于鳳軍,鞠 林,湯振杰, 田俊龍

(安陽師范學院 物理與電氣工程學院，河南 安陽 455000)

在月球和太陽的引力作用下,海水每天兩次的周期性漲落現(xiàn)象稱為潮汐或海潮.對此, 大學物理教材[1]或研究刊物上[2-4]多次從不同角度進行了討論.海潮現(xiàn)象非常明顯、易于發(fā)現(xiàn).19世紀末,英國人達爾文(Darvin)經(jīng)過分析觀測資料發(fā)現(xiàn),海潮的實際潮高比理論潮高約小三分之一[5].由于理論潮高的計算是基于把地球的固體部分看作剛體而進行的,為了解釋上述不相符的問題,只能認為在月球和太陽的引力作用下,地球的固體部分不是剛體而可以發(fā)生形變,其表面也發(fā)生與海水表面類似的周期性漲落. 地球這種周期性的形變現(xiàn)象稱為固體潮.由于人們生活在地球的固體表面上,隨著其漲落而同步升降, 因此很難直接覺察它的存在,但能通過儀器觀察到這種現(xiàn)象.固體潮與海潮的形成原因雖然相同,但其計算問題遠比后者復雜,故在物理教學刊物上鮮有介紹.本文嘗試用新的方法計算固體潮相關的地球表面形變和漲落幅度.下面首先介紹靜態(tài)海潮和固體潮的計算概況,目的是想說明固體潮相對于海潮計算的復雜性，并為本文的方法結果與現(xiàn)有的方法結果進行對比提供支撐. 然后介紹本文的研究方法、計算過程與結果. 最后進行相關問題的討論.

1 靜態(tài)海潮和固體潮的計算概況

海潮和固體潮的起因是日、月引潮力.地球由于受日、月引力作用作加速運動,在地球質心參考系-這樣一個非慣性系中,日、月引力和相關慣性力的合力分別稱作日、月引潮力[1],它們分別有沿地-日連線、或地-月連線方向將地球拉長，沿連線垂直方向將地球壓縮的趨勢. 圖1中陰影部分表示地球的固體部分,實線外圓表示地球不受引潮力時的海洋表面,z軸沿上述某一連線方向,虛線表示地球受引潮力時的海潮表面.

下面以地月系統(tǒng)為例說明海潮表面方程的推導過程.設月球質量為m1,地球質量為m2,半徑為R,地月質心距為rm.以地球質心為原點建立坐標系Oxyz，其中z軸沿地月連線.引潮力是保守力,有相關的勢能.根據(jù)文獻[6]式(7),可得地球內部坐標(x,y,z)處質元dm2在月球引潮力場中的勢能：

(1)

上式中僅含坐標的二次項,實際上引潮力勢能還包含其三次、四次項等[5,7,8],在專業(yè)述語中,相關的力場分別叫二階、三階、四階引潮力場,它們引起的潮汐分別稱作二階、三階、四階潮汐響應.由于R/rm?1，故三階、四階潮汐響應很微弱,這里只考慮二階潮汐響應.

計算靜態(tài)海潮時,忽略地球自轉.設地球固體部分(圖1的陰影部分)為一剛性球，它的外表面被海水覆蓋. 如圖1所示，取海水中的質元dm2為研究對象，它不僅受引潮力,還受地球引力,并具有引力勢能dVg=-Gm2dm2/r,其中r是質元dm2到原點的距離.使用球坐標(r,θ,φ),它與(x,y,z)的關系為x=rsinθcosφ,y=rsinθsinφ,z=rcosθ.由以上4個關系式和式(1),可得dm2具有的總勢能：

dV=dVt+dVg=

(2)

上式中P2(x)=(3x2-1)/2是二階勒讓德多項式.這里重點考慮緊靠海水表面的質元dm2.當靜態(tài)平衡時, 各個dm2具有的勢能應該相等,否則海水會流動，故海洋表面是等勢能面.假設無引潮力時海水表面(見圖1中實線外圓)半徑為R,則這時該表面上質元dm2具有的引力勢能dVg0=-Gm2dm2/R.令式(2)右邊等于常量dVg0,可以得到等勢能面方程,即在球坐標系中的海洋表面方程：

(3)

(4)

(5)

顯然,圖1中虛線與x軸的交點是低潮點，與z軸的交點是高潮點，因此海潮最大漲落幅度為

(6)

將日、地、月相關數(shù)據(jù):R=6 371 000 m, g=9.8 m s-2,m1=7.35×1022kg,m3=1.98×1030kg,rm=3.84×108m,rs=1.49×1011m,G=6.672×10-11N m2·kg-2代入式(6)，計算可得ΔH=78 cm，這就是海潮的最大漲落幅度.

可以看出,上述海潮的計算過程比較簡單,原因有三點:一是采用了“剛性固體球+海洋”模型, 計算時僅需要知道固體球外部的引力場,且dm2具有的引力勢能表達式簡單:dVg=-Gm2dm2/r;二是海洋質量相對于固體質量很小,其分布變化對固體球外部引力場的影響可以忽略;三是海洋可流動,靜態(tài)時遵守流體靜力學規(guī)律[4],這使得其表面與等勢面重合, 表面方程即為等勢面方程.

然而,對于固體潮的計算,不具備上述便利條件.當整個固體地球被引潮力拉伸變形時,其內部、外部引力勢都會變化,計算時要用到內部引力勢，而它又與內部密度ρ(r)分布有關，且無解析表達式;地球形變還與其彈性模量有關,而彈性模量與深度有關,且無解析表達式;固體不可流動,外表面不是等勢面,其變形時服從彈性靜力學規(guī)律,故使用彈性靜力學方法進行研究[5,7,8].概括地講,該方法是在地球內部任一點取一質元,寫出其受到的彈性力、地球引力、引潮力三者的平衡方程——一個關于形變位移矢量的微分方程,再根據(jù)邊界條件,通過邊值問題的求解，得到地球內部各點的位移分布、應力分布以及表面形狀，運算過程的復雜性和難度是可想而知的. 1883年,開爾文最早使用簡化地球模型——均勻、不可壓縮、彈性球模型計算固體潮,給出了解析解[5,7,8].對于實際地球的固體潮，需要通過數(shù)值積分計算.1951年日本人竹內均(Takeuch)使用黑格茨(Herglotz)方程,最早對實際地球計算固體潮[7].1953年蘇聯(lián)人莫洛金斯基把平衡方程化為6個一階微分方程組成的方程組,使數(shù)值計算更加簡化[7],之后有其他學者對不同的地球模型進行固體潮計算[8]. 下面只介紹開爾文潮汐理論給出的二階固體潮地球表面形狀的結果.

(7)

顯然, 固體潮表面方程(7)和海潮表面方程(4)在函數(shù)形式上是一樣的,都表示關于z軸對稱且被拉長的旋轉橢球面(見圖2),不同的是勒讓德多項式前邊的系數(shù)不同,因而固體的潮漲落幅度與海潮的不同.

圖2 地球固體潮變形

從文獻[5]、[7]、[8]介紹的固體潮計算過程可以發(fā)現(xiàn),即使采用最簡單的開爾文模型,通過求解微分方程獲得表面方程(7)的運算步驟也是很繁瑣的.本文采用同一模型,用一種全新的方法導出地球的固體潮表面方程.

2 研究方法

本文的研究方法是在文獻[6]的基礎上發(fā)展而得到的.該文獻研究一個均勻不可壓縮的流體星球在另一個天體的引潮力作用下的形狀問題.引潮力使流體星球作拉伸形變,星球自身引力有抵抗被拉伸、恢復為球狀的作用.當該星球由球體形變?yōu)殚L橢球體時,其引力自能Vg增加、引潮力勢能Vt降低,當總勢能最低時處于平衡狀態(tài),且不再形變.這是最小勢能原理的體現(xiàn).從此原理出發(fā)，文獻[6]求得流體星球平衡時的橢球偏心率e——星球的表面形狀參數(shù). 本文研究的是彈性地球,它的內部比流體星球增加了彈性力,彈性力與自身引力一樣有抵抗形變的作用.故在上述總勢能中增加彈性勢能,由最小勢能原理可以求得在引潮力的作用下固體潮地球表面的形狀參數(shù).

3 計算過程與結果.

仍以地-月系統(tǒng)為例進行計算,設在月球引潮力的作用下，彈性地球所變成的長旋轉橢球的偏心率為e,這里e?1,是待定參數(shù),見圖2.對于彈性球的微形變,文獻[9]中式(8)和式(32)分別給出了半徑為R、切變模量為μ的均勻不可壓縮彈性球變成一個偏心率為e的、長旋轉橢球時的表面方程和彈性勢能：

(8)

(9)

另外根據(jù)文獻[6]中式(10)可知,地球在月球引潮力場中的勢能與其引力自能之和為

(10)

將彈性勢能式(9)加入到上式,得總勢能：

(11)

由于e?1,將上式右邊前兩項對e展開為冪級數(shù),每一項僅保留e的最低次項：

(12)

根據(jù)上式,圖3畫出了V隨e變化的曲線.

圖3 系統(tǒng)勢能隨偏心率的變化

由圖3可見,當e取某值時,勢能V存在極小值,如圖3中A點.極小值條件:dv/de=0.根據(jù)此方程和式(12)，容易求得偏心率平方的非零解：

(13)

上式與式(7)完全相同，這表明用最小勢能原可以導出與開爾文求解微分方程方法一致的結果.

4 討論

1) 上邊的推導過程表明,對于開爾文地球模型,當?shù)厍虻膹椥詣菽?、引力自能、引潮力勢能確定之后,用最小勢能原理計算地球固體潮形變的過程將變得非常簡便.

2) 如果考慮月球和太陽同時對地球產(chǎn)生作用,可以從式(14)從發(fā),重復上邊從式(4)到式(5)的演算過程,將會得到當三個星球在同一直線上時固體潮相關的地球表面方程：

(15)

固體潮最大漲落幅度：

Δh=r(0)-r(π/2)=

(16)

上式中μ是把地球看作彈性性質均勻時的切變模量,它是一個未知量.文獻[7]給出的Δh約為50 cm,取ρ=5 520 kg/m3,把除了μ以外的其他已知數(shù)據(jù)(見第1部分)代入上式,計算可得μ=1.05×1011Pa,這相當于某些特種鋼的切變模量.

3)如果μ→∞,即地球是剛體,則由式(15)知,Δh=0,即它無漲落,這符合預期結果.

結語:地球固體潮是在月球和太陽的引力作用下,地球的固體部分發(fā)生形變,其表面發(fā)生與海水表面類似的周期性漲落現(xiàn)象.靜態(tài)海潮遵守流體靜力學規(guī)律,而固體潮遵守彈性靜力學規(guī)律,因而固體潮的計算過程比海潮更加復雜.本文引入地球的引力自能、引潮力勢能、彈性勢能，運用最小勢能原理，對開爾文固體潮模型求出地球表面的形狀方程和固體潮漲落幅度，方便快捷地得到與開爾文潮汐理論一致的結果. 本文所用方法新穎簡捷, 物理思路清晰, 對物理學或地球物理學專業(yè)的本科生進行相關內容的學習、探討有一定的啟發(fā)幫助作用.