林鳳濤，龐華飛,3，鄧卓鑫，吳濤，鄒亮，朱韶光

(1.華東交通大學 載運工具與裝備教育部重點實驗室，江西 南昌 330013；2.中國鐵道科學研究院集團有限公司 機車車輛研究所，北京 100081；3.廣東城際鐵路運營有限公司，廣東 廣州 510310)

目前，針對磨耗鋼軌，主要采用打磨技術對鋼軌磨耗傷損進行修復，打磨技術研究主要集中在以下2個方面，即目標廓形優(yōu)化設計和鋼軌打磨機理的研究。周清躍等[1]以60鋼軌為原形，設計了具有新軌頭廓形的60 N鋼軌。王文健等[2]根據現場調研情況設計了一種新的鋼軌打磨型面。XΙE等[3]提出了一種基于區(qū)間分割和三次NURBS精確面積積分法，能夠預測不同打磨模式下的鋼軌廓形。林鳳濤等[4-6]基于非均勻有理B樣條理論，建立了輪軌型面曲線的三次NURBS描述方法，得到經濟性鋼軌打磨廓形。MAO等[7]提出了一種基于最佳磨耗車輪廓形的逆向設計方法。WANG等[8]提出了降低設計周期內鋼軌總體磨耗情況的非對稱優(yōu)化方法。LΙN等[9]提供了一種用于評估鋼軌打磨質量的方法。CHOΙ等[10]提出了一種基于遺傳算法和動力學分析程序的非對稱鋼軌最優(yōu)廓形設計方法。以上研究分別從不同角度對鋼軌廓形進行設計和優(yōu)化，對提高輪軌的接觸關系和曲線通過性能有著明顯的改善，但是缺少考慮某些曲線鋼軌廓形曲率變化較快的特殊區(qū)段。由于這些區(qū)段沒有確切的多種打磨目標廓形，傳統(tǒng)方法大多依靠使用單一的目標廓形進行打磨操作，在入出緩和曲線和恒定半徑曲線區(qū)段采取的打磨模式一致，造成較大的打磨誤差和打磨成本。本文針對某重載鐵路曲線區(qū)鋼軌，設計曲線區(qū)鋼軌雙打磨廓形，能夠滿足一些特殊鐵路曲線不同區(qū)段的打磨需求，以達到減少鋼軌打磨成本，延長鋼軌使用壽命的目的。

1 鋼軌打磨型面廓形選取

1.1 重載鋼軌曲線打磨廓形分析

車輛在通過曲線段時，外軌磨耗大于內軌[10]，對我國大秦線貨車重載線路曲線區(qū)外軌進行廓形采集，磨耗廓形采集統(tǒng)計如圖1所示。

圖1 曲線外軌不同區(qū)段實測廓形Fig.1 Measured profile of curved outer rail in different sections

從圖1可以觀察到外軌恒定半徑曲線段磨耗大于緩和曲線段[12]。緩和曲線段磨耗范圍主要集中在[-25,30]區(qū)間范圍內，鋼軌內側存在較均勻的磨耗，中心線位置對應鋼軌垂磨深度Dtrans為4 mm，軌距角位置法向最大垂磨Dcons-cor為5 mm；恒定半徑曲線段，磨耗范圍主要集中在[-25,35]區(qū)間范圍內，中心線位置對應鋼軌垂磨深度Dcons達到6 mm，軌距角位置存在嚴重的磨耗，軌距角處廓形對應切線法向最大垂直磨耗深度Dcons-cor達到11 mm。

1.2 圓弧型鋼軌型面模型

國內外典型鋼軌廓形均由圓弧和直線組成，輪軌接觸區(qū)域主要分布在軌頭區(qū)域，因此采用n段圓弧對外軌軌頭橫坐標0～36 mm范圍內的圓弧進行優(yōu)化設計[13]。

如圖2建立鋼軌廓形坐標系，設圓弧段切點分別 為Q1(x1,y1),Q2(x2,y2),…,Qn(xn,yn),Qn+1(xn+1,yn+1)，半徑分別為R1,R2,…,Rn，對應圓心分別為O1(xr1,yr1),O2(xr2,yr2),…,On(xrn,yrn)，點Q1,Qn為 固定端點，Q1(x1,y1),Q2(x2,y2),…,Qn(xn,yn),Qn+1(xn+1,yn+1)的斜率分別為k1,k2,…,kn,kn+1。

圖2 圓弧型標準鋼軌廓形描述Fig.2 Description of circular arc standard rail profile

通過改變組成軌頭廓形總弧長Q1Qn+1的Q1Q2,Q2Q3,…,Qn Qn+1的弧長和半徑來表示設計廓形，每段圓弧的具體位置以及弧長表示均需要采用半徑、圓心、起始點位置等參變量才能確定，根據鋼軌設計標準，每段圓弧之間存在著相互內切的約束，可以通過一些方程表達式來確定兩圓弧之間的關系。

1)第1段圓弧Q1Q2確定

xr1=x1，yr1=y1-R1，k1=0，且Q1(x1,y1),Q2(x2,y2)在圓弧Q1Q2上：

由式(2)：

故圓弧Q1Q2的表達式為：

2)第2段圓弧Q2Q3確定

圓弧Q1Q2與Q2Q3相互內切，則O1,O2,O3共線，得Q2點斜率為：

聯(lián)立式(5)和式(6)得：

圓弧Q2Q3上有：

聯(lián)立式(8)，(9)和(10)得：

故圓弧Q2Q3的表達式為：

3)第n段圓弧Qn Qn+1確定

圓弧Qn-1Qn與Qn Qn+1相互內切，On-1,On,Qn共線，則有Qn點斜率為：

聯(lián)立式(14)和(15)得：

圓弧Qn Qn+1上有：

由于：

故圓弧Qn Qn+1的表達式為：

工作邊圓弧Q1Qn+1的表達式為：

1.3 模型驗證

75 kg/m鋼軌的廓形分別由5段半徑為15，80和500 mm的圓弧以及2段1:20的直線段組成，因此可以將曲線區(qū)鋼軌打磨廓形設置成7段圓弧，如圖3所示。

圖3 圓弧型過度磨耗鋼軌廓形描述Fig.3 Profile description of circular arc excessive wear rail

依照上述參數化設計方法，鋼軌兩端的過渡圓弧設置為Q1Q2,Q7Q8，輪軌主要接觸的部分設置為5段圓弧Q2Q3,Q3Q4,Q4Q5,Q5Q6,Q6Q7，左端點Q8視為可動點，右端點Q1為固定點，左端點Q8往左為固定區(qū)域，右端點往右為固定區(qū)域，點Q9為左端固定區(qū)域直線任意一點，點Q10為直線終點，因此可以求出各段圓弧端點坐標值，并用各段圓弧端點坐標作為設計變量表示鋼軌廓形。各圓弧端點坐標分別為Q1(x1,y1),Q2(x2,y2),…,Q3(x3,y3)，端點斜率分別為k1,k2,…,k8，半徑分別為R1,R2,…,R7，圓心分別為O1(xr1,yr1),O2(xr2,yr2),…,O7(xr7,yr7)。

1)端點斜率由式(16)求得：

2)各圓弧段表達式由式(22)求得：

3)圓心表達式為：

過點Q1(x1,y1),O1(xr1,yr1)直線表達式為：

過點Q2(x2,y2),O1(xr1,yr1)直線表達式為：

由式(29)和式(30)聯(lián)立求出圓心O1，同理可求圓心O2,O3,…,O7。

4)半徑表達式由式(18)求得：

利用上述變量，選取固定點Q1，控制端點Q2,Q3,…,Q7坐標值，作為輸入來表示鋼軌廓形。

2 優(yōu)化模型的建立

2.1 目標函數

1)降低鋼軌材料去除量的目標函數

式中：GRtrans-wear(x),GRcons-wear(x)分別為緩和曲線段和恒定半徑曲線段實測磨耗廓形表達式；GRtrans-opt(x),GRcons-opt(x)為設計廓形表達式；a,b為優(yōu)化區(qū)域左、右邊界限值。

2)不同權重輪軸橫向力的目標函數

式中：|Ftrans-opt|trans-max，|Ftrans-opt|cons-max為緩和曲線段設計廓形應用于緩和曲線段和恒定半徑曲線段，列車行駛時輪軸橫向力最大值的絕對值；|Fcons-opt|trans-max,|Fcons-opt|cons-max為恒定半徑曲線段設計廓形應用于緩和曲線段和恒定半徑曲線段，列車行駛時輪軸橫向力最大值的絕對值；α1,β1為緩和曲線段權重系數，α2,β2為恒定半徑曲線段權重系數，分別由圖1中實測數據Dtrans,Dcons和Dtrans-cor,Dcons-cor占比確定，依照實際打磨中的工程經驗，在計算中取α1=0.4,β1=0.6，α2=0.3,β2=0.7。

3)不同區(qū)段交接處曲率變化平緩目標函數

為描述不同區(qū)段交接處鋼軌廓形變化，減緩緩和曲線段和恒定半徑曲線段交接處由于曲率變化不平緩帶來的較大應力集中問題，為簡化計算，選取磨耗鋼軌中心線軌頂位置作為參考點，由圖3可知對應第4段圓弧Q4Q5，因此交接處函數為：

式中：ytrans-4,ycons-4為設計廓形對應的第4段圓弧在中心線x=0處計算的縱坐標值。

4)函數歸一化處理

考慮到上述目標函數Smin,Fmin,Ymin均為有量綱表達式，因此對其進行歸一化處理。

式中：Xnorm-1,Xnorm-2,Xnorm-3分別表示材料去除率、輪軸橫向力及不同區(qū)段交接處過渡差值的歸一值，其復合求和函數作為后續(xù)優(yōu)化目標函數；S,F,Y分別為計算的材料去除量、輪軸橫向力及不同區(qū)段交接處過渡差值原始數據；Smin,Smax為計算的材料去除率最小值及最大值；Fmin,Fmax為計算的輪軸橫向力最小值及最大值；Ymin,Ymax為計算的不同區(qū)段交接處差值的最小值及最大值。

2.2 約束函數

1)鋼軌廓形上下邊界約束

式中：將傳統(tǒng)常用單一打磨廓形Rgrind-real作為曲線區(qū)域下邊界，Rtrans-wear,Rcons-wear分別表示緩和曲線段及恒定半徑曲線段實測磨耗廓形。

2)鋼軌廓形表達式凹凸性約束

根據鋼軌型面描述，輪軌主要接觸的部分曲線段應設置為凸曲線，約束條件為：

3)脫軌系數約束

根據Nadal公式[14]，車輛的脫軌系數約束條件為：

式中：Q為輪軌間橫向力；P為輪軌間垂向力；γ為輪緣角；f為輪軌間摩擦因數；分別為緩和曲線段和恒定半徑曲線段鋼軌設計廓形脫軌系數最大值，為傳統(tǒng)常用單一打磨廓形的脫軌系數最大值。

2.3 優(yōu)化流程

鋼軌實測磨耗廓形優(yōu)化區(qū)域各端點坐標值作為初始輸入，作為優(yōu)化初始解ω，通過圓弧型鋼軌型面數學模型，得到鋼軌廓形數據點，驗證其是否通過動力學約束條件，計算滿足條件的目標函數f(ω)，采用模擬退火算法曲線區(qū)鋼軌設計廓形進行優(yōu)化，對當前解進行擾動變換得到新解ω'，再次 計 算 目 標 函 數f(ω′)，計 算 增 量Δf=f(ω′)-f(ω)，若Δf≤0則接受當前新解，且取ω=ω′,f(ω)=f(ω′)，否則按Metropolis準則[15]接受新解，最后檢查算法是否達到迭代次數，輸出最優(yōu)解，即優(yōu)化設計廓形，求解流程如圖4所示。

圖4 車輛動力學—鋼軌廓形優(yōu)化流程Fig.4 Vehicle dynamics-rail profile optimization process

圖5 為設置不同的迭代次數下目標函數隨著迭代次數的變化情況，在尋優(yōu)過程中，模擬退火算法并沒有從迭代開始就求出最優(yōu)解，在滿足收斂精度下達到設定迭代次數時，同樣輸出了相對差的解，次退溫過程中仍保留這些局部最優(yōu)解，通過局部最優(yōu)解之間的相互比較，在局部最優(yōu)解中尋找全局最優(yōu)解，并且最終所得最優(yōu)解達到一致收斂，輸出最優(yōu)解；若不滿足收斂精度，則返回初始溫度，重新設定圓弧各端點坐標值進行迭代?？梢钥吹骄徍颓€段和恒定半徑曲線段分別在238次、253次迭代次數下獲得最優(yōu)解。

圖5 迭代運算結果Fig.5 Resultsof iterative operation

2.4 結果分析

2.4.1 動力學模型建立

圖4 中建立的貨車動力學模型，車輛型號選取我國C96重載貨運列車，車輛運行速度為75 km/h，線路工況設置為軌道總長度為500 m，其中車輛通過曲線半徑設置為R800的曲線區(qū)段，曲線超高80，前、后直線區(qū)域各為50 m，入、出緩和曲線段設置為100 m，恒定半徑曲線段為200 m，軌底坡取1/40，車輪型面選取LM磨耗型車輪踏面。

2.4.2 最優(yōu)設計廓形

表1 和表2分別為列舉的不同迭代次數下的目標函數及約束函數計算值，圖6為曲線區(qū)各區(qū)段最優(yōu)設計廓形。由表1計算結果可知Rtrans-opt廓形的材料去除量為65.28 mm2，對比傳統(tǒng)常用的單一打磨廓形Rgrind-real材料去除量為107.05 mm2，降低39.02%；由表2可知Rcons-opt廓形材料去除量為85.14 mm2，降低20.47%；兩區(qū)段交接處過渡廓形差值為2.03 mm，曲率變化平緩。

圖6 曲線區(qū)各區(qū)段最優(yōu)設計廓形Fig.6 Optimal design profiles of curve areas

表1 R trans-opt迭代中目標函數值及約束限值Table 1 Values of objective function and constraint limits in R trans-opt iteration

表2 R cons-opt迭代中目標函數值及約束限值Table 2 Values of objective function and constraint limits in R cons-opt iteration

3 仿真分析

3.1 動力學性能計算

分別計算對比各區(qū)段優(yōu)化廓形及實測傳統(tǒng)常用的單一打磨廓形動力學參數。

從圖7分析可知，Rgrind-real廓形在入出緩和曲線段脫軌系數最大值為0.15，采用Rtrans-opt廓形進行打磨后脫軌系數最大值為0.13，降幅為13.33%；Rgrind-real廓形在恒定半徑曲線段脫軌系數最大值為0.15，采用Rcons-opt廓形進行打磨后脫軌系數最大值為0.14，降幅為6.67%，處于文獻[14]中列車脫軌系數優(yōu)等級內。

圖7 脫軌系數對比Fig.7 Comparison of derailment coefficient

從圖8分析可知，Rgrind-real廓形在入出緩和曲線段的輪軸橫向力最大值為16.48 kN，采用Rtrans-opt廓形進行打磨后輪軸橫向力最大值為15.25 kN，降幅為7.46%；Rgrind-real廓形在恒定半徑曲線段的輪軸橫向力最大值為17.47 kN，采用Rcons-opt廓形進行打磨后輪軸橫向力最大值為18.01 kN，增幅為3.09%，處于文獻[14]中列車輪軸橫向力允許限度值內。

圖8 輪軸橫向力對比Fig.8 Comparison of lateral force of wheel axle

從圖9分析可知，Rgrind-real廓形在入出緩和曲線段的輪重減載率最大值為0.29，Rtrans-opt廓形進行打磨后輪重減載率最大值為0.20，降幅為31.03%；Rgrind-real廓形在恒定半徑曲線段的輪重減載率最大值為0.27，Rcons-opt廓形進行打磨后輪重減載率最大值為0.19，降幅為29.63%，處于文獻[14]中列車輪重減載率允許限度值內。

圖9 輪重減載率對比Fig.9 Comparison of load reduction rate

從圖10分析可知，Rgrind-real廓形在入出緩和曲線段的輪對橫移量最大值為20.89 mm，采用Rtrans-opt廓形進行打磨后輪對橫移量最大值為21 mm，增幅為0.52%，優(yōu)化前后幅度無明顯變化；Rgrind-real廓形在恒定半徑曲線段的輪對橫移量最大值為19.36 mm，采用Rcons-opt廓形進行打磨后輪對橫移量最大值為16.26 mm，降幅為16.01%；在列車運行至緩和曲線段和恒定半徑曲線段交接段約350 m處，對應優(yōu)化前后輪對橫移量值分別為10.14 mm和1.07 mm，降幅為89.45%，恒定半徑曲線段優(yōu)化后在輪對橫移量變化大幅度降低，過渡平緩。

圖10 輪對橫移量對比Fig.10 Comparison of lateral displacement of wheelset

3.2 靜態(tài)輪軌接觸幾何

圖11 ～13分別為傳統(tǒng)常用的單一打磨廓形及各區(qū)段優(yōu)化廓形的靜態(tài)輪軌接觸幾何。通過比較可以得出優(yōu)化設計廓形較傳統(tǒng)常用的單一打磨廓形靠近鋼軌左側輪軌接觸點分布更加的均勻，有利于減緩鋼軌軌頭的局部磨耗。

圖11 R grind-real/LM輪軌匹配Fig.11 Wheel-rail matching of R grind-real and LM

在設計輪軌外形匹配時，輪軌橫移量6 mm以內，對應輪對不同橫移量的等效錐度值形成的曲線，簡稱“等效錐度曲線”[16]。如圖14所示，總體上，等效錐度均呈現上升趨勢，其中Rtrans-opt廓形等效錐度小于Rgrind-real廓形，在輪對橫移量為[0,6]mm范圍內，均小于0.08，處于平穩(wěn)變化，這一趨勢在緩和曲線段有利于改善入彎前后直線段的運行性能，提高蛇形失穩(wěn)臨界速度，在輪對橫移量為[6,10]mm范圍內，均呈現“緩慢”上升趨勢，有利于列車的高速運行；Rcons-opt廓形等效錐度大于Rgrind-real廓形和Rtrans-opt廓形，且在輪對橫移量為[1,10]mm范圍內，均呈現上升趨勢，有利于輪對自動對中，提高車輛在恒定半徑曲線段的曲線通過性能。

圖14 等效錐度對比Fig.14 Equivalent conicity comparison

圖12 R trans-opt/LM輪軌匹配Fig.12 Wheel-rail matching of R trans-opt and LM

圖13 R cons-opt/LM輪軌匹配Fig.13 Wheel-rail matching of R cons-opt and LM

3.3 磨耗分析

圖15 為各區(qū)段優(yōu)化廓形及傳統(tǒng)常用單一打磨廓形以同一速度過曲線，在不同列車通過次數下，各區(qū)段鋼軌累計磨耗變化規(guī)律。優(yōu)化廓形呈現出恒定半徑曲線區(qū)段磨耗累計發(fā)展最快，緩和曲線區(qū)段次之的磨耗規(guī)律；在恒定半徑區(qū)段，外軌磨耗主要發(fā)生在軌頭靠近中部位置，列車通過量80萬次時，最大磨耗深度為1.49 mm，主要是車輛行駛時鋼軌存在欠超高，導致輪緣接觸，加劇外軌側磨；在緩和曲線區(qū)段，外軌磨耗主要發(fā)生在鋼軌中部走行面附近，呈現出越靠近鋼軌內側軌頭區(qū)域，累計磨耗量差值越大的規(guī)律，列車通過量80萬次時，最大磨耗深度為1.02 mm；相較于傳統(tǒng)單一打磨廓形最大磨耗深度1.78 mm，磨耗發(fā)展速度得到改善。

圖15 累計磨耗分布Fig.15 Cumulative wear distribution

3.4 輪軌靜態(tài)接觸分析

3.4.1 輪軌踏面廓形有限元分析

鋼軌廓形選取優(yōu)化設計廓形及實測傳統(tǒng)常用的單一打磨廓形，車輪型面為標準LM磨耗型車輪踏面。

利用Hypermesh進行模型前處理，車輪與鋼軌接觸區(qū)網格大小細分為1 mm，非接觸區(qū)網格單元大小從1 mm逐漸過渡到10 mm，模型所有網格均采用八節(jié)點線性六面體單元，為簡化計算，采用對稱分析，共劃分為182 182個網格單元，導入ABAQUS中對其進行輪軌接觸力學性能分析，如圖16所示。

圖16 輪軌有限元模型Fig.16 Wheel-rail finite element model

3.4.2 輪軌接觸應力計算結果

在計算中，輪軌軌距取1 435 mm，輪對橫移量取0～20 mm，軌底坡為1:40，軸重取30 t，輪對無搖頭角，從輪軌接觸斑面積、接觸斑內最大Mises應力、最大法向接觸應力，評價鋼軌打磨廓形的靜態(tài)接觸特性,。圖17～20分別為在不同輪對橫移量下，輪軌接觸狀態(tài)分布、接觸斑面積、最大Mises應力、最大法向接觸應力的變化曲線。

從圖17和圖18分析可知，優(yōu)化設計廓形前后

圖17 輪軌接觸狀態(tài)分布Fig.17 Distribution of wheel-rail contact state

圖18 接觸斑面積隨輪對橫移量的變化Fig.18 Change of contact spot area with wheelset transverse displacement

接觸斑面積大于傳統(tǒng)單一打磨廓形接觸斑面積；輪對橫移量在8～12 mm時，Rgrind-real廓形接觸斑面積相對于Rtrans-opt廓形和Rcons-opt廓形接觸斑面積明顯減小，這是由于輪緣和軌距角處接觸，造成曲率較小從而導致接觸斑面積減少；Rgrind-real廓形在12 mm處出現2點接觸，Rtrans-opt，Rcons-opt廓形在輪對橫移量20 mm時出現輪緣和軌距角處接觸引起2點接觸，甚至出現共形接觸，此時會進一步加速輪軌接觸表面的磨耗傷損。

從圖19和圖20分析可知，Rgrind-real廓形引起的Mises應力和法向接觸應力明顯增加，到輪對橫移量16 mm時分別達到最大值，Mises應力為2 357 MPa，最大法向接觸應力為4 332 MPa，而Rtrans-opt廓形和Rcons-opt廓形接觸斑面積、Mises應力、法向接觸應力均變化平穩(wěn)，在輪對橫移量為16 mm時，Mises應力分別為1 084 MPa和1 406 MPa，最大法向接觸應力分別為1 837 MPa和2 298 MPa，Mises應力優(yōu)化后分別降低54.01%和40.35%，最大法向接觸應力優(yōu)化后分別降低57.60%和46.95%。

圖19 最大Mises應力隨橫移量的變化Fig.19 Variation of maximum Mises stress with transverse displacement

圖20 最大法向接觸應力隨橫移量的變化Fig.20 Variation of maximum normal contact stress with transverse displacement

4 結論

1)設計多段圓弧和半徑等多參變量的平滑設計方法，通過控制各段圓弧段端點坐標值，能夠較好地表示優(yōu)化鋼軌圓弧廓形，獲取曲線區(qū)鋼軌雙打磨廓形，相較于傳統(tǒng)常用的單一打磨廓形，緩和曲線段優(yōu)化廓形的材料去除量降低39.02%，恒定半徑曲線段優(yōu)化廓形材料去除量降低20.47%，且優(yōu)化設計廓形在不同區(qū)段交接處曲率變化平緩。

2)從動力學性能角度，優(yōu)化設計廓形在入出緩和曲線段、恒定半徑曲線段優(yōu)化廓形優(yōu)化后動力學性能顯著提升，磨耗發(fā)展速度得到改善。

3)從靜態(tài)輪軌接觸幾何角度，優(yōu)化設計廓形相比于實測傳統(tǒng)常用的單一打磨廓形在靠近鋼軌左側處輪軌接觸點分布更加的均勻，有利于減緩鋼軌軌頭的局部磨耗；優(yōu)化前后等效錐度，Rtrans-opt廓形相對于Rgrind-real廓形在緩和曲線段有利于改善入彎前后直線段的運行性能，提高蛇形失穩(wěn)臨界速度，Rcons-opt廓形等效錐度相對于Rgrind-real廓形明顯提高，有利于輪對自動對中，提高車輛在恒定半徑曲線段的曲線通過性能。

4)從輪軌靜態(tài)接觸角度，優(yōu)化設計廓形對中位置，接觸斑面積大于傳統(tǒng)單一打磨廓形接觸斑面積；最大Mises應力和最大法向接觸應力相對于優(yōu)化前均有明顯改善。