D4搭建控制模型,起到模擬控制器的作用;在ADAMS軟件中導(dǎo)入機(jī)器人的SolidWorks虛擬樣機(jī),起到模擬機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的作用。最終搭建的Simulink-Adams聯(lián)合控制仿真模型如圖5所示。
圖5 Simulink-ADAMS聯(lián)合控制仿真模型Fig.5 Simulink-ADAMSintegrated control simulation model
根據(jù)工作任務(wù)需求,設(shè)計(jì)“門字形”軌跡作為末端執(zhí)行器的運(yùn)動(dòng)軌跡,并采用修正梯形加速度運(yùn)動(dòng)規(guī)律[4],取最大加速度amax=3g。仿真中,給出機(jī)器人的尺度及質(zhì)量參數(shù)如下:l1=0.06 m,l2=0.44 m,l3=0.07 m,l4=0.09 m,l5=0.515 m,l6=l7=0.060 m,r21=0.185 m,r22=0.22 m,r3=0.465 m;m1=0.90 kg,m21=1.16 kg,m22=0.10 kg,m3=1.03 kg,I21=0.06 kg·m2,I21=0.11 kg·m2,I22=0.006 5 kg·m2,I3=0.22 kg·m2。通過試湊法,整定控制參數(shù)為:Kp=diag(5 000,5 000),Kd=diag(2 000,2 000)。需要說明的是,由于該模型忽略了系統(tǒng)中的摩擦力等影響,最佳控制參數(shù)還需在實(shí)際中進(jìn)行調(diào)試,在此僅是提供一個(gè)參考的范圍。
根據(jù)ADAMS輸出的仿真動(dòng)畫,可以看到聯(lián)合仿真下,機(jī)構(gòu)在不同時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)如圖6所示。
圖6 機(jī)構(gòu)在不同時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)位姿Fig.6 Poses of mechanism in different time
將仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果導(dǎo)出,通過理想軌跡與仿真軌跡的對(duì)比,可得到機(jī)械手運(yùn)動(dòng)過程中末端執(zhí)行器位置跟蹤及誤差的變化情況,分別如圖7和圖8所示。主動(dòng)關(guān)節(jié)控制輸入力矩如圖9所示。
結(jié)合圖7和圖8發(fā)現(xiàn),機(jī)械手在y向的跟蹤誤差控制在0.3 mm以內(nèi),在z向的跟蹤誤差也能控制在0.65 mm以內(nèi)。由于z向僅是控制機(jī)械手的上下移動(dòng),并不影響y向的定位,所以使用該控制策略,理論上滿足設(shè)計(jì)要求。另外由圖9可看出,控制力矩峰值大小為37.82 N·m,且力矩在軌跡跟蹤過程中波動(dòng)平緩,無振蕩和突變,這將有利于實(shí)際控制。綜上,對(duì)于高速運(yùn)動(dòng)的輔助旋鉚并聯(lián)機(jī)械手而言,利用設(shè)計(jì)的任務(wù)空間計(jì)算力矩控制方案,可以獲得較高的運(yùn)動(dòng)精度以及較好的控制性能,同時(shí)亦為其他高速并聯(lián)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)控制提供了技術(shù)參考。
圖7 末端執(zhí)行器軌跡對(duì)比Fig.7 Comparison of trajectory of end-effector
圖8 末端執(zhí)行器位置跟蹤誤差Fig.8 Position tracking errorsof end-effector
圖9 主動(dòng)關(guān)節(jié)控制力矩Fig.9 Control torques of active joints
(1)在對(duì)輔助旋鉚機(jī)械手結(jié)構(gòu)分析基礎(chǔ)上,構(gòu)造了單支鏈的閉環(huán)矢量鏈。運(yùn)用閉環(huán)矢量法,建立了單支鏈的位置約束方程,得到了位置正逆解的解析表達(dá)式;通過求導(dǎo)法,建立了速度映射模型。
(2)基于第一類Lagrange方程,并結(jié)合系統(tǒng)閉環(huán)約束方程,建立了機(jī)械手的剛體動(dòng)力學(xué)模型,其中的Lagrange乘子可表征系統(tǒng)廣義約束力。通過消元,進(jìn)一步得到了驅(qū)動(dòng)力矩與末端執(zhí)行器參考點(diǎn)運(yùn)動(dòng)之間的函數(shù)映射關(guān)系。
(3)設(shè)計(jì)了任務(wù)空間計(jì)算力矩控制策略,考慮了由PD補(bǔ)償來實(shí)現(xiàn)對(duì)慣性項(xiàng)的補(bǔ)償,由離心力、科氏力項(xiàng)以及重力項(xiàng)的理論值作為非線性補(bǔ)償。經(jīng)推導(dǎo)可知,選擇合適的PD參數(shù),可使跟蹤誤差漸進(jìn)趨近于0。
(4)搭建了Simulink-Adams聯(lián)合虛擬仿真模型。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,在最大加速度為3g時(shí),設(shè)計(jì)的任務(wù)空間動(dòng)力學(xué)控制策略可使末端執(zhí)行器的y向跟蹤誤差在0.3 mm以內(nèi),z向的跟蹤誤差也能控制在0.65 mm以內(nèi),且控制力矩波動(dòng)平緩,符合設(shè)計(jì)預(yù)期。需指出,本文給出的PD參數(shù)僅為參考值,實(shí)際應(yīng)用時(shí)仍需結(jié)合實(shí)體樣機(jī)進(jìn)行調(diào)試試驗(yàn)。