楊胡平

經(jīng)過長途跋涉，阿才他們終于回到了老家。剛進(jìn)門就受到了奶奶的熱烈歡迎。

在吃團(tuán)圓飯前，奶奶把一碗餃子裝進(jìn)保溫盒中，讓阿才給村里的李奶奶送去。李奶奶的兒女都在國外，不方便回來，現(xiàn)在她一個(gè)人在村里生活，腿腳有些不方便，阿才的奶奶想讓李奶奶也嘗嘗年味兒。

阿才的爸爸怕阿才不認(rèn)路，便和阿才一起出了門。路上，阿才說：“爸爸，你說李奶奶喜歡花嗎？不如我們采些野花一起送過去給李奶奶吧?！?/p>

爸爸想了想，說：“我記得李奶奶最喜歡公路邊金黃色的野菊花了，那邊的野菊花比其他地方的要大，而且很漂亮。”

李奶奶和阿才奶奶的家都在村子邊上，村子前面不遠(yuǎn)處是一條筆直的水泥公路，公路邊長著成片的野菊花。阿才決定和爸爸稍微繞個(gè)遠(yuǎn)路。

最近的路線

爸爸突然問阿才：“公路邊任何一點(diǎn)都可以采摘到野菊花，你知道怎樣走才是最短的路線嗎？”

阿才搖了搖頭，他可沒有想過這樣的問題。從奶奶家走到公路，再從公路到李奶奶家，有很多條路線。要想選出一條最近的路線，這個(gè)問題有些復(fù)雜，阿才一時(shí)不知道怎么算。

爸爸接著問：“那你知道‘兩點(diǎn)之間線段最短’和‘三角形任意兩條邊的和大于第三條邊’這兩條規(guī)律嗎？”

阿才點(diǎn)了點(diǎn)頭：“當(dāng)然知道！可是從奶奶家走到公路邊，再走到李奶奶家的路線，并不是一條直線呀！”

“這個(gè)不難，只要我們肯動(dòng)腦筋，就能找出最短的路線?！苯酉聛恚职帜贸龉P和紙，畫出了一條輔助線。奶奶家標(biāo)為A點(diǎn)，李奶奶家為B點(diǎn)，畫出B點(diǎn)的對稱點(diǎn)B′，連接A和B′，AB′和路邊相交的點(diǎn)為C點(diǎn)。

這次沒等爸爸講解，阿才就明白過來了。AB′是一條直線，且AB′=AC+B′C=AC+BC。

阿才從公路邊任取一點(diǎn)C′，連接AC′和B′C′，根據(jù)三角形任意兩條邊之和大于第三邊，則有AC′+B′C′≥AC+BC。那么AC+BC就是阿才從奶奶家去公路邊，再去李奶奶家最近的一條路線。

三角形路線

周末的早上，阿才跟著爸爸和李叔叔來到河灘邊，河灘是兩條小河交匯的地方。

原來，李叔叔在環(huán)保單位上班，他這次來這里是想做一次水質(zhì)調(diào)查。李叔叔拿著兩個(gè)小瓶子，從放行李的地點(diǎn)出發(fā)，在兩條小河中分別采集了一瓶河水。然后，他拿著兩瓶河水，回到了出發(fā)點(diǎn)，拿出儀器開始化驗(yàn)水質(zhì)。

爸爸看了看兩條小河的位置，拿出筆和紙，將李叔叔剛才走過的路線畫了出來，并標(biāo)上了字母。出發(fā)點(diǎn)是P，第一次采集河水的地點(diǎn)為A點(diǎn)，第二次采集河水的地點(diǎn)為B點(diǎn)。兩條小河交匯之處為O點(diǎn)，第一條小河的上流為M，第二條小河的上流為N。

接下來，爸爸問阿才：“如果你是李叔叔，你覺得怎樣走，才能讓這三條路線之和，也就是△PAB的三條邊之和最小呢？”

阿才望著這張草稿紙，陷入了沉思。爸爸提醒：“你可以畫輔助線呀！”一語點(diǎn)醒夢中人，阿才馬上畫起了輔助線。

阿才先以O(shè)M為對稱軸，畫出了P 點(diǎn)的對稱點(diǎn)P1，再以O(shè)N 為對稱軸，畫出了P點(diǎn)的對稱點(diǎn)P2。然后他將P1和P2連接起來，同OM和ON相交的點(diǎn)分別是A點(diǎn)和B點(diǎn)。△PAP1和△PBP2中，PA=P1A，PB=P2B。△PAB的三邊之和，其實(shí)是線段P1P2的長度，所以，這時(shí)的△PAB的三條邊之和最小。

建橋方案

阿才奶奶家所在村子的河對面有一家超市，由于河上沒有橋，要去河對面的超市十分不方便。好在年后鎮(zhèn)政府就要派人來村子里建一座橋了。

爸爸問阿才：“如果讓你當(dāng)設(shè)計(jì)師，你知道在什么地方建橋，才是從奶奶家去超市最短的一條路線嗎？”阿才拿出筆和紙，開始畫圖。

設(shè)奶奶家是A點(diǎn)，河對面的超市是B點(diǎn)，兩條平行線代表小河。假設(shè)建橋的地點(diǎn)是M和N，去超市要走的距離就是AM+MN+BN。

爸爸也拿起筆，將A向下平移到A′，使AA′的距離等于小河的寬度。連接A′B，其與小河的相交點(diǎn)是N′，畫一條經(jīng)過N′且垂直于小河河岸的線段M′N′。

那么，從阿才奶奶家去河對面超市的路線是AM′+M′N′+BN′。由于AM′=A′N′，所以AM′+BN′=A′B，AM′+M′N′+BN′=A′B+M′N′。

而M′N′=MN，AM=A′N。在△A′NB中，A′B<A′N+BN，所以A′B<AM

+BN。

由此可見，在小河上的M′N′處修橋，才是從阿才奶奶家去河對面超市最近的路線方案。在河上的其他地方，比如在小河上的M和N兩處建橋，路線都不是最近的。