石子堅(jiān)，趙德安，孫月平

（江蘇大學(xué)電氣信息工程學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013）

0 引言

在養(yǎng)殖作業(yè)過(guò)程中，水質(zhì)的好壞直接關(guān)系到河蟹的健康狀況，為保證產(chǎn)量與效益，必須每日對(duì)蟹塘水質(zhì)進(jìn)行檢測(cè)。傳統(tǒng)方法的檢測(cè)效率低下，隨著物聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的發(fā)展，遠(yuǎn)程監(jiān)測(cè)的應(yīng)用越來(lái)越廣泛。面對(duì)日益擴(kuò)大的養(yǎng)殖面積，多點(diǎn)自動(dòng)監(jiān)測(cè)的成本也不斷增加，因此移動(dòng)式檢測(cè)船的研究是十分必要的。為了保證檢測(cè)面積的覆蓋率，關(guān)鍵在于如何精確地沿著既定路徑前進(jìn)［1］。

結(jié)合中外研究文獻(xiàn)，針對(duì)航跡跟蹤控制的研究有很多，包括滑模控制、反步法控制及自抗擾控制等。如文獻(xiàn)［2］設(shè)計(jì)模型預(yù)測(cè)MPC 控制律，解決了模型約束問(wèn)題，但計(jì)算過(guò)程復(fù)雜；文獻(xiàn)［3］根據(jù)速度變化設(shè)計(jì)滑模控制器，提高了系統(tǒng)魯棒性；文獻(xiàn)［4］結(jié)合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化反步法控制器，使曲線路徑也能獲得很好的跟蹤效果；文獻(xiàn)［5］考慮到靜態(tài)舵角約束、執(zhí)行器飽和等問(wèn)題，在滑?？刂苹A(chǔ)上結(jié)合增量反饋，以實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定的動(dòng)態(tài)控制；文獻(xiàn)［6］采用最小參數(shù)法逼近不確定參數(shù)，通過(guò)指令濾波避免反步法的微分爆炸，實(shí)現(xiàn)船舶路徑跟蹤；文獻(xiàn)［7］引入無(wú)穩(wěn)態(tài)振蕩極值搜索算法對(duì)基于自抗擾控制器的設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行整定，以獲得更好的船舶航向跟蹤控制性能。然而，上述研究方法沒(méi)有考慮收斂速度，并且依靠嚴(yán)格的數(shù)學(xué)模型，計(jì)算過(guò)程繁瑣，不易于工程實(shí)現(xiàn)。

本文結(jié)合檢測(cè)船低速的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，將復(fù)雜直線路徑跟蹤問(wèn)題簡(jiǎn)化為航向保持控制，提出一種基于有限時(shí)間控制算法的航向控制律，通過(guò)分?jǐn)?shù)冪項(xiàng)提高收斂速度、簡(jiǎn)化控制律格式，使收斂過(guò)程快速、平滑，實(shí)現(xiàn)高精度的航向控制，并結(jié)合擴(kuò)展觀測(cè)器對(duì)時(shí)變擾動(dòng)與不確定的模型參數(shù)進(jìn)行估計(jì)與補(bǔ)償，增強(qiáng)了系統(tǒng)魯棒性，提高了系統(tǒng)的控制性能與動(dòng)態(tài)品質(zhì)。

1 水質(zhì)檢測(cè)船結(jié)構(gòu)及工作原理

1.1 水質(zhì)檢測(cè)船結(jié)構(gòu)

水質(zhì)檢測(cè)船船體主要包括：船身、左右兩個(gè)浮體、兩個(gè)明輪（浮體外側(cè)對(duì)稱(chēng)分布）、電控箱（用于存放控制電路板、GPS 等）、工作臺(tái)（用于固定GPS 天線、遠(yuǎn)程通信天線等）、駐泊電機(jī)（左右各兩個(gè)）、驅(qū)動(dòng)電機(jī)（左右各兩個(gè)）、多參數(shù)水質(zhì)傳感器等，如圖1 所示。圖中1 是明輪，2 是駐泊電機(jī)，3是電控箱，4 是船身，5 是浮體，6 是多參數(shù)水質(zhì)傳感器，7 是GPS、GPRS 的天線。

Fig.1 Water quality inspection ship圖1 水質(zhì)檢測(cè)船

1.2 水質(zhì)檢測(cè)船工作原理

自主移動(dòng)式水質(zhì)檢測(cè)船以蓄電池作為電源，以浮體兩側(cè)明輪作為驅(qū)動(dòng)裝置，調(diào)節(jié)兩側(cè)的轉(zhuǎn)速差產(chǎn)生扭矩，從而實(shí)現(xiàn)船體轉(zhuǎn)向［8］；通過(guò)直流推桿電機(jī)構(gòu)成的駐泊結(jié)構(gòu)，保證定點(diǎn)采樣時(shí)水體穩(wěn)定且檢測(cè)準(zhǔn)確；利用GPRS 網(wǎng)絡(luò)與手機(jī)APP 建立通信，養(yǎng)殖人員根據(jù)需求選擇手動(dòng)控制與自動(dòng)巡航兩種模式，檢測(cè)船根據(jù)相應(yīng)信息產(chǎn)生控制信號(hào)，實(shí)現(xiàn)對(duì)路徑的高精度跟蹤以及航向控制。

2 航向保持誤差動(dòng)力學(xué)模型

為提高檢測(cè)效率，一般采用全覆蓋式路徑［9］?？紤]到檢測(cè)船基于明輪驅(qū)動(dòng)、航速較慢的運(yùn)動(dòng)特性，轉(zhuǎn)彎部分可近似為若干轉(zhuǎn)向點(diǎn)組成的直線運(yùn)動(dòng)，因此本文主要研究直線航向保持。為了方便設(shè)計(jì)，在Serret-Frenet 坐標(biāo)系下研究航跡跟蹤問(wèn)題［10-11］，如圖2 所示。

Fig.2 Serret Frenet coordinate system圖2 Serret-Frenet 坐標(biāo)系

圖中，Ω為規(guī)劃好的目標(biāo)航跡，e為檢測(cè)船與目標(biāo)航跡距離，ψSF為目標(biāo)航向，ψ為檢測(cè)船航向角［12］。在直線航向保持方面，僅考慮縱蕩、橫蕩和艏搖3 個(gè)方向，忽略影響很小的垂蕩、橫搖和縱搖。與縱蕩速度相比，橫蕩速度很小，合速度近似于縱蕩速度，即前進(jìn)速度［13-14］。航向保持模型如下：

式（2）是典型的欠驅(qū)動(dòng)誤差動(dòng)力學(xué)模型，滿足嚴(yán)格的反饋形式。

下面給出有限時(shí)間控制證明相關(guān)知識(shí)。

定義1［15］考慮如下n維系統(tǒng)：

選取2017年6月～2018年6月我院收治的晚期非小細(xì)胞肺癌患者110例作為研究對(duì)象，將其隨機(jī)分為觀察組和對(duì)照組，各55例。110例患者中有70例為男性，有40例為女性；年齡為28～70歲，平均年齡為（48.7±12.3）歲；病例類(lèi)型：鱗癌患者50例，腺癌患者60例；排除標(biāo)準(zhǔn)：患有嚴(yán)重心系統(tǒng)、腎系統(tǒng)疾病、妊娠期和精神疾病等患者，所有患者的一般資料，均具有可比性無(wú)統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（P＞0.05）。

其中，f:D→Rn是定義在區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù)。有限時(shí)間收斂可定義為存在一個(gè)有限時(shí)間T(x0)，對(duì)于任意的t≥T(x0)，有如果系統(tǒng)是Lyapunov 穩(wěn)定且是有限時(shí)間收斂的，那么該系統(tǒng)被稱(chēng)為有限時(shí)間穩(wěn)定。

定義2［16］如果存在k∈R，對(duì)于任意ε＞0，V(εr1x1,εr2x2,…,εrn xn)=εkV(x1,x2,…,xn) 成 立，則 稱(chēng) 函 數(shù)V(εr1x1,εr2x2,…,εrn xn)關(guān)于擴(kuò)張系數(shù)(r1,r2,…,rn)是k次齊次的。如果 存 在k∈R，對(duì) 于 任 意ε＞0，fi(εr1x1,εr2x2,…εrn xn)=εk+ri fi(x1,x2,…xn),i= 1,2,…,n成 立，則 稱(chēng) 向 量 場(chǎng)f(x) =[f1(x),f2(x),…,fn(x)]T關(guān)于擴(kuò)張系數(shù)(r1,r2,…,rn)是k次齊次的。對(duì)于系統(tǒng)（3），如果f是k次向量場(chǎng)，則稱(chēng)該系統(tǒng)為k次齊次系統(tǒng)。

引理1［17-18］假定系統(tǒng)（3）關(guān)于擴(kuò)張系數(shù)(r1,r2,…,rn)是k次齊次的，f(x)連續(xù)且x= 0 是其漸近穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。如果k＜0，則平衡點(diǎn)x= 0 全局有限時(shí)間穩(wěn)定。

3 控制律設(shè)計(jì)

3.1 有限時(shí)間控制器設(shè)計(jì)

通過(guò)GPS 設(shè)備采集、主控板計(jì)算等，得到航向角與目標(biāo)航向的誤差值，將誤差值送入控制器，經(jīng)過(guò)運(yùn)算得出左右電機(jī)的驅(qū)動(dòng)信號(hào)，分別實(shí)現(xiàn)對(duì)兩側(cè)明輪的控制?？紤]航向誤差控制系統(tǒng)（見(jiàn)式（2）），如果設(shè)計(jì)如下有限時(shí)間控制器：

其中，k1＞0，k2＞0，α1∈(0,1)，α2= 2α1/(1+α1)。將式（4）代入式（2），可得到如下閉環(huán)系統(tǒng)：

定理1當(dāng)系統(tǒng)無(wú)干擾時(shí)（d= 0），對(duì)于欠驅(qū)動(dòng)航向控制系統(tǒng)（見(jiàn)式（5）），在控制律（見(jiàn)式（4））作用下閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，輸出誤差漸進(jìn)收斂至零。

3.2 穩(wěn)定性證明

考慮如下Lyapunov 候選函數(shù)：

則V關(guān)于系統(tǒng)（2）的全導(dǎo)數(shù)為：

將系統(tǒng)（5）代入式（7）中可得：

當(dāng)且僅當(dāng)r= 0 或= 0 時(shí)，= 0。根據(jù)LaSalle 的不變性［19］，系統(tǒng)全局漸進(jìn)穩(wěn)定。根據(jù)齊次系統(tǒng)定義（即定義2），因?yàn)棣?∈(0,1)，α2= 2α1/(1+α1)，在控制律（見(jiàn)式（4））的作用下，二階系統(tǒng)（見(jiàn)式（5））關(guān)于擴(kuò)張系數(shù)(r1,r2)= (1,(1+α1)/2)的齊次度為k= (α1- 1)/2 ＜0，所以根據(jù)引理1，閉環(huán)系統(tǒng)全局有限時(shí)間穩(wěn)定。證畢。

3.3 擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)

在存在外部擾動(dòng)的情況下，需要通過(guò)觀測(cè)器對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)量與擾動(dòng)進(jìn)行估計(jì)，并且將對(duì)擾動(dòng)的補(bǔ)償控制反饋到系統(tǒng)中。其中，擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)如下：

式中，z1是對(duì)當(dāng)前航向的估計(jì)，z2是對(duì)實(shí)際航向變化率的估計(jì)，z3是航向擾動(dòng)估計(jì)值，e為估計(jì)航向與實(shí)際航向誤差，β1、β2、β3、α為觀測(cè)器增益參數(shù)。

針對(duì)存在誤差擾動(dòng)的航向控制系統(tǒng)（見(jiàn)式（5）），設(shè)計(jì)控制器為：

其中，k1＞0，k2＞0，α1∈(0,1)，α2= 2α1/(1+α1)。誤差系統(tǒng)e隨著時(shí)間收斂到零，定理1 已證明控制律（見(jiàn)式（4））穩(wěn)定收斂，因此在控制律（見(jiàn)式（10））的作用下，航向誤差控制系統(tǒng)（見(jiàn)式（5））可在有限時(shí)間內(nèi)收斂到零，即實(shí)現(xiàn)目標(biāo)航向跟蹤。

4 仿真分析

自主移動(dòng)式水質(zhì)檢測(cè)船的原始參數(shù)見(jiàn)文獻(xiàn)［20］，動(dòng)力學(xué)模型參數(shù)a1= 0.056 22，b= 0.000 7613。由于實(shí)際情況下存在飽和約束，因此控制舵角輸入 |δ|≤35°。觀察控制律（見(jiàn)式（3）），-a1r/b用于抵消模型（見(jiàn)式（2））中的非線性項(xiàng)，當(dāng)α1= 0 時(shí)，控制律則近似于經(jīng)典的PD 控制。在有限時(shí)間控制律（見(jiàn)式（10））中，k1、k2可分別實(shí)現(xiàn)對(duì)航向角與角速度的有效調(diào)節(jié)，要合理選擇設(shè)計(jì)方式才能保證該系統(tǒng)的穩(wěn) 定 收 斂。設(shè) 置k1= 2，k2= 3，α1= 0.6，初 始 狀 態(tài) 為[ -30 0 ]，期望為[ 0 0 ]，在有時(shí)變擾動(dòng)d= sint時(shí)，仿真結(jié)果如圖3、圖4 所示。

Fig.3 Heading angle error with disturbance圖3 有擾動(dòng)下的航向角誤差

Fig.4 Yaw angular velocity with disturbance圖4 有擾動(dòng)下的艏搖角速度

從圖3 可以看出，針對(duì)航向角誤差，相較于PD 控制，本文提出的控制器收斂更加平穩(wěn)，收斂速度也有顯著提升；在外界擾動(dòng)的作用下，擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器能很好地對(duì)擾動(dòng)進(jìn)行估計(jì)與補(bǔ)償，有著更好的魯棒性。由圖4 可以看出，本文方法的艏搖角速度明顯更小，所需的穩(wěn)定時(shí)間也更短。而且在實(shí)際工程應(yīng)用中，由于明輪船的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，艏搖角速度不宜過(guò)大。因此，本文提出的控制器可滿足要求。干擾估計(jì)如圖5 所示。

Fig.5 Interference estimation圖5 干擾估計(jì)

5 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)河蟹養(yǎng)殖水質(zhì)檢測(cè)船路徑跟蹤的航向保持控制，基于齊次性理論設(shè)計(jì)一種結(jié)合擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器的有限時(shí)間控制器，并給出了穩(wěn)定性證明與分析。仿真結(jié)果驗(yàn)證了該控制器的有效性，并且控制器中的分?jǐn)?shù)次冪項(xiàng)與擾動(dòng)觀測(cè)對(duì)于外部時(shí)變擾動(dòng)有著較好的魯棒性，可達(dá)到路徑跟蹤的目的。

雖然與傳統(tǒng)線性控制相比，本文設(shè)計(jì)的控制器有著不錯(cuò)的控制性能，但是本文研究是基于直線航跡的航向保持，對(duì)于曲線、轉(zhuǎn)彎部分近似成直線進(jìn)行處理，并且對(duì)復(fù)雜的外部擾動(dòng)進(jìn)行了簡(jiǎn)化。因此，在后續(xù)研究中，需要對(duì)多種路徑情況進(jìn)行分析討論，對(duì)外界擾動(dòng)進(jìn)行更深入的研究，以期實(shí)現(xiàn)更加精確的路徑跟蹤。