樊海豪,朱劉昊,臺玉萍,李新忠,3?

(1河南科技大學(xué)物理工程學(xué)院,河南 洛陽 471023;2河南科技大學(xué)化工與制藥學(xué)院,河南 洛陽 471023;3中國科學(xué)院西安光學(xué)精密機械研究所瞬態(tài)光學(xué)與光子技術(shù)國家重點實驗室,陜西 西安 710119)

0 引言

1992年,Allen等[1]提出渦旋光束具有exp(jlθ)的螺旋波前,同時攜帶每光子l?的軌道角動量(OAM),其中l(wèi)是拓撲荷值,θ是方位角,?是簡化普朗克常量。OAM為結(jié)構(gòu)光場提供了一個額外的自由度,因此,渦旋光束已成為光學(xué)領(lǐng)域重要的研究熱點,被廣泛應(yīng)用于微粒操縱[2?5]、光通信[6]、光學(xué)測量[7,8]、光學(xué)成像[9]等領(lǐng)域。

產(chǎn)生渦旋光束的常見方法主要包括幾何模式轉(zhuǎn)換法[10]、螺旋相位板法[11]、計算全息法[12]等。其中,計算全息法原理簡單易行,為產(chǎn)生渦旋光束提供了更簡便的方式,國內(nèi)外學(xué)者進行了廣泛的研究[13?16]。然而,對于傳統(tǒng)的渦旋光束,亮環(huán)半徑會隨著拓撲荷的增加而增大,限制了其在光纖耦合等方面的應(yīng)用。為解決這一問題,2013年,Ostrovsky等[17]利用空間光調(diào)制器產(chǎn)生了一種亮環(huán)半徑與拓撲荷無關(guān)的完美渦旋光束,此后研究人員對完美渦旋光束的實驗產(chǎn)生以及特性做了大量研究[18];2014年,Garca-Garca等[19]提出了一種基于寬脈沖近似貝塞爾函數(shù)截斷法產(chǎn)生完美渦旋光束的方法,在文獻[17]的基礎(chǔ)上簡化了實驗裝置;2015年,Vaity和Rusch[20]將錐透鏡函數(shù)與螺旋相位函數(shù)相結(jié)合,并利用貝塞爾光束的傅里葉變換特性產(chǎn)生了亮環(huán)半徑可控的完美渦旋光束,實現(xiàn)了完美渦旋光束半徑的在線調(diào)節(jié);2016年,本課題組提出了一種完美渦旋光束亮環(huán)空間位置和半徑的自由調(diào)控技術(shù),并得到了錐角與亮環(huán)半徑的函數(shù)關(guān)系[21]。2018年,本課題組提出了一種完美渦旋光束的模式自由變換技術(shù)[22]。

上述工作通過在空間光調(diào)制器上加載計算機生成的相位掩模板來生成完美渦旋光束,在實驗中會得到包含多個衍射級的一維光學(xué)渦旋陣列,該陣列中的每一級衍射光束都攜帶軌道角動量,但目前針對完美渦旋光束的研究及應(yīng)用中大部分局限于其+1級衍射級上的完美渦旋光束的物理性質(zhì),并未詳細分析高階衍射級的完美渦旋光束的產(chǎn)生及其特性,并且在實驗過程中入射光的能量會被分散到各個衍射級,僅對+1級衍射光束進行研究及應(yīng)用會導(dǎo)致能量利用率有限[23]。

本文首先對利用全息法產(chǎn)生的不同衍射級的完美渦旋光束進行了理論分析,并利用空間光調(diào)制器實驗產(chǎn)生了包含高階衍射級的一維光學(xué)渦旋陣列,利用球面波干涉,對+1級和高階衍射級上的完美渦旋光束的空間特性進行了實驗研究,詳細分析了不同衍射級上完美渦旋光束的光強分布和拓撲荷值與衍射級的關(guān)系,進而研究了包含多個光學(xué)渦旋的光學(xué)渦旋陣列在高階衍射級中每個光學(xué)渦旋的拓撲荷值與衍射級的關(guān)系。

1 理論分析

為探究基于全息原理產(chǎn)生的高階衍射級完美渦旋光束的軌道角動量,從衍射原理出發(fā),假設(shè)極坐標(r,φ)下入射到空間光調(diào)制器的高斯光束的電場表達式為

式中:w0為高斯光束束腰半徑,A為振幅常數(shù)。加載到空間光調(diào)制器的相位掩模板透過率函數(shù)為[24]

式中:tp為透射系數(shù),參數(shù)α=2π(n?1)γ/λ是錐透鏡的錐角(單位為弧度),n為錐透鏡折射率,γ是錐透鏡的底角,λ是入射光波長,p表示衍射級數(shù),m是相位掩模板的拓撲荷值,D是光柵的周期。

在焦距為f的凸透鏡的焦平面上,利用衍射積分可以得到其強度分布為

式中:(ρ,θ)表示傅里葉平面上的笛卡爾坐標系,λ是波長,?是相位掩模板的區(qū)域面積。將(1)、(2)式代入(3)式,并對相位掩模板區(qū)域?進行積分,得到其衍射積分表達式

在透鏡焦平面上,對于高階衍射級需采用新的笛卡爾坐標(ρ±p,θ±p)進行積分,并通過下列變換與原笛卡爾坐標 (ρ,θ)建立聯(lián)系[25]

為方便求解積分,將錐透鏡函數(shù)展開成泰勒級數(shù)

將(5)、(6)式代入(4)式,經(jīng)過積分得到不同衍射級的光場表達式

式中:wf=λf/πw0,Γ(·)為伽瑪函數(shù),M(·)表示合流超幾何函數(shù)。由(7)式可知,傅里葉平面的光場由不同衍射級的衍射光束組成,并且都含有exp[imp(θ±p+π/2)]項。可見當衍射級p=1時,+1級衍射級具有與相位掩模板相同的拓撲荷值;而當p>1時,高階衍射級的衍射光束的拓撲荷值為mp,因此高階衍射級的衍射光束相對+1級衍射光束攜帶更大的軌道角動量。

利用計算全息原理制作的相位掩模板如圖1所示,通過計算機編程將錐透鏡的透射率函數(shù)與渦旋光束的螺旋相位函數(shù)疊加,并與平面波干涉后得到相位掩模板。

圖1 相位掩模板的產(chǎn)生過程。(a)錐透鏡透過率函數(shù)相位圖;(b)渦旋光束相位圖;(c)平面波相位圖;(d)相位掩模板Fig.1 Generation of phase mask.(a)Phase pattern of axicon;(b)Phase pattern of vortex beams;(c)Phase pattern of plane waves;(d)Phase mask

2 實驗方案和裝置

為了驗證上述理論,實驗裝置如圖2所示。本實驗光路分為兩部分:完美渦旋光束產(chǎn)生光路和產(chǎn)生球面波的干涉光路。利用球面波來檢測不同衍射級的完美渦旋光束的拓撲荷值,在波長為532 nm的連續(xù)波固體激光器(功率為50 mW)后,放置空間針孔濾波器和凸透鏡L1(f1=200 mm)獲得平行光,平行光通過偏振片P1和分束器BS1后被分成兩束。一束光照射空間光調(diào)制器(SLM),SLM(HOLOEYE,PLUTO-VIS-016,像素尺寸:8μm×8μm)用于加載相位掩模板,調(diào)制的光束經(jīng)過另一偏振片P2和凸透鏡L2(f2=200 mm)進行傅里葉變換后得到完美渦旋光束,利用透鏡焦平面位置的CCD相機(Basler acA1600-60gc,像素尺寸為4.5μm×4.5μm)記錄完美渦旋光束的光強分布,光闌A用來選擇通過指定衍射級的完美渦旋光束,另一束擴展光束通過L3(f3=75 mm)透鏡轉(zhuǎn)換成球面波,與完美渦旋光束同軸干涉。

圖2 實驗裝置圖Fig.2 Schematic diagram of experimental setup

3 實驗結(jié)果與討論

通過在空間光調(diào)制器上分別加載錐角α=0.015?、拓撲荷值m=?2,+1,+2,+3的相位掩模板,可以得到不同衍射級的整數(shù)階完美渦旋光束。圖3為+1、+2以及+3衍射級上的整數(shù)階完美渦旋光束的光強分布及與球面波的干涉圖。干涉條紋數(shù)目為拓撲荷數(shù)值,條紋旋轉(zhuǎn)方向為順時針時,拓撲荷符號為正,反之為負。由圖3(b1)～(b4)干涉圖中條紋數(shù)量可知,+1級衍射光束的拓撲荷值等于m;而對于+2級衍射級的完美渦旋光束,如圖3(d1)～(d4)所示,可以看到,其干涉條紋數(shù)分別為2、4、6,表明其拓撲荷大小分別為2、4、6,是相位掩模板拓撲荷的2倍,且對于m=±2的完美渦旋光束,其干涉條紋旋轉(zhuǎn)方向相反,說明其拓撲荷值符號相反;同樣地,對于+3級衍射級的完美渦旋光束,由圖3(f1)～(f4)中的干涉條紋數(shù)可知,其拓撲荷大小分別為3、6、9,是相位掩模板拓撲荷的3倍,根據(jù)上述規(guī)律,+1級和高階衍射級上的完美渦旋光束的拓撲荷值l與衍射級數(shù)p滿足l=mp的關(guān)系,與理論分析一致。此外,為了更直觀地分析不同衍射級的完美渦旋光束亮環(huán)的半徑變化情況,根據(jù)圖3(a)～(e)的實驗結(jié)果繪制出不同衍射級的完美渦旋光束的半徑與衍射級p的變化關(guān)系圖,如圖3(g)柱狀圖所示,隨著衍射級的增大,完美渦旋光束的半徑逐漸增大,且當m取不同值時,在測量誤差范圍內(nèi)相同衍射級的完美渦旋光束半徑相同。

圖3 (a)～(f)不同衍射級的整數(shù)階完美渦旋光束的光強分布及與球面波的干涉圖;(g)不同衍射級的完美渦旋光束的半徑Fig.3 (a)～(f)Intensity distribution of integer order perfect vortex beams at different diffraction orders and interference patterns with a spherical wave;(g)Radius of perfect vortex beams of different diffraction orders

當完美渦旋光束的拓撲荷是非整數(shù)時稱為分數(shù)階完美渦旋光束,其可以看作是整數(shù)階完美渦旋光束的疊加。相對于整數(shù)階完美渦旋光束圓對稱的光強分布,分數(shù)階完美渦旋光束的環(huán)上會出現(xiàn)缺口,在微粒操縱等領(lǐng)域有著重要應(yīng)用價值[26],因此對不同衍射級上的分數(shù)階完美渦旋光束的研究也具有重要意義。為便于觀察實驗現(xiàn)象,在空間光調(diào)制器上分別加載拓撲荷值m=?2.5,+2.3,+2.5,+2.7的相位掩模板,可以得到不同衍射級上的分數(shù)階完美渦旋光束,如圖4所示。

當相位掩模板的拓撲荷值為分數(shù)時,+1級衍射光束會出現(xiàn)缺口,對比圖4(a2)、(a3)、(a4)可以發(fā)現(xiàn),衍射光束的拓撲荷值越接近半整數(shù),其缺口越大,且由對應(yīng)的干涉圖可知,隨著小數(shù)部分大于半整數(shù)時,逐漸產(chǎn)生一個新的螺旋干涉條紋。對于+3級衍射級,衍射光束都存在缺口,對于m=+2.3,±2.5,+2.7,由對應(yīng)的干涉圖可知其拓撲荷值整數(shù)部分分別為+6、±7、+8,然而從圖中不能直觀地確定其小數(shù)部分。但可以看出隨著衍射級的增大,分數(shù)階完美渦旋光束的拓撲荷隨之增大。對于+2級衍射光束,當m=+2.3,+2.7時,光強分布出現(xiàn)缺口,仍是分數(shù)階完美渦旋光束,由圖4(d2)、(d4)中干涉條紋的數(shù)目可知,其拓撲荷值大小的整數(shù)部分分別為4、5,同樣從圖中不能直觀地確定其小數(shù)部分。當m=±2.5時,衍射光束具有圓對稱的光強分布,不再是分數(shù)階完美渦旋光束,且由圖4(d1)、(d3)中干涉條紋的數(shù)目和旋轉(zhuǎn)方向可知,其拓撲荷值大小為5,符號相反,滿足l=mp的關(guān)系,與整數(shù)階完美渦旋光束拓撲荷與衍射級變化關(guān)系一致,且隨著衍射級的增大,分數(shù)階完美渦旋光束的半徑也會逐漸增大。若把入射的高斯光束看做0階渦旋光束,該關(guān)系式與文獻[16]通過數(shù)值仿真得到的結(jié)論相同。這說明在完美條件(δ函數(shù))[19]約束下,高階衍射級拓撲荷與入射光場的拓撲荷的關(guān)系保持穩(wěn)定。該結(jié)論再次證明了衍射光場與入射光場的關(guān)系取決于衍射屏透過率函數(shù)。若要獲得更加復(fù)雜、豐富的衍射光場,可通過設(shè)計特定的衍射屏函數(shù)來實現(xiàn)。

圖4 不同衍射級的分數(shù)階完美渦旋光束的光強分布及與球面波的干涉圖Fig.4 Intensity distribution of fractional order perfect vortex beams at different diffraction orders and interference patterns with a spherical wave

此外,相比于單個光學(xué)渦旋,光學(xué)渦旋陣列由于包含多個光學(xué)渦旋,具有更強的靈活性和潛在的應(yīng)用前景[27?31]。然而目前在相關(guān)研究和應(yīng)用中同樣主要關(guān)注和利用其+1級衍射光束的光強,高階衍射級的光學(xué)渦旋陣列光強分布特性還未見報道。拉蓋爾-高斯光束作為光子軌道角動量的本征態(tài),是近年來應(yīng)用較為廣泛的渦旋光束[1,32?34],因此,為不失一般性,此處利用文獻[35]的方法將兩束攜帶不同拓撲荷的拉蓋爾-高斯光束同軸疊加[35],通過實驗得到了+1級衍射級和高階衍射級的光學(xué)渦旋陣列強度分布。

圖5顯示了不同衍射級的光學(xué)渦旋陣列的實驗光強圖和球面波干涉圖。圖5(a1)～(c1)分別為+1、+2、+3衍射級的光學(xué)渦旋陣列的實驗光強圖,由圖可以看出,隨著衍射級的增大,光學(xué)渦旋陣列中的暗核逐漸增大。為了驗證該光學(xué)渦旋陣列中光學(xué)渦旋的拓撲荷的大小,采用球面波作為參考光進行干涉。在圖5(a2)～(c2)中,每個暗核對應(yīng)位置的干涉圖中出現(xiàn)叉絲,每個暗核處叉絲的分叉數(shù)量決定了拓撲荷值,由于實驗結(jié)果中暗核區(qū)域較大,所以圖中使用虛線來幫助識別叉絲的位置。由分叉數(shù)可知,+1、+2和+3級光學(xué)渦旋陣列中的單個光學(xué)渦旋的拓撲荷值l分別為+1、+2、+3,滿足l=p的關(guān)系,在高階衍射級處產(chǎn)生了高階光學(xué)渦旋陣列。文獻[27]、[28]分別利用相位翻倍技術(shù)和特定的拉蓋爾高斯光束疊加產(chǎn)生了高階光學(xué)渦旋陣列。本工作從產(chǎn)生方法方面更為簡便,為產(chǎn)生高階光學(xué)渦旋陣列提供了一種新思路,并且可以通過對高階衍射級上的光學(xué)渦旋陣列進行聚焦從而對微粒進行捕獲等操作,這在微粒操縱等領(lǐng)域有著潛在應(yīng)用價值。

圖5 不同衍射級的光學(xué)渦旋陣列的實驗光強圖及與球面波干涉圖Fig.5 Experimental intensity pattern of optical vortex array with different diffraction orders and the corresponding interference patterns with a spherical wave

4 結(jié)論

基于結(jié)合空間光調(diào)制器的計算全息原理,對高階衍射級的完美渦旋光場進行了理論分析,并通過實驗驗證了該理論的正確性。結(jié)果表明+1級整數(shù)階和分數(shù)階完美渦旋光束的拓撲荷值等于相位掩模板的拓撲荷m,而高階衍射級p上的整數(shù)階和分數(shù)階完美渦旋光束的拓撲荷值滿足l=mp,并且其半徑隨著衍射級的增大而增大,當m取不同值時,相同衍射級的完美渦旋光束半徑仍相同。并且通過對不同衍射級p上的光學(xué)渦旋陣列進行拓撲荷值測量,發(fā)現(xiàn)其每個光學(xué)渦旋的拓撲荷值為p。綜上,通過對+1級和高階衍射級的整數(shù)階和分數(shù)階完美渦旋光束及光學(xué)渦旋陣列進行對比分析,得到了軌道角動量規(guī)律,為光學(xué)渦旋及其陣列進一步的研究及應(yīng)用提供了理論和實驗參考。