席 敏，龍 飛

(1.貴州大學(xué)大數(shù)據(jù)與信息工程學(xué)院，貴州 貴陽 550025；2.貴州理工學(xué)院人工智能與電氣工程系，貴州 貴陽 550003)

0 引言

離散時(shí)間切換正系統(tǒng)是一類特殊的混雜系統(tǒng)，由多個(gè)正子系統(tǒng)和控制子系統(tǒng)間切換次序的切換信號(hào)構(gòu)成。切換信號(hào)可分為確定性切換信號(hào)和隨機(jī)切換信號(hào)。正系統(tǒng)是初始條件和輸入非負(fù)時(shí)，狀態(tài)和輸出也為非負(fù)的系統(tǒng)。正系統(tǒng)變量非負(fù)這一特性，廣泛運(yùn)用在生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、網(wǎng)絡(luò)通信、人口統(tǒng)計(jì)學(xué)、實(shí)際生產(chǎn)活動(dòng)等系統(tǒng)建模中。例如，計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)協(xié)議傳輸控制系統(tǒng)、自動(dòng)化切換電路系統(tǒng)[1-2]等。

對(duì)切換正系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析時(shí)，不僅要保證整個(gè)系統(tǒng)穩(wěn)定，還需考慮系統(tǒng)的正性。這增加了研究切換正系統(tǒng)的復(fù)雜度和難度。關(guān)于切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性的理論研究，形成了以Lyapunov函數(shù)、駐留時(shí)間(dwell-time,DT)、平均駐留時(shí)間(average dwell-time,ADT)、持續(xù)駐留時(shí)間(persistent dwell-time,PDT)和Co-positive Lyapunov函數(shù)等為主的分析方法?，F(xiàn)有研究結(jié)果表明，相比傳統(tǒng)線性Lapunov函數(shù)法，Co-positive Lyapunov函數(shù)法存在更低的保守性[3]。

切換正系統(tǒng)在運(yùn)行時(shí)，不可避免地含有隨機(jī)故障或不可控因素引起的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)參數(shù)變化。隨機(jī)切換系統(tǒng)——馬爾可夫跳變線性系統(tǒng)(Markov jump linear system,MJLS)常用來描述此類系統(tǒng)。MJLS是由隨機(jī)切換信號(hào)(即Markov鏈)協(xié)調(diào)系統(tǒng)模態(tài)間切換的隨機(jī)切換系統(tǒng)。對(duì)于MJLS的穩(wěn)定性研究結(jié)論有均方穩(wěn)定(mean-square,MS)、幾乎處處穩(wěn)定(exponential almost-sure stability,EAS)等。

由于混雜系統(tǒng)的復(fù)雜性，通過對(duì)切換系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)作變化，可將切換系統(tǒng)分為不同類型。本文中的切換正系統(tǒng)結(jié)構(gòu)是受到確定性切換信號(hào)和隨機(jī)切換信號(hào)的影響的離散時(shí)間雙切換線性正系統(tǒng)(discrete-time dual-switched linear positive systems，DDSLPS)。

在DDSLPS中，子系統(tǒng)由多個(gè)不同的MJLS構(gòu)成。每個(gè)MJLS子系統(tǒng)服從不同的Markov鏈。第一層切換由確定性切換信號(hào)γk控制MJLS子系統(tǒng)間的切換。第二層切換由各MJLS的Markov鏈σk控制系統(tǒng)模態(tài)間的切換。在Markov子系統(tǒng)間發(fā)生切換時(shí)，各Markov系統(tǒng)模態(tài)也在同時(shí)發(fā)生切換。相比一般切換正系統(tǒng)只有一個(gè)切換信號(hào)來控制系統(tǒng)運(yùn)行，例如MJLS由Markov鏈控制系統(tǒng)模態(tài)間的切換，DDSLPS必須考慮確定性切換信號(hào)與隨機(jī)切換信號(hào)對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的影響，以及系統(tǒng)的正性。因此，DDSLPS的穩(wěn)定性分析和鎮(zhèn)定分析比普通切換系統(tǒng)更加復(fù)雜。

對(duì)于離散時(shí)間切換系統(tǒng)而言，其采樣周期受到時(shí)滯的影響。時(shí)滯可以是系統(tǒng)中控制器的計(jì)算延遲，也可以是控制器和監(jiān)控器的通信延遲等。這些未知的、時(shí)變的、有界的時(shí)滯，稱為系統(tǒng)中存在的指數(shù)參數(shù)不確定性。有學(xué)者在文獻(xiàn)[4]中提出了含有指數(shù)不確定性的連續(xù)時(shí)間線性系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定問題,將指數(shù)不確定性轉(zhuǎn)換為一個(gè)服從加性模有界不確定性的混雜多面體模型。受到此方法的影響，本文將含有指數(shù)不確定的DDSLPS轉(zhuǎn)換為模有界不確定性的系統(tǒng)進(jìn)行研究。

系統(tǒng)性能不僅受到內(nèi)部參數(shù)改變和時(shí)滯帶來的影響，也容易受到外部擾動(dòng)的影響。為了衡量切換正系統(tǒng)的抗干擾能力，通常用L1增益性能來評(píng)估系統(tǒng)干擾抑制水平性能。L1增益系數(shù)越小,系統(tǒng)的干擾抑制水平越高。所以對(duì)切換正系統(tǒng)的抗干擾性能分析引起了廣泛的關(guān)注。文獻(xiàn)[5]研究了切換正系統(tǒng)L1增益性能分析對(duì)實(shí)際生產(chǎn)系統(tǒng)中的應(yīng)用，利用Co-positive Lyapunov函數(shù)方法,研究了在駐留時(shí)間限制下存在時(shí)延的離散時(shí)間切換正系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性以及L1增益性能，并得到時(shí)延對(duì)系統(tǒng)L1增益性能的影響。文獻(xiàn)[6]利用線性編程(linear programming,LP)對(duì)離散時(shí)間正MJLS進(jìn)行L1增益分析并進(jìn)行正濾波器設(shè)計(jì)。利用線性Lyapunov函數(shù)構(gòu)建一個(gè)“等價(jià)”的確定離散時(shí)間線性系統(tǒng)，給出的充分條件能保證系統(tǒng)隨機(jī)穩(wěn)定并有L1增益性能。

本文在以上研究的基礎(chǔ)上，將切換正系統(tǒng)以及離散時(shí)間正MJLS對(duì)L1增益性能的研究方法應(yīng)用到DDSLPS中。針對(duì)存在指數(shù)不確定性的DDSLPS,通過結(jié)合Co-positive Lyapunov能量衰減函數(shù)、MJLS的暫態(tài)分析、PDT等主要理論方法,證明DDSLPS在擾動(dòng)為零時(shí)魯棒-幾乎處處穩(wěn)定(Ronust-exponential almost-sure stability,Ronust-EAS),并將此證明方法推廣應(yīng)用于系統(tǒng)L1增益性能分析中。仿真分析充分驗(yàn)證了結(jié)論的正確性。

1 問題描述

本文考慮如下的DDSLPS：

(1)

定義1 系統(tǒng)(1)對(duì)于所有的x0≥0、wk≥0;對(duì)于k∈N,都有x0≥0、zk≥0。

注1 為了便于穩(wěn)定性分析,將利用指數(shù)不確定性的相關(guān)引理，把具有指數(shù)不確定性的雙切換離散時(shí)間線性系統(tǒng)表示為具有附加范數(shù)有界不確定性的雙切換離散時(shí)間線性多面體系統(tǒng)。

L(ρ)=L0+L1ρ+L2ρ2+…+Lhρh

(2)

所以能找到一個(gè)具有(h+1)個(gè)頂點(diǎn)的凸組合L(ρ),使得：

(3)

(4)

不確定參數(shù)ρ和μl(ρ)的關(guān)系如下：

(5)

(6)

式中：sup表示最小上確界。

注2 綜上可知,具有指數(shù)不確定性的雙切換離散時(shí)間線性系統(tǒng)已經(jīng)表示為具有附加范數(shù)有界不確定性的雙切換離散時(shí)間線性多面體系統(tǒng),如式(6)所示。系統(tǒng)模型(1)中同時(shí)包括了具有多項(xiàng)式的不確定性的雙切換離散時(shí)間線性系統(tǒng)和具有范數(shù)有界不確定性的雙切換離散時(shí)間線性系統(tǒng)。因此,系統(tǒng)(1)可以用于對(duì)具有復(fù)雜切換特性的系統(tǒng)建模。

注3 為了研究確定性切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性，接下來將闡述持續(xù)駐留時(shí)間PDT 方法。

定義2[9]考慮切換時(shí)刻k0,k1,...,kn。其中,k0=0。假如存在無數(shù)個(gè)長(zhǎng)度大于τ的不相交區(qū)間,且具有該性質(zhì)的連續(xù)區(qū)間被一個(gè)不大于T的時(shí)間間隔分割,則常數(shù)τ被稱為PDT、T被稱為持續(xù)周期。

注4 PDT由切換規(guī)則相同的階段構(gòu)成。每個(gè)階段均包括τ和T這兩部分。在τ部分中,只有一個(gè)任意的子系統(tǒng)激活并且作用時(shí)間至少為τ。在T部分中,有多個(gè)子系統(tǒng)激活。每個(gè)子系統(tǒng)的作用時(shí)間小于τ且所有子系統(tǒng)的激活總時(shí)間小于T。

DDSLPS結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 DDSLPS結(jié)構(gòu)圖

DDSLPS的切換序列如圖2所示。

圖2 DDSLPS PDT切換序列

{kn,kn+1,…,kn+τn-1}表示確定性切換信號(hào)γk在區(qū)間[kn,kn+1)的切換時(shí)刻。{τ1,τ2,…,τl}表示隨機(jī)切換信號(hào)σk在[τ1,τl)的切換時(shí)刻。(kn+1)表示第p個(gè)階段中時(shí)刻kn的下一個(gè)切換時(shí)刻。kn+1表示第(p+1)個(gè)階段的切入時(shí)刻。

(7)

等價(jià)于：

(8)

式中：Φ(0,k)為系統(tǒng)(1)的隨機(jī)轉(zhuǎn)移矩陣。

則在初始概率分布F=[f1,f2…fN]已知時(shí)，有以下等式成立：

(9)

(10)

定義4 當(dāng)常數(shù)x>0, 若系統(tǒng)(1)滿足以下兩個(gè)條件。

①任意初始條件下,當(dāng)沒有外部擾動(dòng)的時(shí)候,系統(tǒng)是魯棒EAS穩(wěn)定的。

②在零初始條件下,對(duì)于所有非零干擾wk都滿足所有的可容許不確定性下,有：

(11)

注5 對(duì)于DDSLPS而言，由于數(shù)量之和對(duì)于正系統(tǒng)更可取,使用向量的1范數(shù)定義的L1增益更適合于評(píng)估性能。x為外部擾動(dòng)抑制度。x越小，表明系統(tǒng)抵御外界干擾的能力越強(qiáng)。

2 主要結(jié)果

2.1 Robust-EAS穩(wěn)定性

當(dāng)系統(tǒng)中擾動(dòng)輸入為零時(shí)，系統(tǒng)(1)可以表示為:

(12)

接下來，給出系統(tǒng)(12)Robust-EAS穩(wěn)定的充分條件。

(13)

(14)

(15)

(16)

此處：

(17)

(18)

(19)

(20)

在區(qū)間[τl,kn+1)上，只有隨機(jī)切換系統(tǒng)b模態(tài)在作用。由條件式(14)、條件(15)以及重復(fù)步驟(17)、步驟(18)，可以得到:

(21)

從條件(9)、條件(10)可以得到:

由αj、βj的等式可以得到：

E{lnVkn+1}=βj+αjΔk+E{lnVτ1}

(22)

由此，即可證明系統(tǒng)(1)在wk=0 是魯棒EAS穩(wěn)定的。

2.2 L1增益性能

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

由條件(14)、條件(15)、條件(24)，得出:

(28)

由式(28)可以得到：

(29)

接下來，按照之前證明wk=0 的步驟，可以得到系統(tǒng)在wk≠0 系統(tǒng)(1)E{Vk}<0。令：

(30)

由式(30)以及條件(23)、條件(25)，可得：

(31)

證明出DDSLPS具有L1增益性能。

3 數(shù)值仿真

根據(jù)條件(18)，系統(tǒng)(1)要保證魯棒EAS穩(wěn)定，那么PDT的限制為T<0.860 1τ-1.86。選取T=12、τ=22，并選擇以下的PDT限制的周期確定切換信號(hào)γk。

式中：n=0,1,2,…；M為確定性切換信號(hào)的周期，M=35。

確定性切換信號(hào)γk如圖3所示。圖3中：1階段的M為0；2階段的M為1。

圖3 γk信號(hào)示意圖

圖4為系統(tǒng)(1)在w=0、初始條件為x0=[0.6 1]T時(shí)的 7次樣本實(shí)現(xiàn)。顯然，系統(tǒng)(1)是魯棒EAS穩(wěn)定的。

圖的7次樣本實(shí)現(xiàn)(w =0)

為考慮擾動(dòng)抑制性能，外部擾動(dòng)wk設(shè)置為方波信號(hào)：

方波信號(hào)如圖5所示。

Fig.5 wk信號(hào)示意圖

的7次樣本實(shí)現(xiàn)(wk ≠0)

4 結(jié)論

魯棒穩(wěn)定以及擾動(dòng)抑制問題是研究混雜系統(tǒng)穩(wěn)定性的重要問題。本文對(duì)含有指數(shù)不確定性的DDSLPS的L1增益性能進(jìn)行了研究。首先，將指數(shù)不確定性轉(zhuǎn)換為附加范數(shù)有界不確定性。然后，利用PDT方法限制確定性切換信號(hào)，并基于正系統(tǒng)的理論中的Co-positive Lyapunov能量衰減函數(shù)法以及MJLS暫態(tài)分析理論，給出了保證DDSLPS Robust-EAS穩(wěn)定的充分條件，并將此方法推廣得到DDSLPS滿足L1增益性能指標(biāo)x的充分條件中。最后，得到DDSLPS不僅滿足Robust-EAS且系統(tǒng)具有L1增益性能的充分條件。該條件利用Matlab的LP得出,減少了計(jì)算復(fù)雜度。仿真算例充分證明了結(jié)論的正確性。