王梓齊，樊 凱，張軍劍，馮志華

（1.中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué) 精密機(jī)械與精密儀器系，安徽 合肥 230026；2.中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué) 精密科學(xué)儀器安徽普通高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，安徽 合肥 230026）

引言

同步輻射光因其高亮度、低發(fā)射度等優(yōu)異特性被廣泛應(yīng)用于原子分子物理、化學(xué)、生命科學(xué)等基礎(chǔ)學(xué)科研究以及微電子、醫(yī)藥、化工等應(yīng)用技術(shù)研究中，已經(jīng)成為當(dāng)今眾多前沿科學(xué)和高新技術(shù)開發(fā)中不可替代的最佳光源[1]。為使這一優(yōu)質(zhì)光源性能得到充分應(yīng)用，在束線光學(xué)中必須具備與此相適應(yīng)的聚焦和成像元件，以保證光學(xué)傳輸過(guò)程中入射束線發(fā)射度不拓展，通量不降級(jí)[2]。在過(guò)去的20 多年，第3 代同步輻射裝置的建設(shè)推動(dòng)了納米聚焦光學(xué)元件的飛速發(fā)展，如光柵[3]、復(fù)合折射率透鏡[4]和菲涅爾波帶片[5]等，但是具有能動(dòng)可調(diào)性的光學(xué)元件仍處于探索和研究階段。第4 代同步輻射光源的建設(shè)對(duì)能夠達(dá)到衍射極限的光學(xué)聚焦元件的需求逐漸凸顯，變形鏡是同步輻射中對(duì)光束線進(jìn)行聚焦的重要光學(xué)器件，其面形精度直接影響著光束線的性能。

變形鏡按變形原理不同可細(xì)分為壓彎變形鏡(bendable mirror)和壓電變形鏡（piezoelectric bimorph mirror,PBM）。壓彎鏡通過(guò)在長(zhǎng)鏡端部施加力矩，使鏡面變形，鏡面形貌可以通過(guò)設(shè)計(jì)力矩施加的方式和大小、機(jī)械約束形式、鏡面形狀和厚度分布等方法調(diào)控[6-7]。相較而言，壓彎變形鏡的發(fā)展較為成熟，已在3 代光源中大量應(yīng)用。PBM 技術(shù)的研發(fā)則相對(duì)滯后，目前國(guó)際上僅有少數(shù)幾個(gè)同步輻射光源機(jī)構(gòu)開展了相關(guān)技術(shù)的前期研究。相對(duì)壓彎變形鏡，PBM 對(duì)機(jī)械加工要求較低，面形控制自由度高，又因壓電材料固有的機(jī)電耦合屬性，其具有更加靈活的控制特性和很大的發(fā)展前景[8-9]，近年來(lái)受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。

自1994年第一個(gè)單電極PBM[10]提出以來(lái)，研究人員不斷通過(guò)增加電極分區(qū)數(shù)量來(lái)提升控制自由度，獲得更加理想的面形結(jié)果。2015年，英國(guó)Diamond 同步輻射光源Alcock S G 等人[11]在600 mm基底上設(shè)計(jì)了16 對(duì)電極的結(jié)構(gòu)，通過(guò)建立壓電響應(yīng)方程，采用逆矩陣方法求解控制電壓，成功將PBM 的面形誤差RMS 由2 μrad 減小到0.5 μrad。2013年，日本同步輻射裝置Spring-8 的Nakamori H 等人[12]研制了一個(gè)用于實(shí)現(xiàn)衍射極限聚焦的PBM，該P(yáng)BM 的主要特點(diǎn)之一是電極排列密度高，在100 mm 的基底上設(shè)計(jì)了18 對(duì)分區(qū)電極。這種設(shè)計(jì)大大提高了面形控制自由度和自適應(yīng)校正精度，使衍射極限聚焦成為可能。經(jīng)過(guò)測(cè)試，在Spring-8 光束線BL29-XUL 中通過(guò)粗調(diào)與精調(diào)相結(jié)合的在線控制方法調(diào)節(jié)電壓配置，獲得了達(dá)到衍射極限120 nm 光斑，展現(xiàn)了多電極PBM 的應(yīng)用價(jià)值。2020年，上海應(yīng)用物理研究所田納璽等人[13]采用類似設(shè)計(jì)思路，通過(guò)迭代全局優(yōu)化算法，成功將初始43.4 μm 焦斑尺寸經(jīng)相位補(bǔ)償后壓縮到12.9 μm，為上海同步輻射光源的快速相位補(bǔ)償提供了可能。

電極數(shù)量的增加可以增加控制自由度，改善因加工或裝配造成的鏡面空間低頻誤差，使PBM 面形精細(xì)控制成為可能[8-9,14]。但與此同時(shí)，這種多電極的設(shè)計(jì)也面臨著控制困難，包括反演后相鄰電極間壓差超過(guò)安全極限的問(wèn)題[3,15]。由于壓電致動(dòng)單元排列密集，各個(gè)致動(dòng)單元之間的變形貢獻(xiàn)高度耦合，面對(duì)一個(gè)目標(biāo)面形，如何理清各個(gè)致動(dòng)單元的變形貢獻(xiàn)，如何施加合理的控制電壓成為亟待解決的工程問(wèn)題。

1 壓電變形鏡構(gòu)成與工作原理

本文的結(jié)構(gòu)參考了Spring-8 的設(shè)計(jì)思路[16]，并通過(guò)進(jìn)一步提升電極數(shù)來(lái)獲得更加精細(xì)的面形控制效果，PBM 結(jié)構(gòu)如圖1所示。PBM 由單晶硅基底和鋯鈦酸鉛壓電陶瓷（PZT-5H）組成。其中，單晶硅基底尺寸為200 mm×50 mm×15 mm，單片PZT 尺寸為200 mm×17.5 mm× 1 mm。在頂部的2 片PZT 上表面分區(qū)鍍36 個(gè)電極，單電極尺寸為17.5 mm×5 mm，相鄰兩電極分區(qū)間隔0.55 mm；底部的2 片PZT 不分區(qū)，與頂部對(duì)稱分布，以減小溫度等共模因素對(duì)鏡面穩(wěn)定性的影響。

圖1 PBM 有限元模型Fig.1 Finite element model of PBM

令PZT 與鏡面相接觸的電極板接地，當(dāng)上表面電極通電后，根據(jù)逆壓電效應(yīng)，壓電材料橫向的收縮將帶動(dòng)基底產(chǎn)生形變。一般地，上表面寬度方向?qū)ΨQ的2 個(gè)電極電氣相連，視作一組，輸入相同的控制電壓。通過(guò)精細(xì)調(diào)節(jié)各組電極施加的電壓，可以控制PBM 的鏡面形貌。同步輻射光經(jīng)上表面中間的鏡面區(qū)反射后在測(cè)試樣品的目標(biāo)點(diǎn)處匯聚為光斑，如圖2所示。

圖2 PBM 聚焦示意圖Fig.2 Schematic diagram of PBM convergence

2 壓電變形鏡的數(shù)學(xué)描述與控制目標(biāo)

2.1 PBM 數(shù)學(xué)模型的建立

為了定量描述鏡面面形與各極板間施加電壓的數(shù)學(xué)關(guān)系，需要構(gòu)建輸入（控制電壓）與輸出（鏡面中心位置各點(diǎn)斜率）的數(shù)學(xué)模型。一般地，將變形鏡的小變形與施加電壓的關(guān)系視為線性[17-18]，具體可分為2 個(gè)方面：1）針對(duì)單組電極，施加電壓大小與鏡面中線各點(diǎn)斜率大小呈線性關(guān)系；2）多組電極共同施加電壓的變形效果等價(jià)于單組電極分別施加電壓變形效果的線性疊加。據(jù)此，構(gòu)造以下數(shù)學(xué)關(guān)系：

簡(jiǎn)化為

在有限元仿真軟件COMSOL Multiphisics 中各組極板依次施加1 kV 電壓，通過(guò)采集鏡面中線的位移變化，可以繪制36 條壓電響應(yīng)方程（piezo response function,PRF），如圖3所示。通過(guò)將各條PRF 離散化采樣后求采樣點(diǎn)處斜率，可以獲得變換矩陣H對(duì)應(yīng)列的數(shù)據(jù)。本文共選擇采樣點(diǎn)數(shù)m=196。

圖3 PBM 壓電響應(yīng)方程（PRF）圖像Fig.3 Schematic of PBM piezoelectric response equations

2.2 PBM 的反演目標(biāo)及約束條件

從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)射出的所有光線，經(jīng)橢圓面反射后經(jīng)相同的光程同時(shí)匯聚到橢圓的另一焦點(diǎn)處。得益于該幾何特性，在同步輻射中常選取橢圓作為理想面形。Sutter J P [19-20]等人指出，對(duì)于如圖4所示的橢圓面形，可以通過(guò)(3)式實(shí)現(xiàn)斜率關(guān)系重建。據(jù)此，獲得了橢圓面形的斜率Sellipse，本文選取的橢圓面形參數(shù)如表1所示。

圖4 橢圓的坐標(biāo)重建示意圖Fig.4 Schematic of ellipse coordinates reconstruction

表1 橢圓面形參數(shù)Table 1 Parameters selection of ellipse surface shape

在工程應(yīng)用中，鏡面面形會(huì)受到重力、裝配等因素的影響產(chǎn)生畸變[11]。圖5所示是仿真鏡面受重力后產(chǎn)生的豎直方向位移和斜率變化，將鏡面因重力造成的斜率變化記作Sgravity，該畸變需要被PBM 主動(dòng)變形抵消。由此得到反演目標(biāo)表達(dá)式為

圖5 鏡面受重力后產(chǎn)生的豎直方向位移和斜率變化Fig.5 Displacement in vertical direction and slope changes of PBM under gravity

此外，控制目標(biāo)的確定通常還需要傳感器對(duì)當(dāng)前面形進(jìn)行測(cè)量，經(jīng)計(jì)算后主動(dòng)補(bǔ)償殘差。為使模型更加貼近工程實(shí)際，向反演目標(biāo)S0中引入噪聲項(xiàng)ζ并記作由MATLAB 中rand()函數(shù)隨機(jī)獲得，引入的噪聲小于真值的±1%。通過(guò)將該反演目標(biāo)離散化采樣，可以獲得反演斜率向量采樣位置與H矩陣的采樣點(diǎn)位置相同，即的尺寸為196×1。

反演后所得的電壓施加在電極時(shí)需滿足一定的約束條件[3,15]。一般認(rèn)為PZT 施加的電壓不應(yīng)超過(guò)2 kV/mm，否則易造成壓電陶瓷退極化，甚至擊穿介質(zhì)[21]。另外，相鄰分區(qū)極板間電壓差不應(yīng)過(guò)大，根據(jù)電極間距設(shè)計(jì)的壓差不同，一般認(rèn)為最大壓差不得超過(guò)500 V/mm，否則會(huì)增加極間擊穿風(fēng)險(xiǎn)，造成對(duì)PBM 的破壞不可逆。本文設(shè)計(jì)電極間隔0.55 mm，據(jù)此確定相鄰分區(qū)電壓差不應(yīng)超過(guò)275 V。

3 電壓反演算法及控制效果分析

探討通過(guò)最小二乘法和Tikhonov 正則化兩種方法反演出電壓配置向量的方法與結(jié)果。下面將說(shuō)明反演時(shí)采用最小二乘法的局限性，以及采用Tikhonov 正則化的現(xiàn)實(shí)意義和工程價(jià)值。

3.1 最小二乘法

最小二乘法（least square method,LSM）是常用的對(duì)目標(biāo)曲線進(jìn)行參數(shù)化擬合的數(shù)學(xué)方法，具有線性、無(wú)偏的特點(diǎn)[22]。該方法以獲得擬合量與目標(biāo)量之間殘差的平方和最小為目標(biāo)，不附加任何約束形式，是一種數(shù)學(xué)上最優(yōu)的參數(shù)化擬合手段。本文針對(duì)反演斜率向量的196 個(gè)采樣數(shù)據(jù)擬合電壓配置向量中36 個(gè)元素，使擬合結(jié)果具有最小的殘差平方和。LSM 的解析解表達(dá)式為

3.2 Tikhonov 正則化

Tikhonov 正則化是對(duì)不適定問(wèn)題（Ill-posed problem）進(jìn)行回歸分析時(shí)使用的一種正則化方法[23]。其本質(zhì)上是一種改良的LSM 估計(jì)法，通過(guò)放棄LSM的無(wú)偏性，以損失部分信息、降低精度為代價(jià)，獲得的回歸系數(shù)更符合實(shí)際，更可靠。Tikhonov 正則化對(duì)病態(tài)數(shù)據(jù)的擬合強(qiáng)于LSM，廣泛應(yīng)用于數(shù)據(jù)分析、機(jī)器學(xué)習(xí)、統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)等領(lǐng)域[24]。相關(guān)的懲罰項(xiàng)構(gòu)造泛函，即：

在LSM 的基礎(chǔ)上，添加一個(gè)與電壓波動(dòng)程度

式中：α為正則化參數(shù)；為電壓先驗(yàn)值。求解電壓的過(guò)程就是使泛函取得最小值的過(guò)程：

令：

推導(dǎo)得到電壓配置向量解析表達(dá)式為

式中I為單位陣。先驗(yàn)值是對(duì)目標(biāo)面形施加電壓的粗略估計(jì)，往往根據(jù)經(jīng)驗(yàn)估計(jì)或仿真得到，包含著對(duì)控制結(jié)果方向性和范圍性的預(yù)測(cè)。本文選取先驗(yàn)值為0.3 kV。

目前比較有代表性的正則化參數(shù)選取策略有：Morozov 偏差原理、廣義交叉檢驗(yàn)、L 曲線(Lcurve)等準(zhǔn)則，其中L 曲線準(zhǔn)則應(yīng)用最為廣泛[25]。該方法原理是，在平面上將一系列不同α值時(shí)的作為橫縱坐標(biāo)繪制成曲線，曲線呈L 形而得名。

圖6所示是本文對(duì)應(yīng)的L 曲線，各個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)分別代表面形控制誤差和控制電壓波動(dòng)。從圖6 可看出，隨著α的不斷增大，電壓波動(dòng)逐漸減小，但這是以犧牲面形控制精度為代價(jià)的。因此，α的選取應(yīng)綜合考量工程實(shí)際需求，需在曲線拐點(diǎn)附近選取，最終選取α值為1.25。

圖6 L 曲線繪制與正則化參數(shù)的選取Fig.6 L-curve and selection of regularization parameters

3.3 控制結(jié)果分析與討論

分別使用LSM 和Tikhonov 正則化兩種方法對(duì)控制電壓進(jìn)行求解，電壓反演結(jié)果如圖7所示。經(jīng)LSM 反演求解，相鄰極板間產(chǎn)生的最大壓差為1.019 kV，遠(yuǎn)大于工程中允許的安全壓差0.275 kV，極易擊穿電極。采用Tikhonov 正則化后，鄰近極板最大壓差減小為0.174 kV，符合工程實(shí)際要求成為可能。

圖7 電壓反演結(jié)果對(duì)比Fig.7 Comparison of voltage inversion results

電壓大幅波動(dòng)的原因是，隨著壓電致動(dòng)單元排列更加密集，單元間變形貢獻(xiàn)耦合程度急劇提升。以變換矩陣H條件數(shù)（condition number）衡量耦合程度，經(jīng)仿真發(fā)現(xiàn)，相同約束和尺寸的PBM，隨著PZT 分區(qū)數(shù)量的增加，矩陣H條件數(shù)快速增加，如表2所示。數(shù)學(xué)上稱這類條件數(shù)較大的矩陣為病態(tài)矩陣，這意味著變換矩陣H各列之間相關(guān)性增加，對(duì)病態(tài)矩陣反演問(wèn)題稱為不適定問(wèn)題。

表2 不同分區(qū)數(shù)量對(duì)變換矩陣H 條件數(shù)的影響Table 2 Influence of number of different partitions on condition number of transformation matrix H

因此，當(dāng)系統(tǒng)引入噪聲時(shí)，使用LSM 反演的控制結(jié)果對(duì)帶有噪聲的離散采樣點(diǎn)過(guò)擬合，逼近帶有噪聲的目標(biāo)面形，表現(xiàn)為相鄰電極間大多形成“相互掣肘”的控制電壓。采用Tikhonov 正則化通過(guò)增加與電壓波動(dòng)情況相關(guān)的懲罰項(xiàng)，能夠有效避免電壓過(guò)度波動(dòng)。從另一個(gè)角度來(lái)講，加入了正則化即相當(dāng)于接受了假設(shè)：面形是連續(xù)而平緩的，不會(huì)高頻波動(dòng)，放棄了電壓對(duì)噪聲部分的過(guò)擬合，因此系統(tǒng)對(duì)噪聲具有魯棒性。

圖8所示為反演目標(biāo)斜率與采用LSM 和Tikhonov 正則化兩種方法所得控制結(jié)果殘差對(duì)比，表3 是兩種方法控制結(jié)果量化對(duì)比。由圖8 可知，兩種方法均能將面形誤差控制在一個(gè)較低的水平，但采用LSM 比Tikhonov 正則化斜率殘差波動(dòng)更大，表現(xiàn)出LSM 對(duì)于噪聲分量的過(guò)擬合問(wèn)題。對(duì)表3 數(shù)據(jù)分析可得，采用Tikhonov 正則化后，面形控制誤差相較LSM 降低了21.7%，電壓標(biāo)準(zhǔn)差降低了66.7%。Tikhonov 正則化反演結(jié)果解決了電壓異常波動(dòng)問(wèn)題，同時(shí)獲得了更加出色的面形控制效果，比LSM 具有更加優(yōu)越的現(xiàn)實(shí)應(yīng)用價(jià)值。

圖8 反演目標(biāo)斜率及兩種方法控制結(jié)果殘差對(duì)比Fig.8 Inversion target slope and comparison of control residual between LSM and Tikhonov regularization

表3 兩種方法反演結(jié)果比較Table 3 Comparison of inversion results of two methods

4 結(jié)論

通過(guò)有限元仿真分析，構(gòu)建了36 組電極分區(qū)的PBM 數(shù)學(xué)模型。為了獲得橢圓目標(biāo)面形，同時(shí)結(jié)合工程實(shí)際，考慮了重力引起的面形畸變和傳感器引入的測(cè)試噪聲，對(duì)致動(dòng)單元控制電壓進(jìn)行反演。研究發(fā)現(xiàn)，因致動(dòng)單元排列密集，各致動(dòng)單元之間的變形貢獻(xiàn)高度耦合，變換矩陣H條件數(shù)較大，矩陣呈病態(tài)。采用LSM 方法反演后，相鄰電極間壓差最大可達(dá)1.019 kV，遠(yuǎn)超安全極限，表現(xiàn)出對(duì)噪聲分量的過(guò)擬合問(wèn)題；采用Tikhonov 正則化反演后，控制電壓波動(dòng)放緩，電壓標(biāo)準(zhǔn)差減小了66.7%，面形控制誤差降低了21.7%。所得結(jié)論為國(guó)家同步輻射實(shí)驗(yàn)室PBM 閉環(huán)控制策略提供了理論指導(dǎo)。