張玉輝， 張 帆， 崔國華

(上海工程技術(shù)大學 機械與汽車工程學院，上海 201620)

0 引 言

折紙在生活中隨處可見，它可以采用一系列較為復雜的過程將一個二維平面制成一個美麗的三維模型。1989 年，第一屆折紙科學國際會議在意大利費拉拉城召開。1994 年，第二屆折紙科學國際會議吸引了越來越多的研究學者參與，對于折紙的數(shù)理問題研究也越來越清晰，至此，一門新學科——折紙幾何學誕生了，折紙數(shù)理也逐漸發(fā)展成為現(xiàn)代幾何學的一個重要分支[1-4]。在以數(shù)理問題討論的前提下，折紙總被理想化為無厚度。

隨著近年來航空和建筑結(jié)構(gòu)的發(fā)展，折紙進入了一些機構(gòu)學專家的視線，并給予了他們新的靈感和啟發(fā)。參考折疊機構(gòu)，把折紙中的折痕類比為轉(zhuǎn)動副[5]，從而發(fā)展出了一系列的折紙機構(gòu)。折紙機構(gòu)具有折疊后占用空間小、便于攜帶運輸、質(zhì)量輕、展開后可以穩(wěn)定保持等優(yōu)點，這些優(yōu)點正是吸引許多工程師關(guān)注的關(guān)鍵所在。常見的實例就是帳篷，它就具有典型的上述優(yōu)點，所以也成為探險愛好者的必備。此外還有雨傘、英國牛津大學發(fā)明的折疊購物袋等[6]。更高層次的如能量吸收裝置、太陽翼[7-8]、折紙醫(yī)用支架[9]、生物醫(yī)學中的微型折紙機器人[10-12]等。根據(jù)折疊過程中折痕之間的單元面是否發(fā)生形變，折紙機構(gòu)又可分為柔性折紙機構(gòu)和剛性折紙機構(gòu)[13]。柔性折紙機構(gòu)在折疊過程中單元面為柔性結(jié)構(gòu)，可以發(fā)生變形，最常見的有雨傘、帳篷等。剛性折紙機構(gòu)多了一種限制條件，即一系列的折疊運動是其單元面圍繞預定折痕旋轉(zhuǎn)，而它的單元面為剛性結(jié)構(gòu)，不會發(fā)生扭曲變形。所以剛性折紙機構(gòu)的單元面是一個分段線性的可展開平面，在機構(gòu)學中可以用剛性平板和轉(zhuǎn)動副分別代替單元面和折痕，折痕相交處頂點可以視為球面鏈接[14]，這樣就形成了一個機械結(jié)構(gòu)。在工程項目中，這樣的機械結(jié)構(gòu)作用很大，例如在航空航天領(lǐng)域，構(gòu)建一個空間的外表面密封結(jié)構(gòu)，基于純幾何機制，不依賴于材料的彈性，可以重復使用且穩(wěn)定。

目前，剛性折紙機構(gòu)研究成果主要在剛性折疊和自由度分析等方面，霍夫曼(Huffman)[15]使用球面三角法分析了折紙機構(gòu)二面角的關(guān)系；Balkcom等[16]推導了折痕轉(zhuǎn)角的關(guān)系表達式；Belcastro[17]使用矩陣方法對論文進行建模，并討論了剛性折紙的必要條件；Wu和You[18]利用四元數(shù)方法和雙四元數(shù)方法，Nojima等[19]利用數(shù)值算法分析單頂點和多頂點折紙的剛性可折疊性；Chen等[20]采用D-H參數(shù)法在基于水雷結(jié)構(gòu)的厚板化研究中分析了自由度；Cai等[21]使用雅可比矩陣分析了折紙機構(gòu)的自由度；Chen等[22-24]使用非線性算法分析其運動特性并計算了機構(gòu)的自由度；Yu等[25]利用螺旋理論分析單頂點和多頂點折紙機構(gòu)的自由度；Tachi[26]提出了一種幾何方法獲得一維自由折疊的剛性折疊結(jié)構(gòu)。以上研究均有效地推動了折紙機構(gòu)理論的進步,但是由于折紙機構(gòu)的多樣性，許多分析方法都具有局限性，僅針對某些特定的構(gòu)型，特別是在求解折痕轉(zhuǎn)角關(guān)系的時候，采用的計算方法過于復雜，或得到的關(guān)系表達式較復雜，不夠簡明直觀，有的沒有考慮冗余解的問題，這些都限制了對于較為復雜折紙機構(gòu)的理論研究。

總結(jié)上述這些問題，對剛性折紙機構(gòu)折疊分析展開研究，核心是找到剛性約束，因為能折疊不代表一定能夠剛性折疊。以三角形折紙機構(gòu)為例，其中心三角形的3邊，是連接3個單頂點折痕機構(gòu)的公共轉(zhuǎn)軸，若能剛性折疊，則作為公共轉(zhuǎn)軸連接相鄰頂點的兩端必須協(xié)調(diào)一致，否則就會出現(xiàn)扭曲折疊。本論文從單頂點四折痕機構(gòu)的運動學分析出發(fā)，找出單頂點折紙機構(gòu)各折痕轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系，進而拓展到由單頂點四折痕機構(gòu)組合而成的多邊形折紙機構(gòu)，找出其運動學關(guān)系，并圍繞剛性折紙機構(gòu)的公共折痕展開分析，推導出剛性折疊的判斷依據(jù)。相對以往，簡化了求解折痕轉(zhuǎn)角關(guān)系的復雜計算過程，并進一步得到更加簡明直觀的轉(zhuǎn)角關(guān)系表達式，對于不同的多邊形折紙機構(gòu)不需要再進行單獨的運動學分析，擴大了適用范圍，簡化了較多繁瑣且重復計算的步驟。

1 單頂點四折痕機構(gòu)運動學分析

單頂點四折痕折紙機構(gòu)是較為基礎(chǔ)的折紙模型，對于復雜的多邊形折紙機構(gòu)運動學關(guān)系和折疊條件的研究都有重要的指導意義。圖1所示為單頂點四折痕折紙機構(gòu)折疊前后的狀態(tài)，圖中的α為相鄰折痕間對應的扇形角，ψ為折疊時相鄰扇面的二面角。對于單頂點四折痕折紙機構(gòu)，假設(shè)了兩種峰谷布置方式如圖2所示。

(a) 展開狀態(tài)

(b) 折疊狀態(tài)

(a) Ⅰ型峰谷布置方式

(b) Ⅰ型球面多邊形

(c) Ⅱ型峰谷布置方式

(d) Ⅱ型球面多邊形

如圖2(a)所示的Ⅰ型峰谷布置方式，θ1為谷折痕，經(jīng)過折疊如圖1(b)選取俯視圖，可以得到圖 2(b)，同理，由圖2(c)所示的Ⅱ型峰谷布置方式，θ2為谷折痕，可以得到圖2(d)；二面角ψ與折痕轉(zhuǎn)角θ是互補的，對于峰折痕有ψ=π-θ，對于谷折痕有ψ=θ-π。

對于圖2(b)，令λ1為連接該多邊形φ1和φ3角的球面上的弧，λ2為連接該多邊形的ψ2和ψ4角的球面上的弧，將其分為4個球面三角形， 然后，依據(jù)球面三角學知識，如式(1)和式(2)所示：

cosλ1=cosα1cosα2+sinα1sinα2cosψ2

(1)

cosλ1=cosα3cosα4+sinα3sinα4cosψ4

(2)

對于單頂點四折痕折紙機構(gòu)，根據(jù)川崎定理，可知扇形角關(guān)系如式(3)所示：

α3=π-α1，α4=π-α2

(3)

式(1)和(2)相減：

0=sinα1sinα2(cosψ2-cosψ4)

因為0<α1<π ， 0<α2<π，所以cosψ2-cosψ4=0，而0≤ψ2≤π , 0≤ψ4≤π，得到：

ψ2=ψ4

(4)

同理：

cosλ2=cosα1cosα4+sinα1sinα4cos(2π-ψ1)
cosλ2=cosα2cosα3+sinα2sinα3cosψ3

得到：

2π-ψ1=ψ3

(5)

由式(4)和式(5)可以得到圖2(a)折痕轉(zhuǎn)角θ的關(guān)系如式(6)所示：

θ1=-θ3,θ2=θ4

(6)

同樣，對于圖2(d)，令λ1為連接該多邊形的ψ2和ψ4角的球面上的弧，λ2為連接該多邊形的ψ1和ψ3角的球面上的弧，將其分為4個球面三角形，可得：

ψ1=ψ3,2π-ψ2=ψ4

圖2(c)折痕轉(zhuǎn)角θ的關(guān)系如式(7)所示：

θ1=θ3,θ2=-θ4

(7)

再根據(jù)Robert Lang推導得到的角度關(guān)系式，對于圖2(b)，有

結(jié)合式(1)，式(4)和式(5)，可得：

(8)

利用半角公式，如式(9)所示：

(9)

由二面角與折痕轉(zhuǎn)角的關(guān)系，結(jié)合式(6)，有

(10)

式(6)和式(10)表達了圖2(a)單頂點四折痕機構(gòu)的運動學關(guān)系。

同樣對于圖2(d)，有

利用半角公式可得式(11)：

(11)

由二面角與折痕轉(zhuǎn)角的關(guān)系，結(jié)合式(7)，有

(12)

式(7)和式(12)表達了圖2(c)單頂點四折痕機構(gòu)的運動學關(guān)系。

2 三角形折紙機構(gòu)

由上面對單頂點四折痕機構(gòu)的分析，可以進一步拓展到三角形折紙機構(gòu)，如圖3所示。

(a) 扇面角 (b) 折痕轉(zhuǎn)角

2.1 運動學分析

對于三角形折紙機構(gòu)，可以將其看作由3個單頂點四折痕機構(gòu)組合而成，其頂點分別為A，B，C，它們都滿足單頂點四折痕機構(gòu)的運動學分析。

對于A頂點的四折痕機構(gòu)，最小扇形角為γ，可以類比圖2(a)的類型，如式(13)所示：

(13)

對于B頂點的四折痕機構(gòu)，最小扇形角為δ，可以類比圖2(a)的類型，如式(14)所示：

(14)

由剛性約束和單頂點四折痕機構(gòu)的運動學關(guān)系，得到如式(15)所示:

(15)

結(jié)合式(13)和式(14)，可得式(16)：

(16)

總結(jié)三角形折紙機構(gòu)的運動學關(guān)系如式(17)所示：

(17)

2.2 剛性可折疊條件

由前面的分析，對于A,B頂點的四折痕機構(gòu)得到關(guān)系如式(18)和式(19)所示：

(18)

(19)

對于C頂點的四折痕機構(gòu)，最小扇形角為ε，可以類比圖2(c)的類型，如式(20)所示：

(20)

若要實現(xiàn)剛性折疊，則要滿足剛性約束條件，如式(21)所示:

(21)

即有

(22)

當式(22)成立，則說明該三角形折紙機構(gòu)可以實現(xiàn)剛性折疊。

對于圖4折紙機構(gòu)，A，B，C頂點的四折痕機構(gòu)，根據(jù)式(10)和式(12)，有

當kA>1,kB>1,kC<1時，給α，β，γ和δ分配任意值，根據(jù)剛性約束條件，如式(23)所示：

(23)

總是可以找到最小角ε滿足上述條件，即圖4第一類三角形折紙機構(gòu)可以剛性折疊。

圖4 第一類三角形折紙機構(gòu)Fig. 4 The first type of triangular origami mechanism

對于圖5折紙機構(gòu)，A，B，C頂點的四折痕機構(gòu)，根據(jù)式(10)和式(12)，有

當kA>1,kB<-1,kC<-1時，根據(jù)剛性約束條件，如式(24)所示：

(24)

等式無法成立，即圖5第二類三角形折紙機構(gòu)不可以剛性折疊。

圖5 第二類三角形折紙機構(gòu)Fig. 5 The second type of triangular origami mechanism

3 四邊形折紙機構(gòu)的分析

3.1 運動學分析

如圖6所示的四邊形折紙機構(gòu)，按照前面三角形折紙機構(gòu)的分析思路，可以將其看作由4個單頂點四折痕機構(gòu)組合而成，其頂點分別為A，B，C，D，它們都滿足單頂點四折痕機構(gòu)的運動學分析。

圖6 四邊形折紙機構(gòu)Fig. 6 Quadrilateral paper folding mechanism

對于A頂點的四折痕機構(gòu)，最小扇形角為δ，可以類比圖2(a)的類型，關(guān)系如式(25)所示：

(25)

對于B頂點的四折痕機構(gòu)，最小扇形角為ε，可以類比圖2(c)的類型，關(guān)系如式(26)所示：

(26)

對于C頂點的四折痕機構(gòu)，最小扇形角為σ，可以類比圖2(a)的類型，關(guān)系如式(27)所示：

(27)

由剛性約束和單頂點四折痕機構(gòu)的運動學特性，可以推出折痕轉(zhuǎn)角關(guān)系如式(28)所示：

(28)

再結(jié)合式(25)，(26)和(27)，有

(29)

通過式(28)和(29)，得到了四邊形折紙機構(gòu)的折痕運動學關(guān)系。

3.2 剛性可折疊條件

由前面的分析，對于A,B,C,D頂點的四折痕機構(gòu)可以得到關(guān)系如式(30)所示：

(30)

同理，若要實現(xiàn)剛性折疊，則要滿足剛性條件，如式(31)所示：

(31)

也即

(32)

所以滿足式(32)即可實現(xiàn)剛性折疊。

4 結(jié) 論

主要研究了折紙機構(gòu)的運動學關(guān)系并對剛性折疊條件進行了推導，以單頂點四折痕折紙機構(gòu)為基礎(chǔ)，對兩種不同峰谷分配方案的運動學關(guān)系進行了具體分析推理，進一步拓展到多邊形折紙機構(gòu)。對于多邊形折紙機構(gòu)，其中心的多邊形可以視為公共轉(zhuǎn)軸，若作為公共轉(zhuǎn)軸，兩端轉(zhuǎn)動角度能夠保持一致，則判斷可實現(xiàn)剛性折疊，否則就不能剛性折疊，所以關(guān)鍵是分析剛性折紙機構(gòu)的運動特性。因此，可將多邊形折紙機構(gòu)拆分為若干個單頂點四折痕折紙機構(gòu)，運用球面幾何學、三角函數(shù)等數(shù)理方法進行分析，其中以三角形折紙機構(gòu)和四邊形折紙機構(gòu)為例分析了折痕轉(zhuǎn)角的運動學關(guān)系和剛性折疊的成立約束條件，通過對較為簡單基礎(chǔ)的折紙模型的特性分析，結(jié)合剛性約束這一條件，拓展到更為復雜的多邊形折紙機構(gòu)，簡化以往對不同折紙機構(gòu)需要單獨進行分析研究的復雜過程，擴大了適用范圍，避免了較多重復的計算推導，對于研究判斷更為復雜的多邊形折紙機構(gòu)能否剛性折疊提供了通用化的判斷依據(jù)。