周業(yè)勤　張輝

摘? 要： 三維擬仿射變換是一種經(jīng)典的圖像加密算法，為了改善算法的加密效果及其安全性，在其基礎(chǔ)上，提出一種新三維擬仿射變換圖像加密算法。該算法將明文圖像從左到右、從上到下、逐個像素地進行非線性擴散，同時將圖像分成多個塊，根據(jù)混沌序列的隨機值加密相應(yīng)的圖像塊。分析結(jié)果表明，新三維擬仿射變換圖像加密算法的密鑰空間非常大，運算速度快，安全性能好。

關(guān)鍵詞： 圖像加密; 仿射變換; Logistic映射; 信息安全

中圖分類號：TP309.7? ? ? ? ? 文獻標識碼：A? ? ?文章編號：1006-8228（2022）02-31-05

New three-dimensional quasi affine transform for image encryption

Zhou Yeqin， Zhang Hui

（Shandong Police College Police Technology and Equipment Innovation Research Center， Jinan， Shandong 250000， China）

Abstract： Three-dimensional quasi affine transform is a classical image encryption algorithm. In order to improve the encryption effect and security of the algorithm， a new three-dimensional quasi affine transform algorithm for image encryption is proposed on its basis. In this algorithm， the plaintext image is non-linearly diffused pixel by pixel from left to right and from top to bottom. At the same time， the image is divided into multiple blocks， and the corresponding image blocks are encrypted according to the random value of chaotic sequence. The analysis result shows that the new three-dimensional quasi affine transform image encryption algorithm has quite large key space， high operation speed and excellent security performance.

Key words： image encryption; affine transformation; Logistic mapping; information security

0 引言

隨著多媒體和網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的發(fā)展，圖像安全一直是信息安全的重點研究領(lǐng)域，圖像加密又是圖像安全的核心部分。針對圖像數(shù)據(jù)的特點，眾多學者提出各種相關(guān)技術(shù)的圖像加密算法，主要可以分為空間域和變換域兩個方向，比如基于Arnold映射[1]、幻方變換[2]、基于位運算[3]等技術(shù)的應(yīng)用。本文主要對空間域的仿射變換進行改進，保持了其加密速度快的特點，同時增加密文映射復(fù)雜度，提出一種更適合實際應(yīng)用的新三維擬仿射變換圖像加密算法。

朱桂斌等人提出二維仿射變換有較好的置亂效果，但是變換后圖像像素的值沒有改變，并且具有置亂周期[4];文昌辭等人將二維仿射變換擴展到三維，在進行圖像像素位置置亂的同時還能改變圖像像素值的值，但是變換周期性的問題依然存在[5];進而文昌辭等人提出在變換后以再次進行擴散和替換操作，但多次擾動混沌系統(tǒng)使得算法運行效率低[6]。本文在三維擬仿射變換圖像加密算法的基礎(chǔ)上提出一種新圖像加密算法。該算法首先預(yù)處理待加密圖像，然后將明文圖像從左到右從上到下逐個像素進行非線性擴散，同時將圖像分成多個塊，根據(jù)混沌序列值加密相應(yīng)的圖像塊。分析結(jié)果表明，新三維擬仿射變換圖像加密算法的算法密鑰空間大，運算速度快，安全性能好。

1 混沌映射

混沌系統(tǒng)定義如下[7]：

假設(shè)存在一個連續(xù)自映射f：i→I?R，I是R集合里的一個閉區(qū)間，如果有一個不可數(shù)的集合S?I滿足下面的三個條件[8]：

2 三維擬仿射變換

三維擬仿射變換是一種經(jīng)典的并能適應(yīng)于任意圖像大小的圖像加密算法，該算法能置亂像素的位置，置亂的同時還能改變像素值，加密速度快。其定義如式⑷，其中a、b、c、d、e、f、g、h、l、r、s、t為實數(shù)，M、N、L為正整數(shù)，設(shè)x、y、z為整數(shù)且x，x'∈[0，M-1]，y，y'∈[0，N-1]，z，z'∈[0，L-1]，符[]表示取整運算[9]。

為了保證加密圖像能正確恢復(fù)原信息，置亂變換須是一一映射的，對變換式⑷的參數(shù)進行適當改進，得到適用于加密和解密的一一映射變換式⑸，其中q=M/gcd（M，N），d∈Z，nq∈Z，1+dnq∈Z，gcd（l，L）=1，g、h、r、s、t為任意實數(shù)，gcd（）為求最大公因子，Z為模M剩余類，Z為模N剩余類[10]。

已知一張圖片，那么圖像的像素個數(shù)是固定的，對固定個數(shù)進行排列，其所能構(gòu)成的結(jié)果是有限的，所以由固定個像素構(gòu)成的圖像狀態(tài)是有限的，也因此如果只是單純的置亂，在若干次置亂后終會恢復(fù)原圖像或者出現(xiàn)原圖像的輪廓信息。所以說三維擬仿射變換用于圖像加密時具有周期性，在加密特定次數(shù)后會出現(xiàn)原圖像輪廓信息甚至原圖像。下面做一個實驗，取大小為96*96的lena測試圖進行三維擬仿射變換，實驗結(jié)果如圖3所示：隨著加密次數(shù)的增加，每間隔一段加密次數(shù)會出現(xiàn)原圖像輪廓，甚至在加密256次后出現(xiàn)了原始圖像，很顯然，如果將三維擬仿射變換直接應(yīng)用于圖像加密會存在顯示原圖輪廓甚至原圖的安全隱患。

3 新三維擬仿射變換

本文在三維擬仿射變換的基礎(chǔ)上提出一種新三維擬仿射變換加密辦法，主要是通過混沌分塊置亂的辦法。具體過程，第一步：將加密圖像從上到下、從左到右依次對每個像素進行非線性擴散;第二步：將圖像分為多個具有相互重疊部分的塊，依據(jù)混沌序列相應(yīng)的值加密對應(yīng)值的圖像塊;第三步：組合成加密圖像，此時圖像已經(jīng)得到充分置亂和擴散。如果需要更加安全的結(jié)果，可以重復(fù)加密多次，設(shè)原圖像A大小為M×N。

具體算法過程如下：

⑴ 變換前預(yù)擴散運算。通過計算式C'=（C+C'）mod256，將原圖像從上到下、從左到右依次對每個像素進行非線性擴散，其中C代表當前行第i個像素計算之前的值，C'代表擴散之后的值，i∈1，N，C代表當前行的上一行的最后一個像素值。計算第一個像素值時將式中C'設(shè)為已知值。

⑵ 將進行完⑴操作后的圖像分為八個更小的塊：以行為單位分成四部分A（1：m，：），A（m+1：m，：），A（m+1：m，：），A（m+1：M，：），以列為單位分成四部分A（：，1：n），A（：，n+1：n），A（：，n+1：n），A（：，n+1：N），即矩陣A按行可以表示成圖4，按列可以表示成圖5。s=0，1，…，7，8個符號分別表示圖像的八個塊。（此處將矩陣[A]按行和按列分別分成四塊，總共八塊，此處可以根據(jù)實際需求進行設(shè)計）

⑷ 根據(jù)混沌序列x（i）設(shè)置公式⑸的對應(yīng)變換參數(shù)。如選取256×256的lena灰度圖，則M=N=L=256，q=M/gcd（M，N），設(shè)n=1，l=1，

d=floor（（M-1）×x（2）/（q×256）），

g=x（4）+1+floor（x（5）×4/255）/4，

h=x（6）+1+floor（x（7）×4/255）/4，

r=x（9）+1+floor（x（10）×2/255）/2，

s=x（11）+1+floor（x（12）×2/255）/2，

t=x（13）+1+floor（x（14）×2/255）/2。

其中（x，y，z）是置亂前的像素值和坐標，（x'，y'，z'）是置亂后的像素值和坐標。

⑸ 對加密向量序列根據(jù)式（6）計算s的值，又根據(jù)si的值對相應(yīng)圖像塊加密。若s=0加密方塊A（1：m，：）;若s=5則加密方塊A（：，1：n），依此類推，塊加密T次。

⑹ 整個加密過程循環(huán)加密3次以上，得加密圖如圖6所示，可以看出密圖沒有任何原圖像輪廓信息。

s=mod（h，8）（i=1，2，…T） ?⑹

接收方收到密圖后，通過密鑰按加密的逆過程恢復(fù)原圖像即可。

4 算法分析

本文實驗采用標準測試灰度圖像Cameraman和lena作為仿真對象，圖像大小為256*256，實驗硬件設(shè)備為處理器Intel 1.0GHz，內(nèi)存為1G，軟件為Windows操作系統(tǒng)，Matlab仿真平臺。

4.1 密鑰空間分析

隨著信息技術(shù)的發(fā)展，密鑰空間要盡可能大。本算法中密鑰有：混沌參數(shù)x和μ、混沌序列參數(shù)x和μ、加密次數(shù)T。理論上來說Logistic序列的參數(shù)取值空間是趨于無限大的，但是計算機有有限個有效位數(shù)，所以假設(shè)有15位有效數(shù)，取加密塊次數(shù)T∈[8，263]，則密鑰空間為：

（0.43×10）×（10）×256≈1.5×10?⑺

假設(shè)嘗試一次破譯使用的時間數(shù)量級為秒，僅分析初值分量對密鑰空間的影響，窮舉破解所花費時間為1.5×10/3.15×10=4.8×10年。理論上講，這是一個非常大的密鑰空間，足以抵抗窮舉攻擊，所以保證了算法的安全性能。

4.2 像素相關(guān)性分析

對于圖像中水平、垂直和對角，兩兩相鄰像素之間，相關(guān)性系數(shù)r的計算公式如下：

用公式⑻⑼⑽檢驗相鄰的兩個像素的相關(guān)性，分別根據(jù)垂直、水平和對角線三個方向隨機選擇1000對相鄰的像素進行分析，求得原圖像的水平像素相關(guān)性為0.9335，垂直像素相關(guān)性為0.9748，對角像素相關(guān)性為0.9492，而加密后的相鄰像素相關(guān)性分別為0.0012655，0.0074865，0.0074865。分析結(jié)果說明，新的三維擬仿射變換在相鄰像素相關(guān)性方面效果較好。

4.3 非周期性分析

為了方便理解，現(xiàn)表示圖像如式⑾所示矩陣，矩陣的第一塊用[aaaa]表示，那么第五塊用[aaaa]'表示，其他塊依此類推。如式⑾所示，第一塊中的a同時也屬于第五塊，若加密其中的一塊，同樣會對其他塊產(chǎn)生加密效果，塊與塊之間具有重疊部分，加密過程中產(chǎn)生擴散、替換，使明密文的映射關(guān)系變復(fù)雜，破壞三維擬仿射變換的周期性。

同樣截取lena圖中大小為96*96的塊進行多次新的加密算法處理，過程如圖7所示。從圖中可以看出，無論加密多少次，加密過程中都沒有出現(xiàn)原圖像或者原圖像的輪廓，說明新算法的加密效果非常好，沒有變換周期性的問題。

4.4 抗統(tǒng)計分析

以直方圖和明文敏感性這兩種抗作統(tǒng)計分析。直方圖用來反映圖像的像素值分布情況。如圖8所示，新加密算法加密后得到均勻的灰度分布直方圖，這增強了加密圖像的安全性，使得攻擊者很難使用差分分析或者統(tǒng)計分析來獲取原圖像信息。

算法的運算速度是衡量算法性能的一個非常重要的方面。用lena圖，分別對文獻[3]中基于位運算的圖像加密算法、文獻[5]中三維擬仿射變換、文獻[6]中改進的三維擬仿射變換算法和本文算法進行比較，結(jié)果如表2所示。從實驗結(jié)果可知，文獻[3]中所提出的加密算法效率較低，文獻[5]提出的加密算法運行速度較快，但其存在加密周期性的安全問題，文獻[6]提出的改進算法運行效率較低。綜上所述，本文所提出的新三維擬仿射變換加密算法安全性好、速度較快，更適合實際的應(yīng)用。

5 結(jié)束語

文獻[5]所提出的三維擬仿射變換雖然運行速度很快，但是具有變換周期，在加密一定次數(shù)后會恢復(fù)原圖像。文獻[6]文昌辭等人提高了圖像加密的安全性，但運行效率較低。針對上述問題，本文提出一種新三維擬仿射變換圖像加密算法，新的算法基于混沌置亂。實驗分析表明，新三維擬仿射變換算法的密鑰敏感性非常好，密文圖像具有均勻的灰度直方圖，不存在三維擬仿射變換的周期性問題，明文敏感性佳，運行速度較快，因此該算法更適合實際應(yīng)用。

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