蘇 俊 謝基偉 潘蘇東 王思慧 翁雨燕

（1.華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院，上海 200062；2.江蘇省海安高級中學(xué)，江蘇 海安 226600；3.南京大學(xué)天文與空間科學(xué)學(xué)院，江蘇 南京 210023；4.南京大學(xué)物理學(xué)院，江蘇 南京 210023；5.蘇州大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，江蘇 蘇州 215006）

1 引言

我們經(jīng)?？吹焦h(yuǎn)鏡拍攝的引力透鏡照片，什么是引力透鏡，它是怎樣形成的？這是很多中學(xué)師生非常感興趣的問題.根據(jù)愛因斯坦的廣義相對論，當(dāng)光線經(jīng)過大質(zhì)量天體附近時會發(fā)生偏轉(zhuǎn)，形成引力透鏡效應(yīng)，類似于一個光學(xué)透鏡對光線的折射.在美國高中物理教材《科學(xué)發(fā)現(xiàn)者：物理原理與問題》中有不少物理前沿知識的介紹，其中在光學(xué)基礎(chǔ)部分介紹了引力透鏡效應(yīng).［1］另外，引力透鏡效應(yīng)在亞洲物理奧林匹克競賽和泛珠三角物理邀請賽等中學(xué)生物理競賽中也作為試題出現(xiàn)過.［2］圖1（a）為引力透鏡示意圖，背景光源發(fā)出的光經(jīng)過前方天體發(fā)生偏轉(zhuǎn)，形成扭曲的像；圖1（b）為哈勃望遠(yuǎn)鏡拍攝的愛因斯坦圓環(huán)，背景天體的光線被前景天體扭曲，呈現(xiàn)環(huán)狀的像.

圖1 引力透鏡效應(yīng)

2019年諾貝爾物理獎頒發(fā)給了兩個領(lǐng)域，表彰詹姆斯·皮布爾斯教授對物理宇宙學(xué)的理論貢獻(xiàn)；同時授予米歇爾·梅耶教授和迪迪?！た迤澖淌?，他們利用徑向速度法第一次發(fā)現(xiàn)了一顆圍繞類太陽恒星運(yùn)行的系外行星飛馬座51b，［3］開啟了人類對太陽系外行星與生命的探索.根據(jù)exoplanet.eu官網(wǎng)統(tǒng)計，至今人類已經(jīng)發(fā)現(xiàn)4000多顆系外行星.系外行星的主要搜尋方法有徑向速度法、凌星法、微引力透鏡法.徑向速度法和凌星法是目前系外行星的主要搜尋方法，筆者在之前的工作中介紹了這兩種方法.［4］當(dāng)一個系外行星經(jīng)過背景光源與觀測者之間，行星的引力也會使得光線發(fā)生微弱的偏轉(zhuǎn)，使得背景光源的亮度出現(xiàn)漲落，這種現(xiàn)象稱為“微引力透鏡效應(yīng)”（為簡化問題，接下來我們統(tǒng)稱引力透鏡效應(yīng)），利用這種引力透鏡效應(yīng)也可以進(jìn)行系外行星的搜尋.

在物理教育教學(xué)過程中，適當(dāng)給中學(xué)生拓展科學(xué)前沿知識是值得嘗試的，有利于培養(yǎng)中學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)，拓寬學(xué)科視野.引力透鏡效應(yīng)是我們在天文照片上看到的現(xiàn)象，我們能否在實(shí)驗(yàn)室中真實(shí)模擬出引力透鏡效應(yīng)？

1969年SidneyLiebes等人構(gòu)建了一個與引力透鏡等效的物理模型，為在實(shí)驗(yàn)室中模擬引力透鏡效應(yīng)提供了可能.［5］但是，在當(dāng)時要制作出滿足特定函數(shù)曲面的透鏡在技術(shù)比較繁瑣.3D打印技術(shù)在近些年得到了快速發(fā)展，打印精度和速度不斷提高，同時打印成本也在不斷降低，在很多中學(xué)的實(shí)驗(yàn)室也會配備3D打印機(jī).光敏樹脂3D打印機(jī)的出現(xiàn)使得打印透鏡成為現(xiàn)實(shí).這里，我們利用了3D打印技術(shù)來制作滿足特定函數(shù)曲面的透鏡.

本文將首先介紹引力透鏡效應(yīng)的基本原理，然后描述利用3D打印技術(shù)制作引力透鏡的方法，再從實(shí)驗(yàn)上模擬引力透鏡效應(yīng)的主要特征以及系外行星的搜尋.

2 引力透鏡的原理

根據(jù)愛因斯坦廣義相對論，由于引力場的作用，當(dāng)光線經(jīng)過質(zhì)量為M的天體附近時，光線會發(fā)生偏轉(zhuǎn)，當(dāng)偏轉(zhuǎn)角α很小時，α近似表示成［6］

其中G為萬有引力常數(shù)，r為碰撞參數(shù)，c為真空中的光速.

光線在引力場中的偏轉(zhuǎn)會產(chǎn)生引力透鏡效應(yīng)，下面我們來分析最簡單的情形，如圖2，點(diǎn)質(zhì)量天體M充當(dāng)一個“透鏡”，記作L，點(diǎn)光源S發(fā)出的光經(jīng)過點(diǎn)質(zhì)量天體M附近發(fā)生偏轉(zhuǎn)，觀測者從O點(diǎn)觀測光源S的像.其中DL為L與O的距離，DLS為L與S的距離，DS為O與S的距離，θS為S相對于L、O連線的張角，θI為S的像I相對于L、O連線的張角.由于天體間的距離比較遠(yuǎn)，以下計算均認(rèn)為這些角度很小.

圖2 引力透鏡效應(yīng)

由圖2可知θIDS=θSDS+αDLS，其中r≈θIDL，利用（1）式可得

當(dāng)三者共線時，θS=0，可得像的張角為，S的像是一個對稱的環(huán)，稱為愛因斯坦圓環(huán)，張角θI記作θE，即

若S與L、O的連線不共線，（2）式有兩解

光源S有兩個像，張角分別為θ1與θ2，其中張角為θ1的像位于愛因斯坦圓環(huán)外側(cè)，張角為θ2的像位于愛因斯坦圓環(huán)內(nèi)側(cè).可以證明，兩個像總的光強(qiáng)Itot會大于光源S原有的光強(qiáng)IS，且Itot表示為［7］

當(dāng)點(diǎn)質(zhì)量天體M以一定速度v垂直視線方向經(jīng)過恒星S與觀測者O之間時，根據(jù)（5）式，微弱的引力透鏡效應(yīng)會使得恒星S亮度出現(xiàn)漲落，光變曲線如圖3.當(dāng)一個恒星 -行星系統(tǒng)經(jīng)過恒星S與觀測者O之間，忽略該過程中主恒星M與行星P相對位置變化，如圖4，行星的引力場也會產(chǎn)生微弱的引力透鏡效應(yīng)，但是強(qiáng)度更弱，光變曲線在圖3的基礎(chǔ)上會有一個微小的變化，通過捕捉這種微小變化來搜尋系外行星.

圖3 M產(chǎn)生的引力透鏡效應(yīng)

圖4 恒星-行星系統(tǒng)的微引力透鏡效應(yīng)

3 模擬實(shí)驗(yàn)

3.1 制作透鏡

接下來構(gòu)建點(diǎn)質(zhì)量天體對應(yīng)的引力透鏡，并利用3D打印機(jī)將透鏡打印出來.設(shè)底面半徑為r處透鏡厚度為D（r），透鏡的折射率為n，切線斜率滿足，如圖5（a），光線垂直于底面入射，空氣折射率取1，根據(jù)斯涅耳定律有nsinβ=sin（α+β），α為入射角，β為折射角.當(dāng)α，β為小角，則，積分得

其中B為積分常數(shù)，通過改變參數(shù)A，B調(diào)整透鏡的厚度.筆者利用數(shù)學(xué)軟件Mathematica11畫出（6）式的三維圖形，如圖5（b），這里取B=50，A=3，r的取值范圍為0.5～40，D（r）的取值范圍為38～45，利用PlotTheme→ “FilledSurface”命令來填充曲面內(nèi)部空間.為了使打印出的透鏡表面更平滑，添加了PlotPoints→200命令，然后利用PrintOut3D命令將圖形保存成3D打印機(jī)能夠識別的STL文件格式.最后，筆者使用耗材為透明光敏樹脂的3D打印機(jī)打印出兩個尺寸的透鏡（打印精度為0.1mm）.如圖6，透鏡L1的尺寸為15cm×15cm×1.3cm，透鏡L2的尺寸為7cm×7cm×0.6cm.

圖5 透鏡示意圖

圖6 3D打印的透鏡

3.2 模擬引力透鏡效應(yīng)

利用3D打印的透鏡模擬引力透鏡效應(yīng).將透鏡L1固定在光具座的支架上，利用一個LED燈來模擬光源S，通過相機(jī)來拍攝S的像.將透鏡中心、相機(jī)鏡頭和LED燈調(diào)整到同一高度，透鏡放置于相機(jī)與光源之間，并盡量做到光線垂直入射透鏡.在垂直于相機(jī)和光源的連線上移動透鏡，從而改變透鏡的位置.當(dāng)光源、相機(jī)和透鏡3者共線時，可看到愛因斯坦圓環(huán)；當(dāng)3者不共線時出現(xiàn)兩個像S1和S2，如圖7，虛線表示愛因斯坦圓環(huán)所在的位置，可以看到像S1位于愛因斯坦圓環(huán)外側(cè)，像S2位于愛因斯坦圓環(huán)內(nèi)側(cè)，且像S1比S2更明亮.

圖7 （a）圖為光源、相機(jī)和透鏡共線時出現(xiàn)的愛因斯坦圓環(huán)；（b）圖為三者不共線時出現(xiàn)的兩個像S1和S2

3.3 模擬系外行星的搜尋

系外行星在移動過程中會引起背景光源亮度的漲落，我們利用手機(jī)軟件Phyphox中的Light功能來測量亮度的變化.在相機(jī)的位置上放置手機(jī)，在垂直于手機(jī)與光源的方向上緩慢移動透鏡L1，可以看到透鏡掃過手機(jī)與光源連線過程中的亮度變化，如圖8（a）.接下來，模擬系外行星的引力透鏡效應(yīng)，這里利用尺寸較大的L1透鏡模擬主恒星M，小尺寸L2透鏡來模擬行星P，將L2透鏡固定在光具座的另一個支架上，靠近L1透鏡并排放置（為簡化問題，這里認(rèn)為主恒星M與行星P相距較遠(yuǎn)，兩者的引力透鏡效應(yīng)相對獨(dú)立），并調(diào)整兩透鏡中心在同一高度，同時緩慢移動兩個透鏡，使得透鏡L1、L2先后掃過手機(jī)與光源連線，我們看到亮度出現(xiàn)兩個峰值，如圖8（b）.用這個方法可以簡便模擬恒星-行星系統(tǒng)的引力透鏡效應(yīng).

圖8 （a）圖為透鏡L1掃過手機(jī)與光源連線過程中的亮度變化；（b）圖為透鏡L1、L2先后掃過手機(jī)與光源連線亮度變化

4 結(jié)論

本文中，我們構(gòu)建出符合點(diǎn)質(zhì)量引力透鏡效應(yīng)的透鏡模型，并用3D打印機(jī)打印出透鏡.我們利用透鏡來模擬了愛因斯坦圓環(huán)和源的成像，同時也模擬了系外行星的搜尋過程.該實(shí)驗(yàn)所需的器材簡便易得，可以把天文圖片中才能看到的現(xiàn)象變成有趣的研究性課程實(shí)踐活動，學(xué)生在實(shí)驗(yàn)室中就可以模擬出天體的引力透鏡效應(yīng).