陳向正 李 力 王 偉

（重慶市清華中學(xué)，重慶 400054）

1 浸漸不變量

當(dāng)一個(gè)周期性運(yùn)動系統(tǒng)的某個(gè)參數(shù)發(fā)生緩慢變化時(shí)，系統(tǒng)可能存在不隨時(shí)間變化的物理量，［1-2］這個(gè)量稱為“浸漸不變量”，其英文術(shù)語為“adiabatic invariant”.好比水滲透一般的緩慢，“adiabatic”常譯作“浸漸”，取“無限緩慢”的意思.［3］

“浸漸不變量”的求解原本是分析力學(xué)課程的內(nèi)容，從哈密頓力學(xué)的正則變換出發(fā)可以導(dǎo)出浸漸不變量.目前，此類問題已出現(xiàn)在高中物理培優(yōu)輔導(dǎo)之中.因此，找到一種簡潔清晰、易懂易用的初等方法，從而引導(dǎo)學(xué)生更容易理解物理本質(zhì)并求解浸漸不變量，是值得物理教師認(rèn)真鉆研、迫切需要解決的重要課題.文獻(xiàn)［4-6］已經(jīng)給出了一些初等解法，特別是文獻(xiàn)［6］為了更適合中學(xué)生的學(xué)習(xí)理解，對初等解法作了一定的改進(jìn)，但仍然比較繁瑣，且思路不夠自然清晰，還有進(jìn)一步優(yōu)化的必要.

既然由于參數(shù)的緩慢變化導(dǎo)致某周期性運(yùn)動中產(chǎn)生了“不變量”，所以原則上不必考慮任何一個(gè)時(shí)刻，而只需考慮一個(gè)周期內(nèi)的平均效果，也能找到相應(yīng)的“浸漸不變量”.遵循這一想法，本文從“微分”、“有效值”、“能量”3個(gè)基本概念出發(fā)，提煉出一種思路非常自然、更加通俗易懂的“三步法”，能夠簡明求解浸漸不變量.此初等方法物理本質(zhì)凸顯，物理圖像鮮明，數(shù)學(xué)推導(dǎo)簡單，值得向廣大中學(xué)師生介紹.

2 “三步法”要點(diǎn)

第（1）步微分運(yùn)算.常用的公式有d（uv）=vdu+udv；若二元函數(shù)z=z（x，y），則全微分dz=zxdx+zydy，其中zx、zy分別是z對x、y的偏導(dǎo)數(shù).

第（2）步巧用有效值.由我們熟悉的正弦式交變電流i=Imcosωt的有效值I的定義，顯然有故；這個(gè)關(guān)系可推廣至任意對時(shí)間t正弦式變化的物理量，即若x=Xmcosωt，則x2對時(shí)間的平均值

第（3）步能量守恒.視具體問題的不同，其表達(dá)式往往靈活采取不同的形式，如熱力學(xué)第一定律的形式dE=dW+dQ.

依據(jù)前面的想法可知，上面第2步最關(guān)鍵，因?yàn)橛行е档钠椒狡鋵?shí)就是簡諧周期運(yùn)動物理量的平方的平均值.

3 實(shí)例分析

3.1 單擺擺線緩慢收縮過程中的浸漸不變量

例1.如圖1所示，單擺的擺線通過一個(gè)光滑小孔O，擺球質(zhì)量為m，重力加速度為g.緩慢拉擺線使其長度l逐漸縮短.設(shè)擺動過程中單擺近似做簡諧運(yùn)動，求擺線長度l和擺角幅值θm的關(guān)系.

圖1 單擺

解析：（1）全微分能量函數(shù).取懸點(diǎn)O所在平面為勢能零平面，由于最大擺角θm很小，故簡諧運(yùn)動的能量

注意到右端l、θm是變量，微分得

（2）巧用有效值求平均值.在振動中任一位置θ處，線上拉力的瞬時(shí)表達(dá)式可由向心力公式寫出

（3）由能量守恒dE=dW，將（2）、（4）式代入化簡有3θmdl+4ldθm=0，分離變量積分可得浸漸不變量為

3.2 重力加速度緩慢變化過程中的單擺的浸漸不變量

繼例題1，設(shè)擺長l保持不變，重力加速度g無限緩慢地增加（可以想象為是單擺在一個(gè)加速度緩慢變化的電梯中，以電梯為參考系時(shí)，等效重力加速度g緩慢變化），求重力加速度g和擺角幅值θm之間的關(guān)系.

解析：（1）全微分能量函數(shù).仍取懸點(diǎn)處為零勢能點(diǎn)，E如前面（1）式，但是現(xiàn)在g、θm是變量，由于（1）式中g(shù)、l處于交換對稱地位，故在（2）式中令l?g、dl→dg得

由于g的增加導(dǎo)致的能量增加

4 結(jié)語

上述兩例是文獻(xiàn)中比較常見的浸漸不變量問題，例如文獻(xiàn)［6］的例題2和例題3.解題時(shí)會完整地出現(xiàn)3個(gè)步驟.而文獻(xiàn)［6］中的理想氣體絕熱不變量的推導(dǎo)以及例題1，由于不涉及求簡諧周期運(yùn)動中的平均值，所以只會用到“全微分”和“能量守恒”兩步，從而更加簡單，此處不再贅述.