孫曉燕，吳天昊，黃 慶，田永寧，李成金

(蘇州城市學(xué)院 光電與能源工程系，江蘇 蘇州 215104)

電磁感應(yīng)教學(xué)中經(jīng)常用到的一個(gè)實(shí)驗(yàn)是：分別將非磁體和小磁鐵從豎直放置的鋁管或銅管等類似的非鐵磁金屬管的頂端釋放(本文實(shí)驗(yàn)用的是鋁管，以下統(tǒng)稱鋁管)，觀察兩種物體在管中下落運(yùn)動(dòng)的區(qū)別.前者的下落相當(dāng)于常見的在空氣中的自由落體運(yùn)動(dòng).而后者的下落，由于電磁感應(yīng)和安培力的作用，顛覆了學(xué)生已有的認(rèn)知，從而激發(fā)學(xué)生試圖描述磁體運(yùn)動(dòng)規(guī)律的好奇心.事實(shí)上，定量地描述或測(cè)量磁體在鋁管中的下落運(yùn)動(dòng)，需要用到電磁感應(yīng)定律、安培定律、牛頓第二定律等定理和霍爾元件、嵌入式系統(tǒng)等知識(shí)和技術(shù).

1 實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、?shí)驗(yàn)儀器及原理

1.1 實(shí)驗(yàn)?zāi)康?/h3>

磁體在鋁管中下落時(shí)，由于電磁感應(yīng)在鋁管中將產(chǎn)生感應(yīng)電流，根據(jù)楞次定律或安培定律，此感應(yīng)電流會(huì)阻礙磁體的下落，其加速度會(huì)變小，但速度會(huì)繼續(xù)增大，感應(yīng)電流也會(huì)增大，當(dāng)管中的感應(yīng)電流所受安培力(其反作用力作用在磁體上，方向向上)的大小等于重力時(shí)，速度達(dá)到最大值vT，并以此速度勻速下落，此速度稱為終結(jié)速度.本文將通過建立感應(yīng)電流與磁體相互作用的模型，表征下落磁體所受的力，寫出并求解牛頓動(dòng)力學(xué)方程，得到磁體下落的速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系v(t).從而達(dá)到定量描述鋁管中磁體下落規(guī)律的目的.為了驗(yàn)證所得到的速度與時(shí)間關(guān)系v(t)的正確性，本文使用霍爾元件為傳感器，通過嵌入式系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)對(duì)磁體速度的測(cè)量和速度-時(shí)間圖像的描繪.本文的具體實(shí)驗(yàn)?zāi)康娜缦滤觯?/p>

1) 通過實(shí)驗(yàn)，展示電磁感應(yīng)現(xiàn)象，并定性地研究鋁管中磁體下落的規(guī)律，同時(shí)強(qiáng)化楞次定律的理解；

2) 通過簡(jiǎn)化磁體與大塊鋁材中感應(yīng)電流(電動(dòng)勢(shì))相互作用的處理，培養(yǎng)學(xué)生針對(duì)原始物理(或?qū)嶋H)問題建立簡(jiǎn)化模型并應(yīng)用物理規(guī)律解決實(shí)際問題的能力；

3) 通過對(duì)下落磁體受力分析，建立動(dòng)力學(xué)方程，并應(yīng)用高等數(shù)學(xué)(實(shí)際上是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)查閱數(shù)學(xué)手冊(cè))，求出速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系v(t)；

4) 通過霍爾元件的使用，使學(xué)生了解將磁學(xué)量轉(zhuǎn)化為電學(xué)量的原理[1]，并給出具體的應(yīng)用實(shí)例；

5) 通過嵌入式系統(tǒng)的使用，使學(xué)生了解智能系統(tǒng)在測(cè)量與控制中的作用，從而引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注智能制造.

1.2 實(shí)驗(yàn)儀器及原理

1.2.1 實(shí)驗(yàn)儀器

本實(shí)驗(yàn)儀器如圖1所示，采用的元件有：1) 邊長(zhǎng)為a=10 mm的釹鐵硼立方磁體(強(qiáng)磁體)；2) 正方形截面的鋁管，內(nèi)邊長(zhǎng)20 mm，壁厚d1=3 mm或d2=2 mm(可選)；3) STM32嵌入式測(cè)量與顯示系統(tǒng)，包括27個(gè)霍爾元件與27個(gè)LED管，HMI液晶顯示系統(tǒng)，PCB板；4)三腳架.

圖1 磁體下落示意與測(cè)量顯示元件

1.2.2 實(shí)驗(yàn)原理

1) 建模與動(dòng)力學(xué)方程求解

如圖1所示，設(shè)磁體的邊長(zhǎng)為a，質(zhì)量為m，鋁管壁厚為d，電導(dǎo)率為σ.為了建模方便，本實(shí)驗(yàn)中將磁體的兩極水平放置，設(shè)左邊為N極，右邊為S極，其中心與鋁管的截面中心重合，并且磁體的表面與鋁管內(nèi)壁平行.鋁管固定于三腳架上，保持豎直.當(dāng)磁體自鋁管頂端入口處釋放時(shí)，磁體將進(jìn)入管中.設(shè)磁體下落至某一位置時(shí)的速度為v，此時(shí)磁體左邊管壁的磁場(chǎng)區(qū)(由磁體形成)的下部的磁場(chǎng)將會(huì)由于磁體下落而增加，從而產(chǎn)生逆時(shí)針方向的感應(yīng)電流，此電流在磁場(chǎng)中也會(huì)受到向下的安培力，其反作用力作用在磁體上，方向向上，如圖2所示.

圖2 左邊管壁的受力分析

同時(shí)該磁場(chǎng)區(qū)上部的磁場(chǎng)減小，從而產(chǎn)生順時(shí)針的感應(yīng)電流，此電流在磁場(chǎng)中受到向下的安培力，其反作用力作用在磁體上，方向也向上.而磁體右邊的管壁的情況與左邊是一樣的，磁體所受合力也向上.在理想情況下，磁體上各處所受向上的力相等，因此，磁體在管中保持平動(dòng).

根據(jù)動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的計(jì)算公式，磁體在左、右管壁產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)均為Bav，該電動(dòng)勢(shì)在導(dǎo)體中形成渦電流，此渦電流在磁體形成的磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)非常集中，而在其他區(qū)域則很分散，以至于在磁體之外的區(qū)域電阻可以忽略.于是在渦電流所形成的等效回路中的電阻近似等于磁場(chǎng)區(qū)域所覆蓋的管壁的電阻R，即

(1)

其中，ρ和σ分別為鋁管的電阻率和電導(dǎo)率，且ρ=1/σ，而d為鋁管的厚度.于是感應(yīng)電流的大小為

(2)

此電流所受的安培力為

F安培=BIa=B2σa2vd

(3)

根據(jù)前面的分析，此力方向向下，其反作用力作用在磁體上，方向向上，磁體的右面相同.故磁體所受來自于電流的合力為

F=2B2σa2vd

(4)

考慮到重力和牛頓第二定律，可得磁體所滿足的動(dòng)力學(xué)方程為

(5)

(6)

上式經(jīng)過整理和分離變量，得

(7)

式(7)通過積分[1]，并取自然指數(shù)，整理得

(8)

式(8)即是磁體下落的速度v與時(shí)間t的關(guān)系函數(shù)，根據(jù)此式可得出如下結(jié)論：

① 當(dāng)t=0時(shí)，v=0；

② 當(dāng)時(shí)間t增加時(shí)，速度隨著增加，其v-t曲線如圖3所示.

圖3 磁體下落的速度與時(shí)間的關(guān)系

③t→∞時(shí)，有

(9)

即速度趨于一個(gè)常量，這就是說時(shí)間足夠長(zhǎng)時(shí)，磁體將會(huì)達(dá)到勻速，就是磁體的收尾速度.

④ 在式(8)的e指數(shù)中，除了t之外的其它量可用一個(gè)參量τ來表示，即

(10)

此參量具有時(shí)間的單位，稱為系統(tǒng)的時(shí)間常量[2].

2) 速度測(cè)量系統(tǒng)

從鋁管的上端到底部安裝細(xì)的PCB板，PCB板上每隔50 mm焊接一組霍爾元件與LED管，即為一組測(cè)量和顯示單元，共27組，期間共計(jì)有26個(gè)相等的間距(位移，即50 mm)，如圖1所示.測(cè)量單元之間相互并聯(lián)后再與直流電源、分壓電阻串聯(lián)成回路，分壓電阻兩端通過導(dǎo)線接入STM32最小系統(tǒng)，連接HMI屏幕用于顯示測(cè)量數(shù)據(jù)，系統(tǒng)以+5 V電源供電，結(jié)構(gòu)框圖如圖4所示.整個(gè)裝置固定放置在非鐵磁材料的三角支架上.

圖4 STM32測(cè)量顯示系統(tǒng)

當(dāng)磁鐵通過霍爾元件時(shí)，霍爾元件信號(hào)端輸出低電平，LED管發(fā)光以顯示磁體正在經(jīng)過.通過單片機(jī)記錄此時(shí)的時(shí)間，并由程序算出磁體經(jīng)過相鄰兩個(gè)傳感器的時(shí)間間隔及通過的平均速度，并在屏幕上顯示.

2 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與結(jié)果分析

2.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

2.1.1 磁體通過每段位移的時(shí)間及平均速度

本系統(tǒng)經(jīng)調(diào)試、運(yùn)行正常后，進(jìn)行了若干次實(shí)驗(yàn)測(cè)量，輸出數(shù)據(jù)基本穩(wěn)定.表1是某次測(cè)量的數(shù)據(jù)記錄.

2.1.2 收尾速度與磁感應(yīng)強(qiáng)度的計(jì)算

從表1中的數(shù)據(jù)可見，磁體通過前三段位移后，速度基本達(dá)到了最大值，并趨于穩(wěn)定，這就是終結(jié)速度或收尾速度vT.實(shí)驗(yàn)中，本文測(cè)量了磁體的質(zhì)量m、邊長(zhǎng)a和鋁管的厚度d，其數(shù)據(jù)分別為：m=6.3 g，a=10 mm，d=3 mm.根據(jù)商家提供的鋁材型號(hào)(No.6061系列)，查得本實(shí)驗(yàn)鋁材的電導(dǎo)率σ為

表1 磁體通過每段位移的時(shí)間和平均速度(每段位移為ΔS = 50 mm；時(shí)間單位：ms)

2.58×107S/m，重力加速度g為9.8 m/s2，將這些數(shù)據(jù)代入式(9)可算出磁體在鋁管內(nèi)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

9.12×10-2T

(11)

2.2 結(jié)果分析

2.2.1 磁感應(yīng)強(qiáng)度的測(cè)量結(jié)果與理論值的對(duì)比與分析

本文通過簡(jiǎn)化和建模，導(dǎo)出了磁鐵下落的速度時(shí)間關(guān)系，即式(8)，給出了磁體磁感應(yīng)強(qiáng)度B的測(cè)量或計(jì)算方法.通過多次重復(fù)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，磁體的收尾速度基本上穩(wěn)定在vT=0.48 m/s，結(jié)合其它數(shù)據(jù)，算出了磁體在鋁管中形成的磁感應(yīng)強(qiáng)度值為B=9.12×10-2T.由于磁體銷售商家不提供相關(guān)的數(shù)據(jù)，從其它資料查得，N3X系列的釹鐵硼的剩磁范圍為BR=1.13～1.45 T.文獻(xiàn)[1]通過COMSOL仿真計(jì)算指出，對(duì)于剩磁為1.45 T的磁體，其外部的磁感應(yīng)強(qiáng)度的取值與磁體的大小和考察點(diǎn)到磁體的距離有關(guān)，其磁感應(yīng)強(qiáng)度的范圍為B=0.632～0.007 T.顯然本實(shí)驗(yàn)所測(cè)量的磁感應(yīng)強(qiáng)度，B=0.009 12 T，可見本實(shí)驗(yàn)測(cè)得的磁感應(yīng)強(qiáng)度數(shù)值處于文獻(xiàn)[1]給出的理論數(shù)據(jù)范圍內(nèi).具體的根據(jù)COMSOL仿真計(jì)算數(shù)據(jù)畫出的磁體外磁感應(yīng)強(qiáng)度的變化曲線請(qǐng)參閱文獻(xiàn)1.

應(yīng)該指出的是，盡管本文所測(cè)量的磁感應(yīng)強(qiáng)度數(shù)據(jù)處于理論計(jì)算(文獻(xiàn)1)的數(shù)值范圍內(nèi)，由于未查到理論上給出的對(duì)應(yīng)磁體外的磁感應(yīng)強(qiáng)度準(zhǔn)確數(shù)據(jù)，此處未進(jìn)行誤差計(jì)算.

2.2.2 時(shí)間常量的結(jié)果分析

將本實(shí)驗(yàn)的相關(guān)測(cè)量數(shù)據(jù)代入式(10)，計(jì)算該磁體下落速度變化的時(shí)間常量τ為

(12)

從表1中的數(shù)據(jù)看，磁體下落三段后，即可認(rèn)為近似達(dá)到了勻速(或收尾速度)，所用時(shí)間為前三段位移之和，即：Δt=152+139+119 =410 ms = 0.41 s，這段時(shí)間差不多是式(12)中建模與實(shí)際測(cè)量的B算出的時(shí)間常量τ的8.3倍，跟理論上達(dá)到穩(wěn)定速度的時(shí)間，即5倍的時(shí)間常量有一些差距[2].而根據(jù)文獻(xiàn)[1]給出的磁體外磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值0.007 T，算出的時(shí)間常量約為0.081 s，該時(shí)間常量的5倍與實(shí)驗(yàn)是基本符合的.

另一方面，本實(shí)驗(yàn)建模中做了一些簡(jiǎn)化，如認(rèn)為磁場(chǎng)始終垂直于鋁管表面，忽略了在厚度3 mm范圍內(nèi)的磁場(chǎng)變化等，這些因素都會(huì)使式(12)中的有效磁感應(yīng)強(qiáng)度變小，因此，實(shí)驗(yàn)測(cè)量的速度變化規(guī)律中的時(shí)間常量值大于理論值是可以理解的、合理的.

綜上所述，本文認(rèn)為本實(shí)驗(yàn)從對(duì)原始問題的建模、計(jì)算、系統(tǒng)的搭建，到實(shí)驗(yàn)的測(cè)量等，梳理出了面對(duì)實(shí)際問題的解決方案與步驟.由于建模中做了一定的簡(jiǎn)化，如忽略了一部分電阻、感應(yīng)電流的非均勻分布、空氣的阻力、磁體與管壁的碰撞和摩擦等因素，這些因素都會(huì)給實(shí)驗(yàn)結(jié)果帶來誤差.表1中的數(shù)據(jù)也顯示了測(cè)量數(shù)據(jù)具有一定的漲落.這表明將一個(gè)純定性實(shí)驗(yàn)轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)較精確的定量實(shí)驗(yàn)還有許多工作要做.

3 結(jié)論

本文通過電磁學(xué)理論建模和經(jīng)典力學(xué)的動(dòng)力學(xué)方程，研究了磁極沿著水平方向的磁體在非鐵磁金屬管中的下落情況，得出了速度v與時(shí)間t、磁體質(zhì)量m、磁感應(yīng)強(qiáng)度B、金屬的電導(dǎo)率σ以及一些幾何參數(shù)的關(guān)系.同時(shí)導(dǎo)出了速度函數(shù)中時(shí)間常量τ與上述物理量、幾何量的關(guān)系.為了驗(yàn)證這些關(guān)系，通過設(shè)計(jì)STM32最小系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)了磁體速度、下落時(shí)間以及收尾速度的測(cè)量.通過這些測(cè)量所計(jì)算的磁體的磁感應(yīng)強(qiáng)度B和時(shí)間常量τ與理論結(jié)果基本符合.