王埼臻,田愷婧,夏雄平
(桂林理工大學(xué) 理學(xué)院,廣西 桂林 541006)
光的衍射廣泛應(yīng)用在光譜學(xué)、精密測量、自動化測量以及調(diào)制元件等方面[1-3],然而當(dāng)光束通過各種光學(xué)儀器時,由于各種因素影響會產(chǎn)生波前畸變,從而影響光束質(zhì)量,導(dǎo)致光學(xué)系統(tǒng)的性能降低。因此,基于光束畸變對光的傳播影響出現(xiàn)的物理現(xiàn)象和相關(guān)物理機(jī)制被廣泛關(guān)注[4-6]。
光在衍射過程中發(fā)生的畸變包含豐富的物理現(xiàn)象,各種研究方法相繼提出[7-9],其中T?r?k 等人提出利用Zernike 多項式構(gòu)建像差函數(shù)的方法[10],Teng-jiao 等人提出了圓孔衍射波前畸變的模型[11],Janssen 等人通過Nijboer 和Zernike 繞射理論中的基本恒等式,明確圓多項式等相關(guān)系數(shù)[12]。通過對于衍射過程中的光束畸變研究,許多人提出了檢測和降低光束畸變的方法[13-14]。另外,Zernike 波前畸變調(diào)控的相關(guān)實驗研究,胡樂佳對顯微鏡系統(tǒng)中基于相干光學(xué)自適應(yīng)技術(shù)的像差矯正方法的波前探測可靠性進(jìn)行了實驗探究[15]。文明采用離軸三反系統(tǒng)作為實驗裝置,對所提出的光學(xué)波前補償方法進(jìn)行了實驗驗證[16]。東立劍等人提出一種Zernike5 像散主動補償系統(tǒng),并用實驗驗證了補償結(jié)果精度以及分辨率[17]。
在本文中,類比激光擴(kuò)束系統(tǒng),構(gòu)建開普勒望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng),以平行光出射為初始結(jié)構(gòu),探究光學(xué)系統(tǒng)中的畸變現(xiàn)象,在積分公式中引用由Zernike 多項式函數(shù)構(gòu)成的畸變因子,將Zernike 多項式描述的位移模型加在高斯光束上,使其緊密聯(lián)系光學(xué)像差模型,最后將Zernike 畸變因子引入望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng),以達(dá)到盡可能消除光斑畸變的目的。
惠更斯-菲涅耳衍射積分用于估計強度分布。在笛卡爾坐標(biāo)中,遠(yuǎn)場強度分布由惠更斯-菲涅耳衍射積分估算,并表示為
在實際應(yīng)用中,圓孔衍射的基爾霍夫衍射積分公式使用極坐標(biāo)描述更為方便,其表達(dá)式為
式中:λ是光源的波長;z是傳播距離;k是波數(shù),即k=2π/λ。
由于Zernike 多項式函數(shù)的分布特性不同于其他多項式,因此常常被用來分析物體的光學(xué)衍射和干涉條紋的理論圖樣。Zernike 多項式的表達(dá)式為
在公式(6)基礎(chǔ)上,根據(jù)11 階Zernike 多項式以及圓孔衍射的基爾霍夫衍射積分公式(2),通過在波函數(shù)的表達(dá)式中引入基于Zernike 函數(shù)的畸變方式,利用迭代的方法可以得到包含Zernike 函數(shù)的衍射積分。其中初始波函數(shù)E(x0,y0,0)或者E(ρ,θ)設(shè)定為具有高斯型激光束分布的特征,在此取基模TEM00高斯光束,引入基模光束的系數(shù)C00,其具體表達(dá)式為
式中:C00表示基模光束的系數(shù),指數(shù)部分表示光束呈高斯型分布,將 eik通過歐拉公式轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)的形式;為本文引入的乘積因子;表示Zernike 多項式函數(shù)的表達(dá)式;B為因子系數(shù),其中不同的q對應(yīng)不同階數(shù)的表達(dá)式。
通過類比激光擴(kuò)束系統(tǒng),利用Zemax 光學(xué)設(shè)計軟件,模擬開普勒望遠(yuǎn)鏡結(jié)構(gòu),其中望遠(yuǎn)鏡筒長250 mm,放大率Γ=±4,鏡筒最大口徑D=25 mm,通過計算可得到望遠(yuǎn)鏡初始結(jié)構(gòu)。在此基礎(chǔ)上引入r=0.1 mm、r=0.2 mm 的遮擋型衍射元件,光線波長λ=327 μm、λ=521 μm、λ=1 024 μm,模擬衍射距離為z=500 mm 的光束傳播,其結(jié)構(gòu)如圖1所示。
圖1 衍射光束在望遠(yuǎn)鏡結(jié)構(gòu)中的搭建Fig.1 Construction of diffracted beam in telescope structure
通過光學(xué)傳輸計算,標(biāo)準(zhǔn)鏡片組合的望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)有無法消除的明顯畸變現(xiàn)象。從圖2 可以看出,其光斑呈現(xiàn)出四葉畸變分布,尤其是圖2(a)所呈現(xiàn)的衍射圓環(huán)的4 個最亮光點,與Zernike 畸變現(xiàn)象的四葉方向最為接近,波長較小的情況下四葉畸變型光斑最為明顯。由于采用遮擋圓形衍射片模擬,因此光斑中心有邊緣光線疊加,呈現(xiàn)光強不規(guī)則現(xiàn)象,包含了衍射明紋和暗紋的不規(guī)則疊加,使中心光斑出現(xiàn)不規(guī)則方形,且隨波長增大,如圖2(b)所示。望遠(yuǎn)鏡結(jié)構(gòu)采用N-Bk7 透鏡材料,由于不同介質(zhì)材料對不同波長的光束偏折能力不同,波長與折射率成反比。因此波長越長,光束折射率越小,能量越低,光束變得模糊,四葉畸變現(xiàn)象減小,衍射環(huán)趨于正常,如圖2(c)所示。
圖2 調(diào)控前光斑效果圖Fig.2 Effect diagram of light spot before regulation
由于光學(xué)系統(tǒng)畸變現(xiàn)象的不可消除性,因此利用Matlab 軟件,計算不同階數(shù)的Zernike 畸變對光斑的影響,尋更優(yōu)的Zernike 鏡片來彌補上述畸變現(xiàn)象。于是設(shè)計Matlab 數(shù)字模擬程序,將上述衍射距離帶入計算,利用方程(7)所采用的TEM00高斯型激光光束,其中C00=104;圓孔衍射屏的孔r=0.1 mm、r=0.2 mm;傳輸距離z=500 mm;光線波長λ=327 μm、λ=521 μm、λ=1 024 μm,其對應(yīng)的系數(shù)B=2×10?4。
通過計算發(fā)現(xiàn),畸變因子的Zernike 多項式函數(shù)z(q)中取q=11 時,如圖3所示。隨著波長的增大,四葉現(xiàn)象減弱,光斑變得模糊,光束發(fā)生匯聚,畸變效果最接近上述四葉型衍射環(huán)。利用該計算結(jié)果和傳播規(guī)律可彌補上述開普勒望遠(yuǎn)鏡結(jié)構(gòu)中的畸變現(xiàn)象,以達(dá)到優(yōu)化光斑的目的。
圖3 高斯光束在圓孔衍射中光強分布圖Fig.3 Intensity distribution diagram of Gaussian beam in circular aperture diffraction
利用上述Matlab 結(jié)果,即11 階Zernike 因子,來彌補望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)中的四葉畸變現(xiàn)象。將目鏡后表面換成11 階的Zernike 標(biāo)準(zhǔn)矢高鏡片,即像差補償片,用四葉畸變與系統(tǒng)四葉畸變相抵消的方法優(yōu)化光學(xué)系統(tǒng),同時優(yōu)化目鏡曲率半徑和物鏡厚度。經(jīng)計算發(fā)現(xiàn),四葉畸變在仿真模擬中用14階為變量疊加,得到的優(yōu)化結(jié)果如圖4所示。圖4(a)與圖2(a)比較可以發(fā)現(xiàn),光束優(yōu)化為圓形,4 個分裂的光束融合為一環(huán),衍射光斑變得勻稱;圖4(b)與圖3(b)比較可以發(fā)現(xiàn),六邊形鋸齒狀光斑也接近圓形;圖4(c)與圖2(c)比較可以發(fā)現(xiàn),光斑效果最好,衍射環(huán)消失不見,光束呈現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)高斯分布。
圖4 調(diào)控后光斑效果圖Fig.4 Effect diagram of light spot after regulation
本文構(gòu)建了衍射光束在開普勒望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)中的傳輸結(jié)構(gòu),可以發(fā)現(xiàn)光學(xué)系統(tǒng)中的各種畸變現(xiàn)象,并以Zernike 多項式構(gòu)建像差函數(shù)法為基礎(chǔ),根據(jù)圓孔衍射的基本理論,計算模擬了Zernike 多項式下的高斯光束在衍射過程中的四葉奇異光強分布,最后以畸變補償?shù)姆椒▋?yōu)化光學(xué)系統(tǒng),以達(dá)到盡可能消除光斑畸變現(xiàn)象。仿真模擬時,將光線看成幾何光波與像平面交點所形成的奇異圖形,像面的中央亮區(qū)周圍環(huán)繞著明暗相間的艾里斑,可以有效分析光斑強度和波陣面形變之間的關(guān)系,進(jìn)而促進(jìn)衍射理論研究像差影響。在研究過程中發(fā)現(xiàn),階數(shù)、波長和孔徑對于衍射現(xiàn)象都會產(chǎn)生明顯的影響。對于階數(shù),在不同數(shù)值情況下,光斑會產(chǎn)生不同方向光束分裂現(xiàn)象,從而使得光斑偏離高斯型分布,產(chǎn)生異形光斑。階數(shù)一定,增大波長可以改善波前畸變,光束減少分裂,光束匯聚性加強并改善奇異光斑趨勢,如本文用11 階Zernike 鏡片補償波前像差。因此,在實際過程中,針對特定的光學(xué)系統(tǒng),在有不同畸變程度的結(jié)構(gòu)中添加可以相互抵消的畸變因子,可以有效降低光斑的畸變效果。也可以選擇與光波波長相匹配的通光口徑,盡量降低光束波長的影響。以上結(jié)論對于在光學(xué)儀器中有效降低高斯光束的衍射畸變現(xiàn)象提供了理論參考。