魏東升

摘 要：本文通過對2020年新高考山東卷第16題進(jìn)行探究，發(fā)現(xiàn)這類問題可以通過準(zhǔn)確確定“截弧”弧心的具體位置來解決，并在此基礎(chǔ)上給出了確定弧心位置的具體方法.

關(guān)鍵詞：球面;圓心;多面體;交線

中圖分類號：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2022）01-0068-03

在最近筆者所在學(xué)校年級組織的一次高三月考中，一道立體幾何的問題引起了筆者關(guān)注.因?yàn)槠涞梅智闆r幾乎可以用“慘不忍睹”來形容，即便是筆者所在的層次較好的班，其情況也不容樂觀.經(jīng)過對試題進(jìn)行深入探究發(fā)現(xiàn)，這個(gè)問題是立體幾何中的一種經(jīng)典問題，其解法亦具有普遍性.

1 真題再現(xiàn)

題目 已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱長均為2，∠BAD=60°.以D1為球心，5為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長為.

本題選自2020年新高考山東卷的第16題.從考查知識方面來說，主要考查了立體幾何點(diǎn)線面位置關(guān)系，簡單幾何體的構(gòu)造，軌跡問題和扇形的弧長公式等;從考查知識方面來說，主要考查了數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想和整體與局部思想等;從考查能力方面來說，本題主要考查了學(xué)生的直觀想象能力，數(shù)學(xué)抽象能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力等，很好地體現(xiàn)了《考試說明》中強(qiáng)調(diào)的“以能力立意，強(qiáng)化對數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的考查”.作為填空壓軸題，有很好的區(qū)分度，具有較好的選拔功能.

2 本質(zhì)呈現(xiàn)

這類問題其實(shí)是幾何中的截弧問題，屬于球“切截接”（球內(nèi)切問題，球截面問題和球外接問題）中截面問題的一種，其上次出現(xiàn)還是在2007年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽中.所謂截弧，是指平面中的圓（或圓?。┍恢本€或線段所截，或者是空間中的球被多面體（或平面圖形）所截，所得截線是一個(gè)圓或是一段圓弧，但常常是圓弧居多，實(shí)際上其和麻將這類益智類游戲中的“截和”有異曲同工之妙.

解決這類問題的關(guān)鍵是需要具備解題的整體思想，能夠直觀想象到多面體截得的弧是圓的一部分，同時(shí)結(jié)合已知條件通過數(shù)學(xué)運(yùn)算獲得該圓的圓心和半徑，進(jìn)而得到圓弧所在扇形的圓心角.

如果球面與幾何體的某個(gè)表面有交線，則球的半徑應(yīng)該大

于球心到該面的距離，且小于球心到該面內(nèi)點(diǎn)的最大距離.在實(shí)際問題中，不管是準(zhǔn)確作出交線的軌跡還是計(jì)算軌跡的長度，都繞不開弧心（即軌跡所在圓的圓心）的確定，由圖1可知，弧心其實(shí)就是球心O在截面上的投影A.弧心的確定可以分為三類：弧心即球心;弧心在邊界及弧心在面內(nèi).以下結(jié)合實(shí)例分析這三種類型的解題策略.圖1

3 類型展現(xiàn)

3.1 弧心即球心

如果球面與球心所在面相交，則其交線所在圓即為大圓，該截弧的弧心即為球心.

例1 已知正三棱臺(tái)ABC-A1B1C1的上下底邊長分別為2和5，側(cè)棱長為3.以下底邊頂點(diǎn)A為球心，2為半徑的球面與正三棱臺(tái)的表面的交線長為.圖2

解析 如圖2，因?yàn)榍駻的半徑為2，所以其只與正三棱臺(tái)的表面A1B1BA，A1C1CA及ABC等三個(gè)面相交.假設(shè)其與這三個(gè)面的交線的交點(diǎn)分別為點(diǎn)D，E，F(xiàn).因?yàn)榍蛐腁剛好在這三個(gè)面內(nèi)，所以球心A也就是對應(yīng)截面圓的圓心，其與正三棱臺(tái)的交線也就是以A為弧心的三段弧長.

在梯形A1B1BA中，經(jīng)計(jì)算可得其高為332.

又AA1=3，所以∠A1AB=π3，

從而EF=π3×2=23π.

所以交線總長為EF+DF+DE=3EF=2π.

評析 本題解題的關(guān)鍵是確定球和多面體的幾個(gè)表面有交線.由于球的半徑小于球心到面A1B1C1和面B1C1CB的距離，所以其只與球心A所在的三個(gè)面有交線，而點(diǎn)A也就成了這三段截弧的弧心.

3.2 弧心在邊界

如果球心所在面與截面垂直，則該截弧的弧心必在兩個(gè)平面的交線上.

例2 已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為3，以頂點(diǎn)A1為球心，2為半徑的球面與正方體的兩個(gè)表面A1B1BA及BB1C1C相交所得到的兩段弧長之和等于.

圖3

解析 如圖3，假設(shè)其與這兩個(gè)面邊界的交點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，因?yàn)榍蛐腁1剛好在面A1B1BA內(nèi)，所以球心A1也就是DE的弧心，其交線為以A1為弧心，以A1D為半徑的DE.經(jīng)計(jì)算可得∠DA1E=π6，所以DE=π6×2=π3.而球心A1不在面BB1C1C內(nèi)，所以需要找到其在這個(gè)面的投影，也就是截面圓的圓心.注意到A1在面BB1C1C的投影剛好是邊界上的B1，從而球A1和面BB1C1C的交線即為以B1為弧心，以B1F為半徑的EF，經(jīng)計(jì)算可得B1F=1.而∠EB1F=π2，所以EF=π2×1=π2.

所以兩段弧長之和為EF+DE=π3+π2=5π6.

評析 注意到點(diǎn)A1所在的兩個(gè)平面A1B1BA及A1B1C1D1同時(shí)和平面BB1C1C垂直，所以點(diǎn)A1在平面BB1C1C的投影即為這三個(gè)平面的公共點(diǎn)B1.所以點(diǎn)B1就成了平面BB1C1C所在截弧的弧心.

3.3 弧心在面內(nèi)

如果球心所在面與截面不垂直，則該截弧的弧心必在截面的面內(nèi).

例3 已知正四面體ABCD的棱長為2.以BC的中點(diǎn)E為球心，1為半徑的球面與該正四面體的右側(cè)面ACD的交線長為.

圖4

解析 ?如圖4，因?yàn)榍蛐腁1不在面ACD內(nèi)，所以需要找到其在這個(gè)面的投影，也就是截面圓的圓心. 取AD的中點(diǎn)M，連接BM和CM，易證得平面ACD⊥平面BCM，所以球心E在面ACD的投影G剛好落在平面ACD和平面BCM的交線CM上.

假設(shè)其與這個(gè)面邊界的交點(diǎn)分別為H，F(xiàn)，從而球E和面ACD的交線即為以點(diǎn)G為弧心，以GF為半徑的HF.在△ABC中，經(jīng)計(jì)算可得GE=63.

在△EFG中，經(jīng)計(jì)算可得GF=33.

又HF=1，所以∠HGF=2π3，從而HF=2π3×33=23π9.所以交線長為23π9.

評析 ?事實(shí)上，很多時(shí)候會(huì)碰到截弧的弧心出現(xiàn)在所截面的面內(nèi)的情況，這個(gè)時(shí)候需要找到一個(gè)垂面，即過球心且和截面垂直的平面，此時(shí)可知弧心會(huì)出現(xiàn)在這兩個(gè)平面的交線上.

有了以上知識儲(chǔ)備，我們再來看看這道真題的解析.

解析 如圖5，取B1C1的中點(diǎn)為E，BB1的中點(diǎn)為F，CC1的中點(diǎn)為G，因?yàn)椤螧AD=60°，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱長均為2，所以△D1B1C1為等邊三角形.所以D1E=3，D1E⊥B1C1.又BB1⊥B1C1，BB1∩B1C1=B1，所以D1E⊥側(cè)面B1C1CB.

即E是平面BB1C1C所在截弧的弧心.圖5

設(shè)P為側(cè)面B1C1CB與球面的交線上的點(diǎn)，

則D1E⊥EP.

因?yàn)榍虻陌霃綖?，D1E=3，

所以|EP|=|D1P|2-|D1E|2=5-3=2.

因?yàn)閨EF|=|EG|=2，

所以側(cè)面B1C1CB與球面的交線是扇形EFG的弧FG.

因?yàn)椤螧1EF=∠C1EG=π4，

所以∠FEG=π2.

所以根據(jù)弧長公式可得FG=π2×2=22π.

需要指出的是，在解題時(shí)上述類型的運(yùn)用往往并不一定是孤立的，可能會(huì)是多種情況同時(shí)出現(xiàn)，這一點(diǎn)可以通過改變多面體的類型，變換球心的位置或者球的半徑得到，而這也是數(shù)學(xué)命題中一題多變的思想源泉.

參考文獻(xiàn)：

[1]李昌官.問題中心：素養(yǎng)為本高中數(shù)學(xué)教學(xué)的基本策略[J].數(shù)學(xué)通訊，2020（12）：1-6+10.

[責(zé)任編輯：李 璟]