■彭明清

向量既是幾何對(duì)象也是代數(shù)對(duì)象，因而成為數(shù)形結(jié)合的橋梁，也成為溝通代數(shù)與幾何的有力工具。利用向量解決平面幾何問(wèn)題，可以從向量的兩種運(yùn)算——基底運(yùn)算和坐標(biāo)運(yùn)算入手，建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題，然后通過(guò)向量的運(yùn)算，研究幾何元素間的關(guān)系。下面從多個(gè)角度分析平面幾何中的向量方法。

一、垂直問(wèn)題

例1求證:三角形的三條高線交于一點(diǎn)。

證明：如圖1，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，AD與BE交于點(diǎn)H，連接CH。下面只需證明CH⊥AB即可。

圖1

評(píng)析：平面幾何中的兩條線段的垂直問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為平面向量中的兩個(gè)向量的數(shù)量積為0來(lái)解決。在證明過(guò)程中，可利用向量加法的三角形法則（首尾銜接法），將所求向量進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

二、平行問(wèn)題

例2已知直角坐標(biāo)平面上的四個(gè)點(diǎn)A（1，0），B（4，3），C（2，4），D（0，2），求證四邊形ABCD是等腰梯形。

評(píng)析：線段平行問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的向量共線問(wèn)題來(lái)解決。通過(guò)向量的運(yùn)算，尋求兩個(gè)向量的共線（平行）關(guān)系。

三、長(zhǎng)度問(wèn)題

例3如圖2，在平行四邊形ABCD中，AB＝2，AD＝4，∠BAD＝60°，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)，則向量的模長(zhǎng)是____。

圖2

評(píng)析：利用向量的基底運(yùn)算，將線段的長(zhǎng)度問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積問(wèn)題來(lái)解決。

四、分點(diǎn)問(wèn)題

例4如圖3，過(guò)△ABC的中線AD的中點(diǎn)E作直線PQ分別交AB，AC于P，Q兩點(diǎn)，若＝（ ）。

圖3

評(píng)析：利用平面向量基本定理和向量的線性運(yùn)算是解答本題的關(guān)鍵。

五、夾角問(wèn)題

例5已知三個(gè)點(diǎn)A（2，1），B（3，2），D（－1，4）。若四邊形ABCD為矩形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)及矩形ABCD兩條對(duì)角線所成銳角的余弦值。

評(píng)析：解答與角有關(guān)的向量問(wèn)題，要有意識(shí)地建立向量的數(shù)量積關(guān)系，再將向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化成向量的模與向量夾角的余弦關(guān)系，這樣可進(jìn)一步研究角的有關(guān)問(wèn)題。

感悟與提高

1.已知三點(diǎn)A（1，2），B（2，3），C（－2，5），則△ABC的形狀是______。

2.在四邊形ABCD中，已知A（0，0），B（4，0），C（3，2），D（1，2）。