孫曉燕，吳天昊，黃 慶，田永寧，李成金

(蘇州城市學院 光電與能源工程系，江蘇 蘇州 215104)

電磁感應教學中經(jīng)常用到的一個實驗是：分別將非磁體和小磁鐵從豎直放置的鋁管或銅管等類似的非鐵磁金屬管的頂端釋放(本文實驗用的是鋁管，以下統(tǒng)稱鋁管)，觀察兩種物體在管中下落運動的區(qū)別.前者的下落相當于常見的在空氣中的自由落體運動.而后者的下落，由于電磁感應和安培力的作用，顛覆了學生已有的認知，從而激發(fā)學生試圖描述磁體運動規(guī)律的好奇心.事實上，定量地描述或測量磁體在鋁管中的下落運動，需要用到電磁感應定律、安培定律、牛頓第二定律等定理和霍爾元件、嵌入式系統(tǒng)等知識和技術.

1 實驗目的、實驗儀器及原理

1.1 實驗目的

磁體在鋁管中下落時，由于電磁感應在鋁管中將產(chǎn)生感應電流，根據(jù)楞次定律或安培定律，此感應電流會阻礙磁體的下落，其加速度會變小，但速度會繼續(xù)增大，感應電流也會增大，當管中的感應電流所受安培力(其反作用力作用在磁體上，方向向上)的大小等于重力時，速度達到最大值vT，并以此速度勻速下落，此速度稱為終結(jié)速度.本文將通過建立感應電流與磁體相互作用的模型，表征下落磁體所受的力，寫出并求解牛頓動力學方程，得到磁體下落的速度與時間的函數(shù)關系v(t).從而達到定量描述鋁管中磁體下落規(guī)律的目的.為了驗證所得到的速度與時間關系v(t)的正確性，本文使用霍爾元件為傳感器，通過嵌入式系統(tǒng)，實現(xiàn)對磁體速度的測量和速度-時間圖像的描繪.本文的具體實驗目的如下所述：

1) 通過實驗，展示電磁感應現(xiàn)象，并定性地研究鋁管中磁體下落的規(guī)律，同時強化楞次定律的理解；

2) 通過簡化磁體與大塊鋁材中感應電流(電動勢)相互作用的處理，培養(yǎng)學生針對原始物理(或?qū)嶋H)問題建立簡化模型并應用物理規(guī)律解決實際問題的能力；

3) 通過對下落磁體受力分析，建立動力學方程，并應用高等數(shù)學(實際上是引導學生學會查閱數(shù)學手冊)，求出速度與時間的函數(shù)關系v(t)；

4) 通過霍爾元件的使用，使學生了解將磁學量轉(zhuǎn)化為電學量的原理[1]，并給出具體的應用實例；

5) 通過嵌入式系統(tǒng)的使用，使學生了解智能系統(tǒng)在測量與控制中的作用，從而引導學生關注智能制造.

1.2 實驗儀器及原理

1.2.1 實驗儀器

本實驗儀器如圖1所示，采用的元件有：1) 邊長為a=10 mm的釹鐵硼立方磁體(強磁體)；2) 正方形截面的鋁管，內(nèi)邊長20 mm，壁厚d1=3 mm或d2=2 mm(可選)；3) STM32嵌入式測量與顯示系統(tǒng)，包括27個霍爾元件與27個LED管，HMI液晶顯示系統(tǒng)，PCB板；4)三腳架.

圖1 磁體下落示意與測量顯示元件

1.2.2 實驗原理

1) 建模與動力學方程求解

如圖1所示，設磁體的邊長為a，質(zhì)量為m，鋁管壁厚為d，電導率為σ.為了建模方便，本實驗中將磁體的兩極水平放置，設左邊為N極，右邊為S極，其中心與鋁管的截面中心重合，并且磁體的表面與鋁管內(nèi)壁平行.鋁管固定于三腳架上，保持豎直.當磁體自鋁管頂端入口處釋放時，磁體將進入管中.設磁體下落至某一位置時的速度為v，此時磁體左邊管壁的磁場區(qū)(由磁體形成)的下部的磁場將會由于磁體下落而增加，從而產(chǎn)生逆時針方向的感應電流，此電流在磁場中也會受到向下的安培力，其反作用力作用在磁體上，方向向上，如圖2所示.

圖2 左邊管壁的受力分析

同時該磁場區(qū)上部的磁場減小，從而產(chǎn)生順時針的感應電流，此電流在磁場中受到向下的安培力，其反作用力作用在磁體上，方向也向上.而磁體右邊的管壁的情況與左邊是一樣的，磁體所受合力也向上.在理想情況下，磁體上各處所受向上的力相等，因此，磁體在管中保持平動.

根據(jù)動生電動勢的計算公式，磁體在左、右管壁產(chǎn)生的電動勢均為Bav，該電動勢在導體中形成渦電流，此渦電流在磁體形成的磁場區(qū)域內(nèi)非常集中，而在其他區(qū)域則很分散，以至于在磁體之外的區(qū)域電阻可以忽略.于是在渦電流所形成的等效回路中的電阻近似等于磁場區(qū)域所覆蓋的管壁的電阻R，即

(1)

其中，ρ和σ分別為鋁管的電阻率和電導率，且ρ=1/σ，而d為鋁管的厚度.于是感應電流的大小為

(2)

此電流所受的安培力為

F安培=BIa=B2σa2vd

(3)

根據(jù)前面的分析，此力方向向下，其反作用力作用在磁體上，方向向上，磁體的右面相同.故磁體所受來自于電流的合力為

F=2B2σa2vd

(4)

考慮到重力和牛頓第二定律，可得磁體所滿足的動力學方程為

(5)

(6)

上式經(jīng)過整理和分離變量，得

(7)

式(7)通過積分[1]，并取自然指數(shù)，整理得

(8)

式(8)即是磁體下落的速度v與時間t的關系函數(shù)，根據(jù)此式可得出如下結(jié)論：

① 當t=0時，v=0；

② 當時間t增加時，速度隨著增加，其v-t曲線如圖3所示.

圖3 磁體下落的速度與時間的關系

③t→∞時，有

(9)

即速度趨于一個常量，這就是說時間足夠長時，磁體將會達到勻速，就是磁體的收尾速度.

④ 在式(8)的e指數(shù)中，除了t之外的其它量可用一個參量τ來表示，即

(10)

此參量具有時間的單位，稱為系統(tǒng)的時間常量[2].

2) 速度測量系統(tǒng)

從鋁管的上端到底部安裝細的PCB板，PCB板上每隔50 mm焊接一組霍爾元件與LED管，即為一組測量和顯示單元，共27組，期間共計有26個相等的間距(位移，即50 mm)，如圖1所示.測量單元之間相互并聯(lián)后再與直流電源、分壓電阻串聯(lián)成回路，分壓電阻兩端通過導線接入STM32最小系統(tǒng)，連接HMI屏幕用于顯示測量數(shù)據(jù)，系統(tǒng)以+5 V電源供電，結(jié)構框圖如圖4所示.整個裝置固定放置在非鐵磁材料的三角支架上.

圖4 STM32測量顯示系統(tǒng)

當磁鐵通過霍爾元件時，霍爾元件信號端輸出低電平，LED管發(fā)光以顯示磁體正在經(jīng)過.通過單片機記錄此時的時間，并由程序算出磁體經(jīng)過相鄰兩個傳感器的時間間隔及通過的平均速度，并在屏幕上顯示.

2 實驗數(shù)據(jù)與結(jié)果分析

2.1 實驗數(shù)據(jù)

2.1.1 磁體通過每段位移的時間及平均速度

本系統(tǒng)經(jīng)調(diào)試、運行正常后，進行了若干次實驗測量，輸出數(shù)據(jù)基本穩(wěn)定.表1是某次測量的數(shù)據(jù)記錄.

2.1.2 收尾速度與磁感應強度的計算

從表1中的數(shù)據(jù)可見，磁體通過前三段位移后，速度基本達到了最大值，并趨于穩(wěn)定，這就是終結(jié)速度或收尾速度vT.實驗中，本文測量了磁體的質(zhì)量m、邊長a和鋁管的厚度d，其數(shù)據(jù)分別為：m=6.3 g，a=10 mm，d=3 mm.根據(jù)商家提供的鋁材型號(No.6061系列)，查得本實驗鋁材的電導率σ為

表1 磁體通過每段位移的時間和平均速度(每段位移為ΔS = 50 mm；時間單位：ms)

2.58×107S/m，重力加速度g為9.8 m/s2，將這些數(shù)據(jù)代入式(9)可算出磁體在鋁管內(nèi)產(chǎn)生的磁感應強度為

9.12×10-2T

(11)

2.2 結(jié)果分析

2.2.1 磁感應強度的測量結(jié)果與理論值的對比與分析

本文通過簡化和建模，導出了磁鐵下落的速度時間關系，即式(8)，給出了磁體磁感應強度B的測量或計算方法.通過多次重復實驗發(fā)現(xiàn)，磁體的收尾速度基本上穩(wěn)定在vT=0.48 m/s，結(jié)合其它數(shù)據(jù)，算出了磁體在鋁管中形成的磁感應強度值為B=9.12×10-2T.由于磁體銷售商家不提供相關的數(shù)據(jù)，從其它資料查得，N3X系列的釹鐵硼的剩磁范圍為BR=1.13～1.45 T.文獻[1]通過COMSOL仿真計算指出，對于剩磁為1.45 T的磁體，其外部的磁感應強度的取值與磁體的大小和考察點到磁體的距離有關，其磁感應強度的范圍為B=0.632～0.007 T.顯然本實驗所測量的磁感應強度，B=0.009 12 T，可見本實驗測得的磁感應強度數(shù)值處于文獻[1]給出的理論數(shù)據(jù)范圍內(nèi).具體的根據(jù)COMSOL仿真計算數(shù)據(jù)畫出的磁體外磁感應強度的變化曲線請參閱文獻1.

應該指出的是，盡管本文所測量的磁感應強度數(shù)據(jù)處于理論計算(文獻1)的數(shù)值范圍內(nèi)，由于未查到理論上給出的對應磁體外的磁感應強度準確數(shù)據(jù)，此處未進行誤差計算.

2.2.2 時間常量的結(jié)果分析

將本實驗的相關測量數(shù)據(jù)代入式(10)，計算該磁體下落速度變化的時間常量τ為

(12)

從表1中的數(shù)據(jù)看，磁體下落三段后，即可認為近似達到了勻速(或收尾速度)，所用時間為前三段位移之和，即：Δt=152+139+119 =410 ms = 0.41 s，這段時間差不多是式(12)中建模與實際測量的B算出的時間常量τ的8.3倍，跟理論上達到穩(wěn)定速度的時間，即5倍的時間常量有一些差距[2].而根據(jù)文獻[1]給出的磁體外磁感應強度的最小值0.007 T，算出的時間常量約為0.081 s，該時間常量的5倍與實驗是基本符合的.

另一方面，本實驗建模中做了一些簡化，如認為磁場始終垂直于鋁管表面，忽略了在厚度3 mm范圍內(nèi)的磁場變化等，這些因素都會使式(12)中的有效磁感應強度變小，因此，實驗測量的速度變化規(guī)律中的時間常量值大于理論值是可以理解的、合理的.

綜上所述，本文認為本實驗從對原始問題的建模、計算、系統(tǒng)的搭建，到實驗的測量等，梳理出了面對實際問題的解決方案與步驟.由于建模中做了一定的簡化，如忽略了一部分電阻、感應電流的非均勻分布、空氣的阻力、磁體與管壁的碰撞和摩擦等因素，這些因素都會給實驗結(jié)果帶來誤差.表1中的數(shù)據(jù)也顯示了測量數(shù)據(jù)具有一定的漲落.這表明將一個純定性實驗轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€較精確的定量實驗還有許多工作要做.

3 結(jié)論

本文通過電磁學理論建模和經(jīng)典力學的動力學方程，研究了磁極沿著水平方向的磁體在非鐵磁金屬管中的下落情況，得出了速度v與時間t、磁體質(zhì)量m、磁感應強度B、金屬的電導率σ以及一些幾何參數(shù)的關系.同時導出了速度函數(shù)中時間常量τ與上述物理量、幾何量的關系.為了驗證這些關系，通過設計STM32最小系統(tǒng)，實現(xiàn)了磁體速度、下落時間以及收尾速度的測量.通過這些測量所計算的磁體的磁感應強度B和時間常量τ與理論結(jié)果基本符合.