占金青， 王云濤， 劉 敏， 朱本亮

(1.華東交通大學(xué) 機(jī)電與車輛工程學(xué)院，南昌 330013;2.華南理工大學(xué) 廣東省精密裝備與制造技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣州 510641)

柔順機(jī)構(gòu)是通過(guò)其柔性組件的變形來(lái)實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)、力傳遞或能量轉(zhuǎn)換的一種整體式機(jī)構(gòu)[1-2]。柔順機(jī)構(gòu)對(duì)裝配過(guò)程的需求降至最低，同時(shí)它能夠減少摩擦、磨損及潤(rùn)滑，具有高精度和高適應(yīng)性優(yōu)點(diǎn)。因此，柔順機(jī)構(gòu)在精密加工、微納操作及微機(jī)電系統(tǒng)等許多領(lǐng)域應(yīng)用廣泛[3-5]。

基于拓?fù)鋬?yōu)化方法設(shè)計(jì)的柔順機(jī)構(gòu)構(gòu)型的特征尺寸有時(shí)太小，難以加工制造，并且容易引起應(yīng)力集中現(xiàn)象，導(dǎo)致疲勞壽命降低。因此，考慮最小尺寸控制進(jìn)行柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)是非常有必要的。Guest等[6-7]采用Heaviside函數(shù)的映射方法進(jìn)行實(shí)相材料最小尺寸控制的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)；在此基礎(chǔ)上，提出了一種多相映射拓?fù)鋬?yōu)化方法，能夠?qū)崿F(xiàn)實(shí)相和空相兩相材料結(jié)構(gòu)最小尺寸控制。榮見(jiàn)華等[8]采用兩種不同的Heaviside映射分布過(guò)濾實(shí)相和空相設(shè)計(jì)變量，進(jìn)行考慮最小尺寸控制的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，獲得的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)清晰。Sigmund[9]引入基于圖形學(xué)中侵蝕和擴(kuò)張算子的映射方法，實(shí)現(xiàn)了結(jié)構(gòu)的實(shí)相和空相最小尺寸控制。Wang等[10]提出了一種基于侵蝕、中間和擴(kuò)張映射的拓?fù)鋬?yōu)化魯棒性列式，可以同時(shí)控制實(shí)相和空相的最小尺寸，但是每次迭代需要進(jìn)行多次有限元分析，導(dǎo)致計(jì)算成本增加。Zhou等[11]提出了一種基于幾何約束的最小尺寸控制拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法。

為了滿足機(jī)構(gòu)的靜強(qiáng)度要求，需要考慮應(yīng)力約束進(jìn)行柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。Saxena等[12]采用基結(jié)構(gòu)法進(jìn)行基于局部應(yīng)力約束的柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，計(jì)算成本高。Chu等[13]采用參數(shù)化水平集方法進(jìn)行多相材料柔順機(jī)構(gòu)應(yīng)力約束拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。Lopes等[14]采用拓?fù)鋵?dǎo)數(shù)方法進(jìn)行柔順機(jī)構(gòu)應(yīng)力約束拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。Leon等[15]考慮全局應(yīng)力約束進(jìn)行柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，以滿足機(jī)構(gòu)的靜強(qiáng)度要求。占金青等[16]采用P范數(shù)方法進(jìn)行柔順機(jī)構(gòu)應(yīng)力約束拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。Pereira等[17]研究了不同應(yīng)力極限約束值及靈敏度過(guò)濾半徑對(duì)柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果的影響規(guī)律。

目前，現(xiàn)有研究?jī)H僅單獨(dú)考慮制造約束或應(yīng)力約束進(jìn)行柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，沒(méi)有綜合考慮制造約束和應(yīng)力約束進(jìn)行柔順機(jī)構(gòu)混合約束拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。本文提出一種綜合考慮最小尺寸控制和應(yīng)力約束的柔順機(jī)構(gòu)混合約束拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法。采用改進(jìn)的固體各向同性材料插值模型描述材料分布，利用多相映射方法同時(shí)控制實(shí)相和空相材料結(jié)構(gòu)的最小尺寸，采用最大近似函數(shù)P范數(shù)求解機(jī)構(gòu)的最大應(yīng)力，以柔順機(jī)構(gòu)的輸出位移最大化作為優(yōu)化目標(biāo)，建立綜合考慮最小尺寸控制和應(yīng)力約束的柔順機(jī)構(gòu)混合約束拓?fù)鋬?yōu)化模型，利用移動(dòng)漸近優(yōu)化算法進(jìn)行混合約束拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題求解，通過(guò)數(shù)值算例對(duì)本文提出的方法的有效性進(jìn)行驗(yàn)證。

1 柔順機(jī)構(gòu)混合約束拓?fù)鋬?yōu)化模型

1.1 材料插值模型

對(duì)于柔順機(jī)構(gòu)混合約束拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題，采用改進(jìn)的SIMP(solid isotropic material with penalization)材料插值模型[18]描述結(jié)構(gòu)的材料分布，其表示為

(1)

式中：Ee為單元e的材料彈性模量；φi為單元設(shè)計(jì)變量；k為懲罰系數(shù)，取值為3；E0和Emin分別為實(shí)體材料和空洞材料的彈性模量；φmax和φmin分別為設(shè)計(jì)變量的最大值和最小值。

1.2 最小尺寸控制

多相映射方法[19]采用Heaviside函數(shù)將設(shè)計(jì)變量場(chǎng)映射到物理變量場(chǎng)，無(wú)需添加額外的約束條件，能夠?qū)崿F(xiàn)實(shí)相和空相材料結(jié)構(gòu)的最小特征尺寸控制；因此采用多相映射方法進(jìn)行柔順機(jī)構(gòu)構(gòu)型的最小制造尺寸控制。

圖1 多相映射示意圖Fig.1 Schematic of multiple phase projection

(2)

式中，xi為單元i的中心坐標(biāo)。

(3)

式中：ωp為雙曲線正切的非線性函數(shù)；ω為常數(shù)權(quán)重函數(shù)，表示為

(4)

對(duì)于實(shí)相和空相材料，非線性函數(shù)ωp分別取為

(5)

(6)

式中，αs和αv為可調(diào)參數(shù)，分別取為2×10-3和5×

10-4。

定義φrange=φmax-φmin，用來(lái)計(jì)算np

(7)

圖2 非線性函數(shù)ωp曲線圖Fig.2 The nonlinear weighting function ωp

(8)

式中，β為控制近似程度的參數(shù)，當(dāng)β=0時(shí)，映射函數(shù)相當(dāng)于線性映射，當(dāng)β趨近于∞時(shí)，映射函數(shù)趨近于Heaviside階躍函數(shù)。

(9)

1.3 應(yīng)力約束

結(jié)構(gòu)有限元分析中，任一單元e的應(yīng)力可表示為

σe=DBue=[σ11,σ22,σ12]T

(10)

式中：σe為單元的應(yīng)力列陣；D為材料的彈性矩陣；B為應(yīng)變位移矩陣；ue為單元節(jié)點(diǎn)位移列陣；σ11和σ22分別為單元x和y方向的主應(yīng)力；σ12為單元的剪切應(yīng)力。

為了避免應(yīng)力約束引起的奇異解問(wèn)題，采用應(yīng)力松弛方法[22]進(jìn)行單元應(yīng)力懲罰，因此，任一單元e的von Mises等效應(yīng)力表示為

(11)

式中：q為松弛系數(shù)，取值為0.5；σvM為未松弛的e單元的von Mises等效應(yīng)力；V為輔助矩陣，其表示為

(12)

將機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)區(qū)域離散成有限個(gè)單元，每個(gè)單元對(duì)應(yīng)一個(gè)局部應(yīng)力約束，引起總的約束數(shù)太大，使靈敏度分析計(jì)算量巨大。為了提高計(jì)算效率，采用P范數(shù)方法[23]將所有單元的局部應(yīng)力約束進(jìn)行最大近似處理，轉(zhuǎn)變?yōu)槿值膽?yīng)力約束問(wèn)題。P范數(shù)應(yīng)力σPN可表示為

(13)

式中：P為P范數(shù)參數(shù)；ve為單元體積。

當(dāng)P的值趨近于∞，P范數(shù)應(yīng)力值趨近最大的應(yīng)力值，但是，P的取值過(guò)大，容易引起非線性程度越明顯，甚至導(dǎo)致優(yōu)化迭代求解困難。然而，P取值過(guò)小，引起P范數(shù)應(yīng)力與最大應(yīng)力在數(shù)值上的差異較大。因此，為了減少兩者在數(shù)值上的差異，采用自適應(yīng)約束縮放方法[24]修正P范數(shù)應(yīng)力

σmax≈γσPN

(14)

式中，γ為自適應(yīng)約束縮放系數(shù)。

當(dāng)?shù)綌?shù)n≥1，γn可表示為

(15)

式中：ζn為控制參數(shù)，取值為ζn=0.5；γ0=1。

1.4 拓?fù)鋬?yōu)化模型

采用多相映射方法進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化實(shí)體和空相材料結(jié)構(gòu)的最小尺寸控制；將柔順機(jī)構(gòu)輸出端的位移最大化作為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，以滿足機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)需求；以機(jī)構(gòu)的應(yīng)力作為約束，以滿足靜強(qiáng)度指標(biāo)；綜合考慮最小尺寸控制和應(yīng)力約束，建立柔順機(jī)構(gòu)混合約束拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型為

(16)

2 靈敏度分析及優(yōu)化算法

采由式(16)，機(jī)構(gòu)的輸出位移對(duì)設(shè)計(jì)變量的靈敏度可求得為

(17)

(18)

由式(9)對(duì)設(shè)計(jì)變量求導(dǎo)，式(18)中的?ρe/?φi項(xiàng)可求得為

(19)

(20)

(21)

式(21)右端的?ωp/?φi項(xiàng)可由式(5)和式(6)分別對(duì)設(shè)計(jì)變量求導(dǎo)得到

(22)

(23)

由式(16)，體積約束的靈敏度可求得

(24)

由式(14)，最大應(yīng)力σmax對(duì)設(shè)計(jì)變量的靈敏度可求得

(25)

對(duì)式(25)等號(hào)右邊的各項(xiàng)進(jìn)行求解，則有

(26)

(27)

由式(11)和式(12)，式(27)右邊的?σvM/?σe項(xiàng)可求得為

(28)

單元應(yīng)力矢量σe對(duì)單元密度ρe的靈敏度可由式(10)求得

(29)

將式(28)和式(29)代入式(27)可得

(30)

令有

(31)

將式(26)、式(30)及式(31)代入式(25)中，可得最大應(yīng)力對(duì)設(shè)計(jì)變量的靈敏度為

(32)

令有伴隨矢量λ滿足

(33)

式中，Ke為單元的剛度矩陣。

由式(33)，式(32)改寫(xiě)為

(34)

移動(dòng)漸近線優(yōu)化算法[25](method of moving asymptotes，MMA)適用于復(fù)雜的多約束優(yōu)化問(wèn)題求解，具有較好的魯棒性。因此，采用MMA算法求解基于混合約束的柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題。

3 數(shù)值算例

本章通過(guò)反向器和咬合機(jī)構(gòu)兩個(gè)數(shù)值算例來(lái)驗(yàn)證本文提出的柔順機(jī)構(gòu)混合約束拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法的有效性。所有算例中，實(shí)體材料選用Al7075，材料的彈性模量E0為68.9 GPa，空洞材料的彈性模量Emin為10-4；屈服強(qiáng)度為275 MPa，泊松比為0.33。單元設(shè)計(jì)變量的初始值均取值為-0.3；控制參數(shù)β的初始值取為1，每間隔50迭代步增大1倍，最大值為16；P范數(shù)參數(shù)P取值為8。

3.1 反向器

圖3 柔性反向器設(shè)計(jì)域Fig.3 Design domain for compliant inverter mechanism

為了驗(yàn)證提出的方法有效性，在相同設(shè)計(jì)參數(shù)條件下，采用無(wú)最小尺寸控制、無(wú)應(yīng)力約束，有最小尺寸控制、無(wú)應(yīng)力約束，無(wú)最小尺寸控制、有應(yīng)力約束，有最小尺寸控制、有應(yīng)力約束四種拓?fù)鋬?yōu)化模型進(jìn)行柔性反向器設(shè)計(jì)，反向器的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果分別如圖4～圖7所示。

圖4 無(wú)最小尺寸控制、無(wú)應(yīng)力約束的反向器拓?fù)鋬?yōu)化Fig.4 Topological design of inverter mechanism without minimum length scale control and without stress constraints

無(wú)最小尺寸控制、無(wú)應(yīng)力約束拓?fù)鋬?yōu)化獲得的柔性反向器拓?fù)錁?gòu)型存在實(shí)相和空相細(xì)小尺寸特征，最大應(yīng)力值(480.123 MPa)出現(xiàn)在變形較大的單節(jié)點(diǎn)連接鉸鏈區(qū)域，結(jié)構(gòu)的應(yīng)力集中現(xiàn)象非常明顯。有最小尺寸控制、無(wú)應(yīng)力約束拓?fù)鋬?yōu)化獲得的反向器構(gòu)型的實(shí)相和空相材料結(jié)構(gòu)能夠滿足最小尺寸要求；最大的應(yīng)力值為425.598 MPa，表明添加最小尺寸控制可以在一定程度減少機(jī)構(gòu)的應(yīng)力水平，但是應(yīng)力集中現(xiàn)象仍然明顯。

圖5 有最小尺寸控制、無(wú)應(yīng)力約束的反向器拓?fù)鋬?yōu)化Fig.5 Topological design of inverter mechanism with minimum length scale control and without stress constraints

圖6 無(wú)最小尺寸控制、有應(yīng)力約束的反向器拓?fù)鋬?yōu)化Fig.6 Topological design of inverter mechanism without minimum length scale control and with stress constraints

與無(wú)最小尺寸控制、無(wú)應(yīng)力約束拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果相比，無(wú)最小尺寸控制、有應(yīng)力約束拓?fù)鋬?yōu)化獲得的反向器構(gòu)型的最小特征尺寸有所變大，但是實(shí)相和空相的最小特征尺寸仍然過(guò)小，不易加工制造。機(jī)構(gòu)的最大應(yīng)力值為274.995 MPa，小于材料的屈服極限值，因此能夠滿足機(jī)構(gòu)的靜強(qiáng)度要求，并且應(yīng)力分布更加均勻。

考慮最小尺寸控制和應(yīng)力約束的混合約束拓?fù)鋬?yōu)化獲得的反向器構(gòu)型的實(shí)相和空相材料結(jié)構(gòu)能夠滿足最小尺寸要求，有效地避免細(xì)小幾何特征的出現(xiàn)，有利于加工制造；結(jié)構(gòu)的應(yīng)力最大值為275.025 MPa，很好地滿足應(yīng)力約束，結(jié)構(gòu)應(yīng)力分布相對(duì)均勻，因此能夠同時(shí)滿足最小制造尺寸約束和靜強(qiáng)度要求。由表1可知，與其他的三種拓?fù)鋬?yōu)化模型優(yōu)化結(jié)果相比，混合約束拓?fù)鋬?yōu)化獲得的柔性反向器的輸出位移最小，由于最小尺寸控制和應(yīng)力約束的混合約束在一定程度上限制了輸出位移的最大化。反向器混合約束拓?fù)鋬?yōu)化迭代過(guò)程中，初始階段會(huì)出現(xiàn)應(yīng)力約束違反現(xiàn)象，造成一些波動(dòng)，總體迭代過(guò)程平穩(wěn)，如圖8所示。

表1 不同優(yōu)化模型的反向器拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果

圖7 有最小尺寸控制、有應(yīng)力約束的反向器拓?fù)鋬?yōu)化Fig.7 Topological design of inverter mechanism with minimum length scale control and with stress constraints

圖8 考慮混合約束的反向器拓?fù)鋬?yōu)化迭代過(guò)程Fig.8 Iteration history for topology optimization of inverter mechanism with hybrid constraints

3.2 柔性咬合機(jī)構(gòu)

圖9表示柔性咬合機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)域、固定邊界、輸入作用載荷以及輸出位移方向。設(shè)計(jì)域尺寸L×L為120 μm×120 μm，左上端和左下端為固定邊界，作用載荷F的大小為1.2×103μN(yùn)，施加在右上端和右下端，左端中點(diǎn)為輸出端。輸入端剛度系數(shù)Kin和輸出端剛度系數(shù)Kout分別為2.5×103N/m和1.5×102N/m，允許的體積份數(shù)f*=0.20。同樣，由于咬合機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)具有對(duì)稱性，取其一半進(jìn)行設(shè)計(jì)，將設(shè)計(jì)域離散成120×60個(gè)四節(jié)點(diǎn)單元。

圖9 咬合機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)域Fig.9 Design domain for crunching mechanism

圖10 無(wú)最小尺寸控制、無(wú)應(yīng)力約束的咬合機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化Fig.10 Topological design of crunching mechanism without minimum length scale control and without stress constraints

圖12 無(wú)最小尺寸控制、有應(yīng)力約束的咬合機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化Fig.12 Topological design of crunching mechanism without minimum length scale control and with stress constraints

圖13 有最小尺寸控制、有應(yīng)力約束的咬合機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化Fig.13 Topological design of crunching mechanism with minimum length scale control and with stress constraints

混合約束拓?fù)鋬?yōu)化獲得的咬合機(jī)構(gòu)構(gòu)型的實(shí)相和空相材料結(jié)構(gòu)能夠滿足最小尺寸要求，有利于加工制造；最大值的應(yīng)力為274.961 MPa，能夠很好地滿足應(yīng)力約束，結(jié)構(gòu)的應(yīng)力分布相對(duì)均勻，因此機(jī)構(gòu)構(gòu)型能夠同時(shí)滿足最小尺寸制造約束和靜強(qiáng)度要求。由表2可知，與其他的三種拓?fù)鋬?yōu)化模型優(yōu)化結(jié)果相比，混合約束拓?fù)鋬?yōu)化獲得的柔性咬合機(jī)構(gòu)的輸出位移最小，由于混合約束在一定程度上限制了輸出位移的最大化。咬合機(jī)構(gòu)混合約束拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)迭代過(guò)程中，同樣初始階段會(huì)出現(xiàn)應(yīng)力約束違反現(xiàn)象，造成一些波動(dòng)，總體迭代過(guò)程平穩(wěn)，如圖14所示。

表2 不同優(yōu)化模型的咬合機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果

圖14 考慮混合約束的咬合機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化迭代過(guò)程Fig.14 Iteration history for topology optimization of crunching mechanism with hybrid constraints

圖15 咬合機(jī)構(gòu)混合約束拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)Fig.15 Topological design of crunching mechanism with hybrid

圖16 咬合機(jī)構(gòu)混合約束拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)Fig.16 Topological design of crunching mechanism with hybrid

4 結(jié) 論

(1)采用多相映射方法控制實(shí)體相和空洞相材料結(jié)構(gòu)的最小尺寸，將P范數(shù)對(duì)所有單元局部應(yīng)力約束進(jìn)行最大近似處理，轉(zhuǎn)化為全局的應(yīng)力約束，實(shí)現(xiàn)了綜合考慮最小尺寸空和應(yīng)力約束的柔順機(jī)構(gòu)混合約束拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。

(2)比較無(wú)應(yīng)力約束條件下的有、無(wú)最小尺寸控制拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果，最小尺寸控制拓?fù)鋬?yōu)化獲得的柔順機(jī)構(gòu)構(gòu)型的實(shí)相和空相材料結(jié)構(gòu)能夠滿足最小尺寸要求，并且可以在一定程度減少機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)的應(yīng)力水平。

(3)比較無(wú)最小尺寸控制條件下的有、無(wú)應(yīng)力約束拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果，有應(yīng)力約束拓?fù)鋬?yōu)化獲得的柔順機(jī)構(gòu)構(gòu)型的最小特征尺寸有所變大，但最小尺寸仍然過(guò)小，不易加工制造；能夠滿足靜強(qiáng)度要求。

(4)與其他的三種拓?fù)鋬?yōu)化模型優(yōu)化結(jié)果相比，混合約束拓?fù)鋬?yōu)化獲得的柔順機(jī)構(gòu)能夠同時(shí)滿足最小尺寸制造約束和靜強(qiáng)度要求，機(jī)構(gòu)的von Mises等效應(yīng)力分布更加均勻，但是混合約束使柔順機(jī)構(gòu)的輸出位移有所減小。