王埼臻，田愷婧，夏雄平

（桂林理工大學(xué) 理學(xué)院，廣西 桂林 541006）

引言

光的衍射廣泛應(yīng)用在光譜學(xué)、精密測(cè)量、自動(dòng)化測(cè)量以及調(diào)制元件等方面[1-3]，然而當(dāng)光束通過(guò)各種光學(xué)儀器時(shí)，由于各種因素影響會(huì)產(chǎn)生波前畸變，從而影響光束質(zhì)量，導(dǎo)致光學(xué)系統(tǒng)的性能降低。因此，基于光束畸變對(duì)光的傳播影響出現(xiàn)的物理現(xiàn)象和相關(guān)物理機(jī)制被廣泛關(guān)注[4-6]。

光在衍射過(guò)程中發(fā)生的畸變包含豐富的物理現(xiàn)象，各種研究方法相繼提出[7-9]，其中T?r?k 等人提出利用Zernike 多項(xiàng)式構(gòu)建像差函數(shù)的方法[10]，Teng-jiao 等人提出了圓孔衍射波前畸變的模型[11]，Janssen 等人通過(guò)Nijboer 和Zernike 繞射理論中的基本恒等式，明確圓多項(xiàng)式等相關(guān)系數(shù)[12]。通過(guò)對(duì)于衍射過(guò)程中的光束畸變研究，許多人提出了檢測(cè)和降低光束畸變的方法[13-14]。另外，Zernike 波前畸變調(diào)控的相關(guān)實(shí)驗(yàn)研究，胡樂(lè)佳對(duì)顯微鏡系統(tǒng)中基于相干光學(xué)自適應(yīng)技術(shù)的像差矯正方法的波前探測(cè)可靠性進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)探究[15]。文明采用離軸三反系統(tǒng)作為實(shí)驗(yàn)裝置，對(duì)所提出的光學(xué)波前補(bǔ)償方法進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證[16]。東立劍等人提出一種Zernike5 像散主動(dòng)補(bǔ)償系統(tǒng)，并用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了補(bǔ)償結(jié)果精度以及分辨率[17]。

在本文中，類比激光擴(kuò)束系統(tǒng)，構(gòu)建開(kāi)普勒望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)，以平行光出射為初始結(jié)構(gòu)，探究光學(xué)系統(tǒng)中的畸變現(xiàn)象，在積分公式中引用由Zernike 多項(xiàng)式函數(shù)構(gòu)成的畸變因子，將Zernike 多項(xiàng)式描述的位移模型加在高斯光束上，使其緊密聯(lián)系光學(xué)像差模型，最后將Zernike 畸變因子引入望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)，以達(dá)到盡可能消除光斑畸變的目的。

1 理論模型

惠更斯-菲涅耳衍射積分用于估計(jì)強(qiáng)度分布。在笛卡爾坐標(biāo)中，遠(yuǎn)場(chǎng)強(qiáng)度分布由惠更斯-菲涅耳衍射積分估算，并表示為

在實(shí)際應(yīng)用中，圓孔衍射的基爾霍夫衍射積分公式使用極坐標(biāo)描述更為方便，其表達(dá)式為

式中：λ是光源的波長(zhǎng)；z是傳播距離；k是波數(shù)，即k=2π/λ。

由于Zernike 多項(xiàng)式函數(shù)的分布特性不同于其他多項(xiàng)式，因此常常被用來(lái)分析物體的光學(xué)衍射和干涉條紋的理論圖樣。Zernike 多項(xiàng)式的表達(dá)式為

在公式（6）基礎(chǔ)上，根據(jù)11 階Zernike 多項(xiàng)式以及圓孔衍射的基爾霍夫衍射積分公式（2），通過(guò)在波函數(shù)的表達(dá)式中引入基于Zernike 函數(shù)的畸變方式，利用迭代的方法可以得到包含Zernike 函數(shù)的衍射積分。其中初始波函數(shù)E(x0,y0,0)或者E(ρ,θ)設(shè)定為具有高斯型激光束分布的特征，在此取基模TEM00高斯光束，引入基模光束的系數(shù)C00，其具體表達(dá)式為

式中：C00表示基模光束的系數(shù)，指數(shù)部分表示光束呈高斯型分布，將 eik通過(guò)歐拉公式轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)的形式；為本文引入的乘積因子；表示Zernike 多項(xiàng)式函數(shù)的表達(dá)式；B為因子系數(shù)，其中不同的q對(duì)應(yīng)不同階數(shù)的表達(dá)式。

2 數(shù)值結(jié)果模擬與分析

2.1 類比激光擴(kuò)束系統(tǒng)反向設(shè)計(jì)開(kāi)普勒望遠(yuǎn)鏡

通過(guò)類比激光擴(kuò)束系統(tǒng)，利用Zemax 光學(xué)設(shè)計(jì)軟件，模擬開(kāi)普勒望遠(yuǎn)鏡結(jié)構(gòu)，其中望遠(yuǎn)鏡筒長(zhǎng)250 mm，放大率Γ=±4，鏡筒最大口徑D=25 mm，通過(guò)計(jì)算可得到望遠(yuǎn)鏡初始結(jié)構(gòu)。在此基礎(chǔ)上引入r=0.1 mm、r=0.2 mm 的遮擋型衍射元件，光線波長(zhǎng)λ=327 μm、λ=521 μm、λ=1 024 μm，模擬衍射距離為z=500 mm 的光束傳播，其結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 衍射光束在望遠(yuǎn)鏡結(jié)構(gòu)中的搭建Fig.1 Construction of diffracted beam in telescope structure

2.2 調(diào)控前Zemax 結(jié)構(gòu)模擬

通過(guò)光學(xué)傳輸計(jì)算，標(biāo)準(zhǔn)鏡片組合的望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)有無(wú)法消除的明顯畸變現(xiàn)象。從圖2 可以看出，其光斑呈現(xiàn)出四葉畸變分布，尤其是圖2（a）所呈現(xiàn)的衍射圓環(huán)的4 個(gè)最亮光點(diǎn)，與Zernike 畸變現(xiàn)象的四葉方向最為接近，波長(zhǎng)較小的情況下四葉畸變型光斑最為明顯。由于采用遮擋圓形衍射片模擬，因此光斑中心有邊緣光線疊加，呈現(xiàn)光強(qiáng)不規(guī)則現(xiàn)象，包含了衍射明紋和暗紋的不規(guī)則疊加，使中心光斑出現(xiàn)不規(guī)則方形，且隨波長(zhǎng)增大，如圖2（b）所示。望遠(yuǎn)鏡結(jié)構(gòu)采用N-Bk7 透鏡材料，由于不同介質(zhì)材料對(duì)不同波長(zhǎng)的光束偏折能力不同，波長(zhǎng)與折射率成反比。因此波長(zhǎng)越長(zhǎng)，光束折射率越小，能量越低，光束變得模糊，四葉畸變現(xiàn)象減小，衍射環(huán)趨于正常，如圖2（c）所示。

圖2 調(diào)控前光斑效果圖Fig.2 Effect diagram of light spot before regulation

2.3 Matlab 畸變模擬結(jié)果

由于光學(xué)系統(tǒng)畸變現(xiàn)象的不可消除性，因此利用Matlab 軟件，計(jì)算不同階數(shù)的Zernike 畸變對(duì)光斑的影響，尋更優(yōu)的Zernike 鏡片來(lái)彌補(bǔ)上述畸變現(xiàn)象。于是設(shè)計(jì)Matlab 數(shù)字模擬程序，將上述衍射距離帶入計(jì)算，利用方程（7）所采用的TEM00高斯型激光光束，其中C00=104；圓孔衍射屏的孔r=0.1 mm、r=0.2 mm；傳輸距離z=500 mm；光線波長(zhǎng)λ=327 μm、λ=521 μm、λ=1 024 μm，其對(duì)應(yīng)的系數(shù)B=2×10?4。

通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)，畸變因子的Zernike 多項(xiàng)式函數(shù)z（q）中取q=11 時(shí)，如圖3所示。隨著波長(zhǎng)的增大，四葉現(xiàn)象減弱，光斑變得模糊，光束發(fā)生匯聚，畸變效果最接近上述四葉型衍射環(huán)。利用該計(jì)算結(jié)果和傳播規(guī)律可彌補(bǔ)上述開(kāi)普勒望遠(yuǎn)鏡結(jié)構(gòu)中的畸變現(xiàn)象，以達(dá)到優(yōu)化光斑的目的。

圖3 高斯光束在圓孔衍射中光強(qiáng)分布圖Fig.3 Intensity distribution diagram of Gaussian beam in circular aperture diffraction

2.4 Zemax 調(diào)控結(jié)構(gòu)

利用上述Matlab 結(jié)果，即11 階Zernike 因子，來(lái)彌補(bǔ)望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)中的四葉畸變現(xiàn)象。將目鏡后表面換成11 階的Zernike 標(biāo)準(zhǔn)矢高鏡片，即像差補(bǔ)償片，用四葉畸變與系統(tǒng)四葉畸變相抵消的方法優(yōu)化光學(xué)系統(tǒng)，同時(shí)優(yōu)化目鏡曲率半徑和物鏡厚度。經(jīng)計(jì)算發(fā)現(xiàn)，四葉畸變?cè)诜抡婺M中用14階為變量疊加，得到的優(yōu)化結(jié)果如圖4所示。圖4（a）與圖2（a）比較可以發(fā)現(xiàn)，光束優(yōu)化為圓形，4 個(gè)分裂的光束融合為一環(huán)，衍射光斑變得勻稱；圖4（b）與圖3（b）比較可以發(fā)現(xiàn)，六邊形鋸齒狀光斑也接近圓形；圖4（c）與圖2（c）比較可以發(fā)現(xiàn)，光斑效果最好，衍射環(huán)消失不見(jiàn)，光束呈現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)高斯分布。

圖4 調(diào)控后光斑效果圖Fig.4 Effect diagram of light spot after regulation

3 結(jié)論

本文構(gòu)建了衍射光束在開(kāi)普勒望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)中的傳輸結(jié)構(gòu)，可以發(fā)現(xiàn)光學(xué)系統(tǒng)中的各種畸變現(xiàn)象，并以Zernike 多項(xiàng)式構(gòu)建像差函數(shù)法為基礎(chǔ)，根據(jù)圓孔衍射的基本理論，計(jì)算模擬了Zernike 多項(xiàng)式下的高斯光束在衍射過(guò)程中的四葉奇異光強(qiáng)分布，最后以畸變補(bǔ)償?shù)姆椒▋?yōu)化光學(xué)系統(tǒng)，以達(dá)到盡可能消除光斑畸變現(xiàn)象。仿真模擬時(shí)，將光線看成幾何光波與像平面交點(diǎn)所形成的奇異圖形，像面的中央亮區(qū)周圍環(huán)繞著明暗相間的艾里斑，可以有效分析光斑強(qiáng)度和波陣面形變之間的關(guān)系，進(jìn)而促進(jìn)衍射理論研究像差影響。在研究過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，階數(shù)、波長(zhǎng)和孔徑對(duì)于衍射現(xiàn)象都會(huì)產(chǎn)生明顯的影響。對(duì)于階數(shù)，在不同數(shù)值情況下，光斑會(huì)產(chǎn)生不同方向光束分裂現(xiàn)象，從而使得光斑偏離高斯型分布，產(chǎn)生異形光斑。階數(shù)一定，增大波長(zhǎng)可以改善波前畸變，光束減少分裂，光束匯聚性加強(qiáng)并改善奇異光斑趨勢(shì)，如本文用11 階Zernike 鏡片補(bǔ)償波前像差。因此，在實(shí)際過(guò)程中，針對(duì)特定的光學(xué)系統(tǒng)，在有不同畸變程度的結(jié)構(gòu)中添加可以相互抵消的畸變因子，可以有效降低光斑的畸變效果。也可以選擇與光波波長(zhǎng)相匹配的通光口徑，盡量降低光束波長(zhǎng)的影響。以上結(jié)論對(duì)于在光學(xué)儀器中有效降低高斯光束的衍射畸變現(xiàn)象提供了理論參考。