聶曉波，李海濱

(1.內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，呼和浩特 010051；2.內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，呼和浩特 010051;3.內(nèi)蒙古自治區(qū)先進(jìn)制造技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，呼和浩特 010051)

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，人們逐漸認(rèn)識(shí)到結(jié)構(gòu)工程中不僅存在隨機(jī)不確定性[1]，還存在模糊不確定性[2]。對(duì)于隨機(jī)不確定性問題，常?？梢杂酶怕驶蚍歉怕士煽啃訹3]分析方法處理。概率可靠性分析模型的建立往往需要大量的信息來確定概率分布。非概率可靠性分析方法只需要知道不確定變量的變化邊界，就能有效地計(jì)算可靠度。對(duì)于模糊可靠性問題，樣本數(shù)據(jù)往往較少。由于難以直接求解，模糊可靠性問題可以轉(zhuǎn)化為非概率可靠性問題。

在結(jié)構(gòu)的非概率可靠性分析方法中, 建立在凸集模型基礎(chǔ)上的結(jié)構(gòu)非概率可靠性的模型,包括超立方盒模型和超橢球模型。超立方盒模型也是區(qū)間模型，它是由變量上下邊界進(jìn)行描述的，形成一個(gè)不確定域是多維的立方盒子。超橢球模型是通過橢球體的尺寸和形狀來描述變量的不確定域。文獻(xiàn)顯示，基于區(qū)間模型的非概率可靠性比基于橢球凸模型的非概率可靠性更為保守，橢球模型得到的可靠性指標(biāo)更接近于實(shí)際,更加合理[4-5]。Jiang等[6]提出了建立不確定性多維橢球體的有效方法，并且建立了非概率凸模型的相關(guān)分析技術(shù)。Bai等[7]提出了基于非概率可靠性分析的響應(yīng)面法，用于不確定性結(jié)構(gòu)的凸模型，并高效地構(gòu)造了多維橢球體來表征不確定性參數(shù)。Liu等[8]提出了一種基于混合不確定性模型的可靠性分析新方法，并用橢球凸模型來量化不確定性。Zhang等[9]對(duì)基于凸模型的基本變量進(jìn)行了矩?zé)o關(guān)的全局靈敏度分析，建立了求解全局靈敏度指標(biāo)的主動(dòng)學(xué)習(xí)克里金法。Luo等[10]利用基于多橢球凸模型的非概率可靠性量化測(cè)度，研究了參數(shù)不確定但有界的連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問題。Qiao等[11]研究了橢球凸模型約束下參數(shù)不確定結(jié)構(gòu)的非概率可靠性問題，提出了一種非概率可靠性模型，以安全區(qū)體積與基本變量區(qū)總體積之比作為結(jié)構(gòu)可靠度的度量，證明了所提出的非概率可靠度模型與概率可靠度模型的相容性。Kang等[12]系統(tǒng)研究了一組給定樣本數(shù)據(jù)構(gòu)造最小體積橢球凸模型的數(shù)學(xué)公式，并展示了它在現(xiàn)有的有界不確定結(jié)構(gòu)非概率可靠性分析和設(shè)計(jì)優(yōu)化方法中的應(yīng)用。

針對(duì)結(jié)構(gòu)模糊可靠性問題，提出了一種基于模糊分解定理的超橢球凸模型響應(yīng)面法，適用于隱式結(jié)構(gòu)功能函數(shù)的模糊可靠性求解問題。利用模糊分解理論，將模糊變量轉(zhuǎn)化為不同置信水平下的區(qū)間變量，通過區(qū)間變量來建立超橢球凸集模型，再利用響應(yīng)面法來求解結(jié)構(gòu)的模糊可靠度。

1 模糊變量標(biāo)準(zhǔn)化

1.1 可能性理論

πX=R(X)

(1)

則有

(2)

1.2 模糊變量的轉(zhuǎn)換

(3)

因?yàn)榭赡苄苑植伎梢钥醋魇悄：蛹?，在?shù)值上可能性分布與隸屬函數(shù)是相等，故令

(4)

式(4)中：xc為區(qū)間變量的均值；xr為區(qū)間變量的半徑。

則模糊變量分解成一系列水平截集下的區(qū)間變量，并標(biāo)準(zhǔn)變換為

(5)

2 超橢球凸模型

i=1,2,…,n

(6)

分別為區(qū)間變量1和區(qū)間變量分別為區(qū)間變量1的均值和半徑；分別為區(qū)間變量2的均值和半徑；θ為橢圓與其正常狀態(tài)的旋轉(zhuǎn)角度

2.1 多維橢球參數(shù)不確定度

則協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)可分別表示為[12]

(7)

(8)

式中：-1≤ρx1x2≤1可用于表示兩個(gè)不確定參數(shù)的線性相關(guān)程度，無量綱。

創(chuàng)建特征矩陣和協(xié)方差矩陣，獲得多維橢球參數(shù)不確定度為[6]

(x-xc)TGi(x-xc)

(x-xc)=UTρ-1U

(9)

式中：Ci為第i個(gè)超橢球集合的協(xié)方差矩陣；xc為均值；ρUnUn為Un的相關(guān)系數(shù)。

2.2 非概率可靠度性指標(biāo)

對(duì)特征矩陣Gi分別進(jìn)行特征值分解

(10)

式(10)中：Qi為由特征向量組成的正交矩陣；Λi為由特征值組成的對(duì)角矩陣；I為單位矩陣。

(11)

式(11)中:q為標(biāo)準(zhǔn)空間下的標(biāo)準(zhǔn)化向量。

經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化變換后，橢球模型轉(zhuǎn)換成為標(biāo)準(zhǔn)空間(或q空間)下的單位球體(半徑為1)集合Ec，稱qi為第i組區(qū)間向量對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)化向量。此時(shí)，極限狀態(tài)曲線g(q)=0將標(biāo)準(zhǔn)空間劃分成安全域g(q)>0和失效域g(q)<0，圖2為單橢球模型的非概率可靠性度量，曲線為極限狀態(tài)曲線，記η為極限狀態(tài)曲線到原點(diǎn)的最短距離，當(dāng)η>1，此時(shí)結(jié)構(gòu)可靠；當(dāng)η<1，此時(shí)結(jié)構(gòu)失效；當(dāng)η=1，結(jié)構(gòu)處于臨界失效狀態(tài)。

q1、q2為第1，2組區(qū)間向量對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)化向量；r為單位超球體半徑

橢球模型經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化變化為一個(gè)半徑為1的單位超球體，利用Euclidean范數(shù)來定義空間內(nèi)的長(zhǎng)度，則原點(diǎn)到極限狀態(tài)曲面的最小距離可表示為

(12)

故超橢球模型下的非概率可靠度指標(biāo)定義為

(13)

該可靠度指標(biāo)具有與概率可靠度指標(biāo)完全相同的表達(dá)形式。

3 非概率可靠度指標(biāo)的求解

結(jié)構(gòu)的非概率可靠性分析與計(jì)算的方法主要有轉(zhuǎn)化法、定義法、優(yōu)化法、截?cái)喾?、組合法及響應(yīng)面法[14]。工程中常用轉(zhuǎn)化法、定義法和優(yōu)化法。其中轉(zhuǎn)化法和定義法是準(zhǔn)確解的求法，而優(yōu)化法則是近似解的求法?；诔瑱E球凸集模型的結(jié)構(gòu)非概率可靠性分析方法主要有最小體積法[15-16]和響應(yīng)面法等，最小體積法只適用于簡(jiǎn)單、低維、少樣本的問題，而響應(yīng)面法式針對(duì)隱式極限狀態(tài)面情況，采用響應(yīng)面法求解結(jié)構(gòu)的非概率可靠度。

3.1 響應(yīng)面法

響應(yīng)面法(response surface methodology,RSM)是試驗(yàn)設(shè)計(jì)中的一種基本方法，采用響應(yīng)面函數(shù)代替隱式功能函數(shù)的思想，實(shí)現(xiàn)隱式極限狀態(tài)的結(jié)構(gòu)可靠性的求解。

通常采用二次多元多項(xiàng)式擬合功能函數(shù)，設(shè)隨機(jī)變量為x，則響應(yīng)面函數(shù)為

=a0+aTx+xTBx

(14)

式(14)中:a0、ai和bij為待定系數(shù)，a=(a1,a2,…,an)Τ，B=[bij]=BΤ。

忽略交叉乘積項(xiàng)，得到非完全二次多項(xiàng)式為響應(yīng)面函數(shù)，即

(15)

式(15)中：共有2n+1個(gè)待定系數(shù)，分別為a0、ai、bi。

對(duì)于待定系數(shù)的確定，需要通過試驗(yàn)設(shè)計(jì)確定試驗(yàn)點(diǎn)，并通過結(jié)構(gòu)有限元等數(shù)值分析方法計(jì)算得到樣本點(diǎn)的結(jié)構(gòu)功能函數(shù)值的估計(jì)值。實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法有隨機(jī)試驗(yàn)及因子設(shè)計(jì)等，因子設(shè)計(jì)包括二水平全因子設(shè)計(jì)、部分因子設(shè)計(jì)、中心復(fù)合設(shè)計(jì)及Box-Behnken設(shè)計(jì)等。采用中心復(fù)合設(shè)計(jì)生成試驗(yàn)點(diǎn)，并計(jì)算結(jié)構(gòu)功能函數(shù)值。試驗(yàn)點(diǎn)的選取需要盡可能地靠近真實(shí)失效面，才能保證響應(yīng)面很好地?cái)M合失效面，可以通過多次迭代找到最靠近真實(shí)失效面的試驗(yàn)點(diǎn)，最終求得可靠指標(biāo)。具體步驟如下。

步驟1通常取平均值點(diǎn)作為初始迭代點(diǎn)x=μx。

步驟2同時(shí)利用中心復(fù)合設(shè)計(jì)展開點(diǎn)x，生成試驗(yàn)點(diǎn)。

步驟4求解線性方程組[式(16)]，確定響應(yīng)面函數(shù)的待定系數(shù)，從而得到響應(yīng)面函數(shù)。

(16)

步驟5采用一次二階矩法計(jì)算結(jié)構(gòu)可靠度指標(biāo)η及設(shè)計(jì)點(diǎn)x*。

(17)

式(17)中：x*為變量xi的設(shè)計(jì)點(diǎn)；μxi和σxi分別為變量xi均值和標(biāo)準(zhǔn)差。

步驟6通過線性插值獲得新的展開點(diǎn)，可表示為

(18)

式(18)中：μx為變量的均值。

3.2 計(jì)算流程

流程圖如圖3所示，模糊超橢球響應(yīng)面法的計(jì)算流程為：首先，通過在置信水平[0，1]內(nèi)遍歷隸屬度值確定結(jié)構(gòu)可靠度的可能性分布函數(shù)，將模糊變量轉(zhuǎn)化成置信水平[0，1]下的區(qū)間變量；其次，建立超橢球凸集模型，同時(shí)將超橢球轉(zhuǎn)換為單位超球體，得到非概率可靠度指標(biāo)：表示為從原點(diǎn)到極限狀態(tài)曲面的最短距離；最后，利用響應(yīng)面法求解結(jié)構(gòu)非概率可靠度時(shí)，采用中心復(fù)合設(shè)計(jì)生成試驗(yàn)點(diǎn)，通過多次迭代找到原點(diǎn)到極限狀態(tài)曲面的最短距離點(diǎn)，并求得可靠度指標(biāo)，得到遍歷置信水平的結(jié)構(gòu)模糊可靠度。

圖3 求解可靠度流程圖

4 算例

利用所提方法[即模糊超橢球響應(yīng)面法(RSM)]對(duì)各算例的結(jié)構(gòu)模糊可靠度進(jìn)行計(jì)算，同時(shí)將模糊分解定理與一次二階矩法相結(jié)合(HL-RF)，模糊分解定理與蒙特卡洛法相結(jié)合[簡(jiǎn)稱模糊蒙特卡洛法(MCS)]計(jì)算各算例的結(jié)構(gòu)模糊可靠度。并以模糊蒙特卡洛法的計(jì)算結(jié)果作為理論值，以做對(duì)比。

4.1 壓力容器算例

圖4 三角形隸屬函數(shù)

(19)

求應(yīng)力時(shí)，首先根據(jù)彈性力學(xué)的方法，求得對(duì)稱厚壁球形容器在彈性變形范圍內(nèi)的應(yīng)力分量，然后求得它的最大等效應(yīng)力均值，可表示為

(20)

(21)

利用本文方法、一次二階矩法及蒙特卡洛法計(jì)算得到不同截集下的模糊可靠度值，如表1所示。同時(shí)繪制結(jié)構(gòu)的隸屬度函數(shù)圖，如圖5所示。

表1 不同水平截集下的可靠度值

從圖5可以看出，當(dāng)λ取不同的值時(shí)，采用本文方法將模糊變量轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的區(qū)間變量，取區(qū)間變量的半徑和中心為均方差和均值，計(jì)算得到不同的可靠度值。與模糊蒙特卡洛法比較，本文方法求得的可靠度值絕對(duì)誤差及相對(duì)誤差都很小，說明模糊橢球凸集響應(yīng)面法計(jì)算含模糊變量的結(jié)構(gòu)可靠度問題的正確性。與模糊一次二階矩法比較，本文方法求得的可靠度值與一次二階矩法計(jì)算得到的可靠度值基本相同，說明響應(yīng)面法擬合結(jié)構(gòu)功能函數(shù)的準(zhǔn)確性。所提出的模糊超橢球響應(yīng)面法適用于隱式功能函數(shù)的情況，為了方便與其他方法的對(duì)比，本算例功能函數(shù)為顯性，而采用響應(yīng)面法計(jì)算可靠度時(shí)以二次多元多項(xiàng)式近似結(jié)構(gòu)功能函數(shù)，擬合失效面，從而計(jì)算得到的可靠度值。而模糊一次二階矩法及模糊蒙特卡洛法均以真實(shí)結(jié)構(gòu)功能函數(shù)為基礎(chǔ)計(jì)算得到的可靠度值。

圖5 可靠度隸屬函數(shù)圖

4.2 簡(jiǎn)支梁算例

圖6 受均布載荷的簡(jiǎn)支梁

圖7 三角形隸屬函數(shù)

圖8 三角形隸屬函數(shù)

解：該簡(jiǎn)支梁的結(jié)構(gòu)功能函數(shù)為

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

qc=213-3λ

(27)

qr=9-9λ

(28)

Rc=550-10λ

(29)

Rr=30-30λ

(30)

得到其均值及方差，并構(gòu)造超橢球凸集模型為

(31)

式(31)中：ρrr、ρrq、ρqr、ρqq為變量r、q的相關(guān)系數(shù)；C為協(xié)方差矩陣。

采用響應(yīng)面法計(jì)算得到不同水平截集下的模糊可靠度，同時(shí)采用模糊一次二階矩法及模糊蒙特卡洛法求得模糊可靠度以作對(duì)比，將計(jì)算結(jié)果列于表2，并利用表2中的數(shù)據(jù)繪制出可靠度隸屬度函數(shù)，如圖9所示。

表2 不同水平截集下的可靠度值

圖9 可靠度隸屬函數(shù)圖

由表2和圖9可以看出，本例中，采用模糊超橢球響應(yīng)面法計(jì)算結(jié)構(gòu)模糊可靠度時(shí)，同樣以二次多項(xiàng)式近似結(jié)構(gòu)功能函數(shù)，擬合失效面，計(jì)算得到可靠度值。與模糊一次二階矩法及模糊蒙特卡洛法相比，計(jì)算結(jié)果基本相近，誤差較小，滿足工程需求。與模糊蒙特卡洛法相比，模糊超橢球響應(yīng)面法的計(jì)算量較小。

4.3 十桿桁架結(jié)構(gòu)算例

圖10 十桿桁架結(jié)構(gòu)示意圖

(32)

(33)

(34)

假設(shè)結(jié)構(gòu)其他參數(shù)，如彈性模量、材料密度、桿件長(zhǎng)度以及作用載荷均為確定性變量。載荷P=45 360 kg，桿件長(zhǎng)度L=914 cm，彈性模量E=6.895×107kPa，頂點(diǎn)2的許用位移值dallow=11.43 cm。求解結(jié)構(gòu)的模糊可靠度。

解：本算例為隱式結(jié)構(gòu)功能函數(shù)的情況，首先利用模糊分解理論，將模糊變量轉(zhuǎn)化為不同置信水平下的區(qū)間變量，并建立超橢球凸集模型，再利用響應(yīng)面法來求解凸集模型的可靠度指標(biāo)，得到結(jié)構(gòu)的模糊可靠度。

針對(duì)任一置信水平λ下的區(qū)間變量，利用中心復(fù)合設(shè)計(jì)生成試驗(yàn)點(diǎn)，并采用有限元分析程序估計(jì)結(jié)構(gòu)功能函數(shù)值，確定響應(yīng)面函數(shù)待定系數(shù)，擬合得到近似結(jié)構(gòu)功能函數(shù)。

如λ=0.5時(shí)，利用中心復(fù)合設(shè)計(jì)生成試驗(yàn)點(diǎn)A1、A2、A3，并采用有限元分析程序估計(jì)結(jié)構(gòu)功能函數(shù)值g值，如表3所示。

表3 λ=0.5時(shí)的試驗(yàn)點(diǎn)及結(jié)構(gòu)功能函數(shù)估計(jì)值

計(jì)算得到響應(yīng)面函數(shù)待定系數(shù)，擬合得到近似結(jié)構(gòu)功能函數(shù)

得到其最佳試驗(yàn)點(diǎn)為(10.758 7，1.603 9，7.442 7)。計(jì)算得到λ=0.5時(shí)的可靠度為0.878 471。

依次計(jì)算λ分別取0.1，0.2，0.3，0.4，0.6，0.7，0.8，0.9，1時(shí)的可靠度，結(jié)果表4所示，并繪制可靠度隸屬函數(shù)(圖11)。

表4 不同水平截集下的可靠度值

圖11 可靠度隸屬函數(shù)圖

因本算例為隱式結(jié)構(gòu)功能函數(shù)的情況，故只采用所提方法模糊超橢球響應(yīng)面法來計(jì)算結(jié)構(gòu)可靠度。由表4及圖11可知，在不同置信水平下，結(jié)構(gòu)的可靠度值不同。在每一個(gè)水平截集下，通過響應(yīng)面法擬合形成不同的相應(yīng)函數(shù)，最終求得不同的可靠度值。

5 結(jié)論

針對(duì)隱式結(jié)構(gòu)功能函數(shù)的模糊可靠性分析問題，提出了一種基于模糊分解定理的超橢球凸模型響應(yīng)面法。首先將結(jié)構(gòu)模糊可靠性分析問題等價(jià)地轉(zhuǎn)化為一系列非概率可靠性分析問題，將模糊變量轉(zhuǎn)換成區(qū)間變量；其次建立超橢球凸模型，將超橢球轉(zhuǎn)換成單位超球體，非概率可靠度指標(biāo)表示為從原點(diǎn)到極限狀態(tài)曲面的最短距離；最后根據(jù)非概率可靠度指標(biāo)與概率可靠度指標(biāo)形式相同的特點(diǎn)，采用響應(yīng)面法求解可靠度，得到遍歷水平截集的結(jié)構(gòu)模糊可靠度。得出如下結(jié)論。

(1)為了方便與其他方法的對(duì)比，在算例一和算例二中分別采用顯式功能函數(shù)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行模糊可靠性分析。采用模糊超橢球響應(yīng)面法計(jì)算可靠度時(shí)以二次多元多項(xiàng)式近似結(jié)構(gòu)功能函數(shù)，計(jì)算得到的可靠度值與以真實(shí)結(jié)構(gòu)功能函數(shù)為基礎(chǔ)的模糊一次二階矩法及模糊蒙特拉洛法計(jì)算得到的可靠度值相比，存在一定的誤差，但誤差較小，滿足工程要求，證明所提方法的有效性。

(2)在計(jì)算量方面，與模糊蒙特拉洛法相比，模糊超橢球響應(yīng)面法的計(jì)算量要小很多。在算例三中，采用隱式功能函數(shù)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行模糊可靠性分析，結(jié)果顯示所提方法適合隱式功能函數(shù)模糊可靠度的求解。所有算例結(jié)果表明，所提方法的有效性和準(zhǔn)確性，為隱式結(jié)構(gòu)功能函數(shù)的模糊可靠分析與計(jì)算提供了一種可行途經(jīng)。