安 宇

(清華大學(xué) 物理系,北京 100084)

物理學(xué)中經(jīng)常有一些說法，語義比較清楚，但其中含義并不是容易理解的.這類說法有很多，比如有人會(huì)說：在超導(dǎo)體中，因?yàn)橐?guī)范對稱性被破壞，所以光子的靜止質(zhì)量不為零.其含義不容易理解，是因?yàn)榍疤岷徒Y(jié)論之間的聯(lián)系并不是很直接.要真正理解這句話，需要仔細(xì)剖析細(xì)節(jié)，建立明顯的因果聯(lián)系.還有一些說法在教材中很少解釋，比如布朗運(yùn)動(dòng)中愛因斯坦擴(kuò)散系數(shù).愛因斯坦研究布朗運(yùn)動(dòng)取得了重要成果，這是廣為人知的，但這里與布朗運(yùn)動(dòng)有關(guān)的系數(shù)為什么加上了擴(kuò)散兩字，有關(guān)它的解釋是通常教科書中不太常見的.因?yàn)榻虒W(xué)中這類概念不多見，很多學(xué)生也不太關(guān)心，所以很多教師也并不太在意.但是少數(shù)有志于物理研究的優(yōu)秀學(xué)生有可能在學(xué)習(xí)過程中觸及到這些概念，有機(jī)會(huì)就相關(guān)問題與任課教師討論，因此有責(zé)任感的物理教師有必要深入理解這些概念，挖掘其含義，以備不時(shí)之需.

本文梳理出了幾個(gè)有趣的話題做仔細(xì)分析，由此更深入理解相關(guān)的物理概念.

1 愛因斯坦擴(kuò)散系數(shù)

布朗運(yùn)動(dòng)的研究結(jié)果對物理學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了深刻影響.有很多方法研究布朗運(yùn)動(dòng)，比較直觀的方法是郎之萬模型[1]，他假設(shè)質(zhì)量為m的布朗粒子受到隨機(jī)力F的作用，在阻力系數(shù)為γ的黏性流體中運(yùn)動(dòng).為了簡單我們考慮一維情形(三維情形沒有本質(zhì)區(qū)別)：

(1)

愛因斯坦研究布朗運(yùn)動(dòng)是利用無規(guī)行走模型. 一維無規(guī)行走，要么前行，要么后退，概率都是50%，相當(dāng)于扔硬幣，正面朝上向前邁步，背面朝上向后退步. 假設(shè)平均步長為l， 平均邁一步需要時(shí)長τ，則邁了N步后，向前n步，向后N-n步的概率為

(2)

進(jìn)一步來講，愛因斯坦認(rèn)為擴(kuò)散實(shí)際是粒子無規(guī)行走的結(jié)果，等同于布朗運(yùn)動(dòng). 考慮在原點(diǎn)初始時(shí)有n0個(gè)粒子，這些粒子在一維液體中擴(kuò)散,則t時(shí)刻在x位置發(fā)現(xiàn)粒子的數(shù)目等于布朗粒子此刻無規(guī)行走到此處的概率乘以粒子數(shù)，即n0PN(n). 當(dāng)N很大時(shí)，利用式(2)近似得到

利用D、x、t替換N、m，得到

(3)

實(shí)際上，擴(kuò)散問題可通過擴(kuò)散方程直接求解：

(4)

其中ρ是擴(kuò)散粒子數(shù)密度，D*是擴(kuò)散系數(shù). 對于原點(diǎn)初始有n0個(gè)粒子的擴(kuò)散問題，有解析解[2]為

(5)

與式(3)比較，立刻得知D=D*，這就是為什么把它叫做愛因斯坦擴(kuò)散系數(shù)的原因.

2 電磁波縱波分量與光子靜止質(zhì)量

?2φ=μ2φ

(6)

(7)

湯川理論還可以用來討論類似問題. 有一種說法是，假如電磁波有縱波分量，則光子靜止質(zhì)量不為零. 我們知道在通常情況下，電磁波是橫波，因此我們假設(shè)某個(gè)電磁波除了橫波振幅，還有小的縱波振幅. 我們考察沿z方向傳播的電磁波，電場橫波沿x方向，還有一個(gè)很小的縱波振幅：

E=Exex+ξez

(8)

為了簡單，磁場只有橫波振幅：

B=Byey

(9)

它要滿足真空中電磁場方程組：

(10)

不失一般性，有

B=By(x,z-ut)；

Ex=Ex(x,z-ut)；

ξ=ξ(x,z-ut)

(11)

此時(shí)電磁波方程為

(12)

分離變量By=η(x)eik(z-ut)，其中k是波矢，u是此時(shí)波速. 將其代入式(12)，得

(13)

如果電磁波有靜止質(zhì)量，則其群速度一定小于真空中光速c，因此其相速度u>c，因?yàn)槿菀鬃C明，此時(shí)uug=c2.式(13)容易解得η=B0ei(kxx+φ)，因此有

By=B0ei(kxx+φ)eik(z-ut)

(14)

Ex=E0ei(kxx+φ)eik(z-ut)

(15)

ξ=-δei(kxx+φ)eik(z-ut)

(16)

(17)

類似地，也可以把超導(dǎo)體內(nèi)不能有磁場與光子靜止質(zhì)量不為零聯(lián)系起來. 在超導(dǎo)體內(nèi)的電磁現(xiàn)象非常豐富，但這里我們只是利用倫敦的唯象理論. 假設(shè)超導(dǎo)體內(nèi)超導(dǎo)載流子帶電荷量為es，質(zhì)量為ms，數(shù)密度為N，則根據(jù)倫敦方程，超導(dǎo)電流js和矢勢A之間有關(guān)系[4]：

(18)

這顯然就破壞了規(guī)范對稱性. 對于通常材料，電子與晶格的碰撞時(shí)間τ與 可見光波頻率ω的乘積遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于1，這可以理解為即使有變化的電流，超導(dǎo)電流遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于通常的歐姆電流，所以我們在超導(dǎo)體內(nèi)可以只考慮超導(dǎo)電流. 此時(shí)超導(dǎo)體內(nèi)電磁方程為

(19)

其中B≈μ0H,D≈ε0E. 對式(19)取旋度，然后化簡就可以得到

(20)

3 狀態(tài)空間最小體積

經(jīng)典粒子的狀態(tài)是由位置和速度確定的，我們也可以說對給定粒子位置和動(dòng)量確定了狀態(tài). 位置和動(dòng)量構(gòu)成相空間，在相空間里的位置決定了粒子的狀態(tài). 但是對于微觀粒子，由于不確定性導(dǎo)致在相空間里不能有確定的位置，不過可以有鄰域范圍. 處于某個(gè)小區(qū)域，就對應(yīng)某個(gè)狀態(tài). 假設(shè)在相空間內(nèi)，狀態(tài)的最小體積為δ，根據(jù)不確定性原理，它大致與普朗克常量h3的量級(jí)接近. 而我們現(xiàn)在都知道δ=h3，怎么會(huì)剛好就是這個(gè)大小呢？這實(shí)際是數(shù)出來的[1].

考察一個(gè)裝有微觀自由粒子的邊長為L的立方體盒子. 在界面上微觀粒子波函數(shù)為零，相當(dāng)于是駐波波節(jié)，因此有

(21)

(22)

但從另一方面來看，若相空間內(nèi)一個(gè)狀態(tài)所占最小體積為δ，則小于能量E的狀態(tài)數(shù)為

(23)

在實(shí)際教學(xué)中，我們只需在一維討論就可以了. 一維盒子實(shí)際就是在無限深勢阱內(nèi)，容易得到粒子能量：

(24)

小于能量E的狀態(tài)數(shù)為

(25)

另一方面，此時(shí)相空間是2維平面，如圖1所示. 此時(shí)有

圖1 在2維動(dòng)量-位置相平面中對應(yīng)一維盒子內(nèi)粒子能量小于E的區(qū)域

與式(25)比較，得到δ=h.

也可以通過1維諧振子討論. 對于一維諧振子，能量為

(26)

因n>>1，小于能量E的狀態(tài)數(shù)為

(27)

另一方面，能量又是動(dòng)能和勢能之和：

(28)

對于給定能量，粒子限制在相空間內(nèi)橢圓軌道上，小于該能量區(qū)域就在橢圓內(nèi)，如圖2所示. 此時(shí)，有

圖2 一維諧振子在2維動(dòng)量-位置相空間中能量小于E的區(qū)域

與式(27)比較，也得到δ=h.

4 結(jié)論

通過了解愛因斯坦早期對布朗運(yùn)動(dòng)的研究，了解到愛因斯坦擴(kuò)散系數(shù).湯川秀樹有關(guān)介子質(zhì)量的理論對于深入理解質(zhì)量概念有非常重要的啟發(fā)意義，我們由此理解了光子靜止質(zhì)量與庫侖平方率、電磁波縱波分量以及規(guī)范對稱性之間的聯(lián)系.通過簡單實(shí)例，我們了解到為什么在相空間中狀態(tài)的最小體積恰好是h3(一維h).