于鳳軍,鞠 林,湯振杰, 田俊龍

(安陽師范學(xué)院 物理與電氣工程學(xué)院，河南 安陽 455000)

在月球和太陽的引力作用下,海水每天兩次的周期性漲落現(xiàn)象稱為潮汐或海潮.對(duì)此, 大學(xué)物理教材[1]或研究刊物上[2-4]多次從不同角度進(jìn)行了討論.海潮現(xiàn)象非常明顯、易于發(fā)現(xiàn).19世紀(jì)末,英國人達(dá)爾文(Darvin)經(jīng)過分析觀測資料發(fā)現(xiàn),海潮的實(shí)際潮高比理論潮高約小三分之一[5].由于理論潮高的計(jì)算是基于把地球的固體部分看作剛體而進(jìn)行的,為了解釋上述不相符的問題,只能認(rèn)為在月球和太陽的引力作用下,地球的固體部分不是剛體而可以發(fā)生形變,其表面也發(fā)生與海水表面類似的周期性漲落. 地球這種周期性的形變現(xiàn)象稱為固體潮.由于人們生活在地球的固體表面上,隨著其漲落而同步升降, 因此很難直接覺察它的存在,但能通過儀器觀察到這種現(xiàn)象.固體潮與海潮的形成原因雖然相同,但其計(jì)算問題遠(yuǎn)比后者復(fù)雜,故在物理教學(xué)刊物上鮮有介紹.本文嘗試用新的方法計(jì)算固體潮相關(guān)的地球表面形變和漲落幅度.下面首先介紹靜態(tài)海潮和固體潮的計(jì)算概況,目的是想說明固體潮相對(duì)于海潮計(jì)算的復(fù)雜性，并為本文的方法結(jié)果與現(xiàn)有的方法結(jié)果進(jìn)行對(duì)比提供支撐. 然后介紹本文的研究方法、計(jì)算過程與結(jié)果. 最后進(jìn)行相關(guān)問題的討論.

1 靜態(tài)海潮和固體潮的計(jì)算概況

海潮和固體潮的起因是日、月引潮力.地球由于受日、月引力作用作加速運(yùn)動(dòng),在地球質(zhì)心參考系-這樣一個(gè)非慣性系中,日、月引力和相關(guān)慣性力的合力分別稱作日、月引潮力[1],它們分別有沿地-日連線、或地-月連線方向?qū)⒌厍蚶L，沿連線垂直方向?qū)⒌厍驂嚎s的趨勢(shì). 圖1中陰影部分表示地球的固體部分,實(shí)線外圓表示地球不受引潮力時(shí)的海洋表面,z軸沿上述某一連線方向,虛線表示地球受引潮力時(shí)的海潮表面.

下面以地月系統(tǒng)為例說明海潮表面方程的推導(dǎo)過程.設(shè)月球質(zhì)量為m1,地球質(zhì)量為m2,半徑為R,地月質(zhì)心距為rm.以地球質(zhì)心為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系Oxyz，其中z軸沿地月連線.引潮力是保守力,有相關(guān)的勢(shì)能.根據(jù)文獻(xiàn)[6]式(7),可得地球內(nèi)部坐標(biāo)(x,y,z)處質(zhì)元dm2在月球引潮力場中的勢(shì)能：

(1)

上式中僅含坐標(biāo)的二次項(xiàng),實(shí)際上引潮力勢(shì)能還包含其三次、四次項(xiàng)等[5,7,8],在專業(yè)述語中,相關(guān)的力場分別叫二階、三階、四階引潮力場,它們引起的潮汐分別稱作二階、三階、四階潮汐響應(yīng).由于R/rm?1，故三階、四階潮汐響應(yīng)很微弱,這里只考慮二階潮汐響應(yīng).

計(jì)算靜態(tài)海潮時(shí),忽略地球自轉(zhuǎn).設(shè)地球固體部分(圖1的陰影部分)為一剛性球，它的外表面被海水覆蓋. 如圖1所示，取海水中的質(zhì)元dm2為研究對(duì)象，它不僅受引潮力,還受地球引力,并具有引力勢(shì)能dVg=-Gm2dm2/r,其中r是質(zhì)元dm2到原點(diǎn)的距離.使用球坐標(biāo)(r,θ,φ),它與(x,y,z)的關(guān)系為x=rsinθcosφ,y=rsinθsinφ,z=rcosθ.由以上4個(gè)關(guān)系式和式(1),可得dm2具有的總勢(shì)能：

dV=dVt+dVg=

(2)

上式中P2(x)=(3x2-1)/2是二階勒讓德多項(xiàng)式.這里重點(diǎn)考慮緊靠海水表面的質(zhì)元dm2.當(dāng)靜態(tài)平衡時(shí), 各個(gè)dm2具有的勢(shì)能應(yīng)該相等,否則海水會(huì)流動(dòng)，故海洋表面是等勢(shì)能面.假設(shè)無引潮力時(shí)海水表面(見圖1中實(shí)線外圓)半徑為R,則這時(shí)該表面上質(zhì)元dm2具有的引力勢(shì)能dVg0=-Gm2dm2/R.令式(2)右邊等于常量dVg0,可以得到等勢(shì)能面方程,即在球坐標(biāo)系中的海洋表面方程：

(3)

(4)

(5)

顯然,圖1中虛線與x軸的交點(diǎn)是低潮點(diǎn)，與z軸的交點(diǎn)是高潮點(diǎn)，因此海潮最大漲落幅度為

(6)

將日、地、月相關(guān)數(shù)據(jù):R=6 371 000 m, g=9.8 m s-2,m1=7.35×1022kg,m3=1.98×1030kg,rm=3.84×108m,rs=1.49×1011m,G=6.672×10-11N m2·kg-2代入式(6)，計(jì)算可得ΔH=78 cm，這就是海潮的最大漲落幅度.

可以看出,上述海潮的計(jì)算過程比較簡單,原因有三點(diǎn):一是采用了“剛性固體球+海洋”模型, 計(jì)算時(shí)僅需要知道固體球外部的引力場,且dm2具有的引力勢(shì)能表達(dá)式簡單:dVg=-Gm2dm2/r;二是海洋質(zhì)量相對(duì)于固體質(zhì)量很小,其分布變化對(duì)固體球外部引力場的影響可以忽略;三是海洋可流動(dòng),靜態(tài)時(shí)遵守流體靜力學(xué)規(guī)律[4],這使得其表面與等勢(shì)面重合, 表面方程即為等勢(shì)面方程.

然而,對(duì)于固體潮的計(jì)算,不具備上述便利條件.當(dāng)整個(gè)固體地球被引潮力拉伸變形時(shí),其內(nèi)部、外部引力勢(shì)都會(huì)變化,計(jì)算時(shí)要用到內(nèi)部引力勢(shì)，而它又與內(nèi)部密度ρ(r)分布有關(guān)，且無解析表達(dá)式;地球形變還與其彈性模量有關(guān),而彈性模量與深度有關(guān),且無解析表達(dá)式;固體不可流動(dòng),外表面不是等勢(shì)面,其變形時(shí)服從彈性靜力學(xué)規(guī)律,故使用彈性靜力學(xué)方法進(jìn)行研究[5,7,8].概括地講,該方法是在地球內(nèi)部任一點(diǎn)取一質(zhì)元,寫出其受到的彈性力、地球引力、引潮力三者的平衡方程——一個(gè)關(guān)于形變位移矢量的微分方程,再根據(jù)邊界條件,通過邊值問題的求解，得到地球內(nèi)部各點(diǎn)的位移分布、應(yīng)力分布以及表面形狀，運(yùn)算過程的復(fù)雜性和難度是可想而知的. 1883年,開爾文最早使用簡化地球模型——均勻、不可壓縮、彈性球模型計(jì)算固體潮,給出了解析解[5,7,8].對(duì)于實(shí)際地球的固體潮，需要通過數(shù)值積分計(jì)算.1951年日本人竹內(nèi)均(Takeuch)使用黑格茨(Herglotz)方程,最早對(duì)實(shí)際地球計(jì)算固體潮[7].1953年蘇聯(lián)人莫洛金斯基把平衡方程化為6個(gè)一階微分方程組成的方程組,使數(shù)值計(jì)算更加簡化[7],之后有其他學(xué)者對(duì)不同的地球模型進(jìn)行固體潮計(jì)算[8]. 下面只介紹開爾文潮汐理論給出的二階固體潮地球表面形狀的結(jié)果.

(7)

顯然, 固體潮表面方程(7)和海潮表面方程(4)在函數(shù)形式上是一樣的,都表示關(guān)于z軸對(duì)稱且被拉長的旋轉(zhuǎn)橢球面(見圖2),不同的是勒讓德多項(xiàng)式前邊的系數(shù)不同,因而固體的潮漲落幅度與海潮的不同.

圖2 地球固體潮變形

從文獻(xiàn)[5]、[7]、[8]介紹的固體潮計(jì)算過程可以發(fā)現(xiàn),即使采用最簡單的開爾文模型,通過求解微分方程獲得表面方程(7)的運(yùn)算步驟也是很繁瑣的.本文采用同一模型,用一種全新的方法導(dǎo)出地球的固體潮表面方程.

2 研究方法

本文的研究方法是在文獻(xiàn)[6]的基礎(chǔ)上發(fā)展而得到的.該文獻(xiàn)研究一個(gè)均勻不可壓縮的流體星球在另一個(gè)天體的引潮力作用下的形狀問題.引潮力使流體星球作拉伸形變,星球自身引力有抵抗被拉伸、恢復(fù)為球狀的作用.當(dāng)該星球由球體形變?yōu)殚L橢球體時(shí),其引力自能Vg增加、引潮力勢(shì)能Vt降低,當(dāng)總勢(shì)能最低時(shí)處于平衡狀態(tài),且不再形變.這是最小勢(shì)能原理的體現(xiàn).從此原理出發(fā)，文獻(xiàn)[6]求得流體星球平衡時(shí)的橢球偏心率e——星球的表面形狀參數(shù). 本文研究的是彈性地球,它的內(nèi)部比流體星球增加了彈性力,彈性力與自身引力一樣有抵抗形變的作用.故在上述總勢(shì)能中增加彈性勢(shì)能,由最小勢(shì)能原理可以求得在引潮力的作用下固體潮地球表面的形狀參數(shù).

3 計(jì)算過程與結(jié)果.

仍以地-月系統(tǒng)為例進(jìn)行計(jì)算,設(shè)在月球引潮力的作用下，彈性地球所變成的長旋轉(zhuǎn)橢球的偏心率為e,這里e?1,是待定參數(shù),見圖2.對(duì)于彈性球的微形變,文獻(xiàn)[9]中式(8)和式(32)分別給出了半徑為R、切變模量為μ的均勻不可壓縮彈性球變成一個(gè)偏心率為e的、長旋轉(zhuǎn)橢球時(shí)的表面方程和彈性勢(shì)能：

(8)

(9)

另外根據(jù)文獻(xiàn)[6]中式(10)可知,地球在月球引潮力場中的勢(shì)能與其引力自能之和為

(10)

將彈性勢(shì)能式(9)加入到上式,得總勢(shì)能：

(11)

由于e?1,將上式右邊前兩項(xiàng)對(duì)e展開為冪級(jí)數(shù),每一項(xiàng)僅保留e的最低次項(xiàng)：

(12)

根據(jù)上式,圖3畫出了V隨e變化的曲線.

圖3 系統(tǒng)勢(shì)能隨偏心率的變化

由圖3可見,當(dāng)e取某值時(shí),勢(shì)能V存在極小值,如圖3中A點(diǎn).極小值條件:dv/de=0.根據(jù)此方程和式(12)，容易求得偏心率平方的非零解：

(13)

上式與式(7)完全相同，這表明用最小勢(shì)能原可以導(dǎo)出與開爾文求解微分方程方法一致的結(jié)果.

4 討論

1) 上邊的推導(dǎo)過程表明,對(duì)于開爾文地球模型,當(dāng)?shù)厍虻膹椥詣?shì)能、引力自能、引潮力勢(shì)能確定之后,用最小勢(shì)能原理計(jì)算地球固體潮形變的過程將變得非常簡便.

2) 如果考慮月球和太陽同時(shí)對(duì)地球產(chǎn)生作用,可以從式(14)從發(fā),重復(fù)上邊從式(4)到式(5)的演算過程,將會(huì)得到當(dāng)三個(gè)星球在同一直線上時(shí)固體潮相關(guān)的地球表面方程：

(15)

固體潮最大漲落幅度：

Δh=r(0)-r(π/2)=

(16)

上式中μ是把地球看作彈性性質(zhì)均勻時(shí)的切變模量,它是一個(gè)未知量.文獻(xiàn)[7]給出的Δh約為50 cm,取ρ=5 520 kg/m3,把除了μ以外的其他已知數(shù)據(jù)(見第1部分)代入上式,計(jì)算可得μ=1.05×1011Pa,這相當(dāng)于某些特種鋼的切變模量.

3)如果μ→∞,即地球是剛體,則由式(15)知,Δh=0,即它無漲落,這符合預(yù)期結(jié)果.

結(jié)語:地球固體潮是在月球和太陽的引力作用下,地球的固體部分發(fā)生形變,其表面發(fā)生與海水表面類似的周期性漲落現(xiàn)象.靜態(tài)海潮遵守流體靜力學(xué)規(guī)律,而固體潮遵守彈性靜力學(xué)規(guī)律,因而固體潮的計(jì)算過程比海潮更加復(fù)雜.本文引入地球的引力自能、引潮力勢(shì)能、彈性勢(shì)能，運(yùn)用最小勢(shì)能原理，對(duì)開爾文固體潮模型求出地球表面的形狀方程和固體潮漲落幅度，方便快捷地得到與開爾文潮汐理論一致的結(jié)果. 本文所用方法新穎簡捷, 物理思路清晰, 對(duì)物理學(xué)或地球物理學(xué)專業(yè)的本科生進(jìn)行相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)、探討有一定的啟發(fā)幫助作用.