梁鐸強 劉芳遠

【摘要】張量、李群和李代數(shù)，是代數(shù)中比較重要但也是很困難的概念。由于很基礎，本文探索它們之間是如何導出的，以讓初學者能夠迅速入門。

【關鍵詞】張量;李群;李代數(shù)

1 前言

張量、李群和李代數(shù)是非常神奇，看起來很復雜很深奧，在各種涉及空間的問題中總能遇到，不僅是現(xiàn)實空間，還有各種參數(shù)張成的狀態(tài)空間，可能這才是現(xiàn)代幾何中的特征量。之前所看的數(shù)學體系中這些內(nèi)容也是很靠后的，雖然暫時沒有實用化，了解一些也沒有壞處。還有一個原因，是阿提亞在其現(xiàn)代數(shù)學展望中對這些東西給出了很高的評價[1]，一個是李群，一個是同調(diào)代數(shù)，他們都體現(xiàn)了聯(lián)系性，這也是一個想法吧，想要將支離破碎的現(xiàn)代科學構建出一個整體的圖景。

為了讓初學者能夠理解這些概念的基本意義，本文試圖通俗解釋它們，包括導出的目的和過程。

2 流形上的張量

1）分量型張量的元素是常數(shù)，而流型上張量的元素是函數(shù)，顯然是一種拓展（從歐式空間到流形）;

2）為何要拓展？因為在量子力學中，存在不同的表象，當表象變換（比如動量表象到粒子數(shù)表象）時，再用常數(shù)顯然已經(jīng)不能滿足要求;

3）分量型張量一般只能寫出二階張量，比如應力張量和動量張量，但量子力學的多粒子的巨希爾伯特空間是單粒子希爾伯特空間的直積，因此流行上，也要定義元向量空間、元函數(shù)，重線性函數(shù)，以及;

4）歸納起來，流形上的張量就是上的一個重線性函數(shù)稱為上的一個型張量

5）和歐式空間的張量積類似，張量積運算服從分配律和結合律，空間的張量積的元素為;

3 李群和李代數(shù)是如何進入微分流形的？

1）Gauss發(fā)現(xiàn)，曲面的曲率實際上只依賴曲面的第一基本形式，這為將曲面叢歐式空間中抽象出來進行研究奠定了基礎。此外，gauss-bonnet定理將幾何量（曲率）和拓撲量聯(lián)系在一起，從而啟發(fā)我們用拓撲不變量（群）去研究幾何問題。后來黎曼把老師的幾何拓展到流形（和群的關系）。

2）向量場的積分曲線匯給出了此流形到其自身中的一個自然映射。如果λ是這些曲線的參數(shù)，則任意足夠小的數(shù)Δλ定義了一個映射，它把每一點映成線匯中同一根曲線上參數(shù)再增加Δλ的那一點。這種映射稱為沿該線匯的一個“拉曳”。有了拉曳的概念就使我們能沿著線匯定義導數(shù)。

3）李導數(shù)（Lie derivative）是一個以索甫斯·李命名的算子，作用在流形上的張量場，向量場或函數(shù)，將該張量沿著某個向量場的流（也就是積分曲線匯）做方向?qū)?shù)。

4）兩個向量場的李導數(shù)就是它們的李括號。而李括號構成李代數(shù)，所以李導數(shù)誘導了李代數(shù)。

5）通過指數(shù)映射，可以在李群的李代數(shù)和李群自身之間建立關系。李代數(shù)的結構張量，則是李括號雙線性特征的顯式表現(xiàn)。逼迫人們也把李群拉近流形里面來。

6）設M是一個m維光滑流形，G是r維李群。若θ：M×G→M是光滑映射，記為θ（x，g）=x·g，使得對M中任意點x和G中任意元素g，h滿足x·e=x，（x·g）·h=x·（g·h），則稱G是右作用在M上的李氏變換群。類似地，若σ：G×M→M為σ（g，x）=g·x，滿足e·x=x，g·（h·x）=（g·h）·x，則稱G是左作用在M上的李氏變換群。

4 結論

李群，有稱之為線性群，不僅滿足群的性質(zhì)，還具有線性，往往表示為矩陣形式，這樣線性就是顯然的。線性畢竟要涉及變換，考慮線性函數(shù)的定義，在定義域中的線性運算被函數(shù)所保持，所以對于群中元素而言，這種線性就不好表示了，因為沒有變換。為了引入這樣的變換，所以定義了單參數(shù)群，就像參數(shù)曲線一樣，通過參數(shù)來間接表示群元素，一個參數(shù)經(jīng)過變換表示一個群元素，那么參數(shù)之間的線性運算就可以借此表示出群元素之間的線性運算。

例如，考慮旋轉(zhuǎn)群SO3，對固定轉(zhuǎn)軸的兩個依次作用的轉(zhuǎn)動，與他們的復合所給出的單個轉(zhuǎn)動作用效果相同，這其實就是線性的表現(xiàn)。一個轉(zhuǎn)動總可以參數(shù)化表示為一個轉(zhuǎn)軸位置和一個轉(zhuǎn)角，上面涉及的過程就是轉(zhuǎn)角參數(shù)的相加，等價于轉(zhuǎn)動的復合。

一般李群都是些運動群，也就是空間的微分同胚群，也就是說，考慮群作用，將李群中的元素作用于某一空間，得到的是與原空間微分同胚的新空間。

李代數(shù)是李群在恒等元處的切空間，這個涉及平移不變性對點位置不確定性的消除，說白了就是一個商結構，相差一個平移作用下認為兩對象相等。消除了這樣的多余特征后，就能對本質(zhì)問題加以研究。但是，這樣的定義并不能給出李代數(shù)中元素的性質(zhì)。不過好像是和聯(lián)絡有關的，就是張量分析中的協(xié)變導數(shù)，克氏符號那些東西。李代數(shù)既然為代數(shù)，就必然有運算，畢竟代數(shù)是同時具有加法和乘法的結構，而且加法是交換的，乘法根據(jù)交換與否分為交換代數(shù)和非交換代數(shù)。李代數(shù)的乘法是李括號，是反對稱的，自然非交換，說起來關于二元運算括號，也是很有意思的，一般在基礎的課程中根本遇不到，常見的也就李括號，泊松括號，量子泊松括號，他們都是和幾何息息相關的。括號總是具有雅可比性質(zhì)，三個元素的各種括號組合之和為零。

參考文獻：

[1] Atiyah， M. F.; Bott， R. （1983）. The Yang-Mills Equations over Riemann Surfaces. Philosophical Transactions of the Royal Society A： Mathematical， Physical and Engineering Sciences， 308（1505）， 523–615. doi：10.1098/rsta.1983.0017

[2] Atiyah， M.F.， & Macdonald， I.G. （2016）. Introduction to Commutative Algebra （1st ed.）. CRC Press. https：//doi.org/10.1201/9780429493621

作者簡介：梁鐸強（1978.09-）男，漢族，廣西玉林，副教授，博士，研究方向：數(shù)學材料