安 宇

(清華大學 物理系,北京 100084)

物理學中經(jīng)常有一些說法，語義比較清楚，但其中含義并不是容易理解的.這類說法有很多，比如有人會說：在超導體中，因為規(guī)范對稱性被破壞，所以光子的靜止質(zhì)量不為零.其含義不容易理解，是因為前提和結(jié)論之間的聯(lián)系并不是很直接.要真正理解這句話，需要仔細剖析細節(jié)，建立明顯的因果聯(lián)系.還有一些說法在教材中很少解釋，比如布朗運動中愛因斯坦擴散系數(shù).愛因斯坦研究布朗運動取得了重要成果，這是廣為人知的，但這里與布朗運動有關(guān)的系數(shù)為什么加上了擴散兩字，有關(guān)它的解釋是通常教科書中不太常見的.因為教學中這類概念不多見，很多學生也不太關(guān)心，所以很多教師也并不太在意.但是少數(shù)有志于物理研究的優(yōu)秀學生有可能在學習過程中觸及到這些概念，有機會就相關(guān)問題與任課教師討論，因此有責任感的物理教師有必要深入理解這些概念，挖掘其含義，以備不時之需.

本文梳理出了幾個有趣的話題做仔細分析，由此更深入理解相關(guān)的物理概念.

1 愛因斯坦擴散系數(shù)

布朗運動的研究結(jié)果對物理學的發(fā)展產(chǎn)生了深刻影響.有很多方法研究布朗運動，比較直觀的方法是郎之萬模型[1]，他假設(shè)質(zhì)量為m的布朗粒子受到隨機力F的作用，在阻力系數(shù)為γ的黏性流體中運動.為了簡單我們考慮一維情形(三維情形沒有本質(zhì)區(qū)別)：

(1)

愛因斯坦研究布朗運動是利用無規(guī)行走模型. 一維無規(guī)行走，要么前行，要么后退，概率都是50%，相當于扔硬幣，正面朝上向前邁步，背面朝上向后退步. 假設(shè)平均步長為l， 平均邁一步需要時長τ，則邁了N步后，向前n步，向后N-n步的概率為

(2)

進一步來講，愛因斯坦認為擴散實際是粒子無規(guī)行走的結(jié)果，等同于布朗運動. 考慮在原點初始時有n0個粒子，這些粒子在一維液體中擴散,則t時刻在x位置發(fā)現(xiàn)粒子的數(shù)目等于布朗粒子此刻無規(guī)行走到此處的概率乘以粒子數(shù)，即n0PN(n). 當N很大時，利用式(2)近似得到

利用D、x、t替換N、m，得到

(3)

實際上，擴散問題可通過擴散方程直接求解：

(4)

其中ρ是擴散粒子數(shù)密度，D*是擴散系數(shù). 對于原點初始有n0個粒子的擴散問題，有解析解[2]為

(5)

與式(3)比較，立刻得知D=D*，這就是為什么把它叫做愛因斯坦擴散系數(shù)的原因.

2 電磁波縱波分量與光子靜止質(zhì)量

?2φ=μ2φ

(6)

(7)

湯川理論還可以用來討論類似問題. 有一種說法是，假如電磁波有縱波分量，則光子靜止質(zhì)量不為零. 我們知道在通常情況下，電磁波是橫波，因此我們假設(shè)某個電磁波除了橫波振幅，還有小的縱波振幅. 我們考察沿z方向傳播的電磁波，電場橫波沿x方向，還有一個很小的縱波振幅：

E=Exex+ξez

(8)

為了簡單，磁場只有橫波振幅：

B=Byey

(9)

它要滿足真空中電磁場方程組：

(10)

不失一般性，有

B=By(x,z-ut)；

Ex=Ex(x,z-ut)；

ξ=ξ(x,z-ut)

(11)

此時電磁波方程為

(12)

分離變量By=η(x)eik(z-ut)，其中k是波矢，u是此時波速. 將其代入式(12)，得

(13)

如果電磁波有靜止質(zhì)量，則其群速度一定小于真空中光速c，因此其相速度u>c，因為容易證明，此時uug=c2.式(13)容易解得η=B0ei(kxx+φ)，因此有

By=B0ei(kxx+φ)eik(z-ut)

(14)

Ex=E0ei(kxx+φ)eik(z-ut)

(15)

ξ=-δei(kxx+φ)eik(z-ut)

(16)

(17)

類似地，也可以把超導體內(nèi)不能有磁場與光子靜止質(zhì)量不為零聯(lián)系起來. 在超導體內(nèi)的電磁現(xiàn)象非常豐富，但這里我們只是利用倫敦的唯象理論. 假設(shè)超導體內(nèi)超導載流子帶電荷量為es，質(zhì)量為ms，數(shù)密度為N，則根據(jù)倫敦方程，超導電流js和矢勢A之間有關(guān)系[4]：

(18)

這顯然就破壞了規(guī)范對稱性. 對于通常材料，電子與晶格的碰撞時間τ與 可見光波頻率ω的乘積遠遠小于1，這可以理解為即使有變化的電流，超導電流遠遠大于通常的歐姆電流，所以我們在超導體內(nèi)可以只考慮超導電流. 此時超導體內(nèi)電磁方程為

(19)

其中B≈μ0H,D≈ε0E. 對式(19)取旋度，然后化簡就可以得到

(20)

3 狀態(tài)空間最小體積

經(jīng)典粒子的狀態(tài)是由位置和速度確定的，我們也可以說對給定粒子位置和動量確定了狀態(tài). 位置和動量構(gòu)成相空間，在相空間里的位置決定了粒子的狀態(tài). 但是對于微觀粒子，由于不確定性導致在相空間里不能有確定的位置，不過可以有鄰域范圍. 處于某個小區(qū)域，就對應某個狀態(tài). 假設(shè)在相空間內(nèi)，狀態(tài)的最小體積為δ，根據(jù)不確定性原理，它大致與普朗克常量h3的量級接近. 而我們現(xiàn)在都知道δ=h3，怎么會剛好就是這個大小呢？這實際是數(shù)出來的[1].

考察一個裝有微觀自由粒子的邊長為L的立方體盒子. 在界面上微觀粒子波函數(shù)為零，相當于是駐波波節(jié)，因此有

(21)

(22)

但從另一方面來看，若相空間內(nèi)一個狀態(tài)所占最小體積為δ，則小于能量E的狀態(tài)數(shù)為

(23)

在實際教學中，我們只需在一維討論就可以了. 一維盒子實際就是在無限深勢阱內(nèi)，容易得到粒子能量：

(24)

小于能量E的狀態(tài)數(shù)為

(25)

另一方面，此時相空間是2維平面，如圖1所示. 此時有

圖1 在2維動量-位置相平面中對應一維盒子內(nèi)粒子能量小于E的區(qū)域

與式(25)比較，得到δ=h.

也可以通過1維諧振子討論. 對于一維諧振子，能量為

(26)

因n>>1，小于能量E的狀態(tài)數(shù)為

(27)

另一方面，能量又是動能和勢能之和：

(28)

對于給定能量，粒子限制在相空間內(nèi)橢圓軌道上，小于該能量區(qū)域就在橢圓內(nèi)，如圖2所示. 此時，有

圖2 一維諧振子在2維動量-位置相空間中能量小于E的區(qū)域

與式(27)比較，也得到δ=h.

4 結(jié)論

通過了解愛因斯坦早期對布朗運動的研究，了解到愛因斯坦擴散系數(shù).湯川秀樹有關(guān)介子質(zhì)量的理論對于深入理解質(zhì)量概念有非常重要的啟發(fā)意義，我們由此理解了光子靜止質(zhì)量與庫侖平方率、電磁波縱波分量以及規(guī)范對稱性之間的聯(lián)系.通過簡單實例，我們了解到為什么在相空間中狀態(tài)的最小體積恰好是h3(一維h).