巨小鵬

(陜西省漢中市龍崗學(xué)校)

自《普通高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版2020年修訂)》(以下簡(jiǎn)稱(chēng):新課標(biāo))實(shí)施以來(lái)，對(duì)概率與統(tǒng)計(jì)這一部分內(nèi)容的考查變化很大，增刪調(diào)整了很多內(nèi)容，這也標(biāo)志著對(duì)概率與統(tǒng)計(jì)這一部分內(nèi)容的要求更加完善和明確.數(shù)學(xué)教學(xué)中的深度學(xué)習(xí)就是學(xué)生以主動(dòng)積極的情感，將思維特別是高階思維貫穿到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程的始終，他們不僅要關(guān)注知識(shí)技能“是什么”“怎樣用”，還要探究知識(shí)技能的來(lái)龍去脈.數(shù)學(xué)思想就是從高階思維角度闡述數(shù)學(xué)知識(shí)的規(guī)律和思維邏輯的本質(zhì)，將數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)提升到思想方法的層面，以達(dá)到深度復(fù)習(xí)的效果.

1 精準(zhǔn)領(lǐng)會(huì)新課標(biāo)要求

1.1 新、舊課標(biāo)區(qū)別分析

對(duì)于概率這一部分內(nèi)容，新課標(biāo)增加了“理解樣本點(diǎn)和有限樣本空間的含義”“理解概率的性質(zhì)，掌握隨機(jī)事件的運(yùn)算法則”，強(qiáng)調(diào)“了解隨機(jī)事件的并、交與互斥的含義，能結(jié)合實(shí)例進(jìn)行隨機(jī)事件的并、交計(jì)算”，增加了“結(jié)合有限樣本空間，了解兩個(gè)隨機(jī)事件獨(dú)立性的含義，結(jié)合古典概型，利用獨(dú)立性計(jì)算概率”.

對(duì)于統(tǒng)計(jì)這一部分內(nèi)容，新課標(biāo)增加了“普查和抽查、互聯(lián)網(wǎng)獲取數(shù)據(jù)的途徑”“了解總體、樣本、樣本量的概念，了解數(shù)據(jù)的隨機(jī)性”“會(huì)計(jì)算樣本均值和樣本方差，了解樣本與總體的關(guān)系”，新課標(biāo)對(duì)分層抽樣提出更加細(xì)致的要求，要求掌握各層樣本量比例分配的方法和分層隨機(jī)抽樣的樣本均值和樣本方差，比舊課標(biāo)提高了要求.新課標(biāo)刪除了系統(tǒng)抽樣的方法，增加了“能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)某闃臃椒ń鉀Q問(wèn)題”，進(jìn)一步凸顯數(shù)學(xué)知識(shí)在解決問(wèn)題中的作用.新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)“能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的特點(diǎn)，選擇恰當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)圖表”，強(qiáng)調(diào)了平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)均體現(xiàn)數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，提高了對(duì)眾數(shù)和中位數(shù)的要求，并要求學(xué)生理解集中趨勢(shì)參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義，強(qiáng)調(diào)了標(biāo)準(zhǔn)差、方差和極差體現(xiàn)數(shù)據(jù)離散趨勢(shì)，提高了對(duì)方差和極差的要求，并要求學(xué)生理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義，刪除了對(duì)“初步體會(huì)樣本頻率分布和數(shù)字特征的隨機(jī)性”的要求，刪除了對(duì)“形成對(duì)數(shù)據(jù)處理過(guò)程進(jìn)行初步評(píng)價(jià)的意識(shí)”的要求，增加了對(duì)“能用樣本估計(jì)百分位數(shù)，理解百分位的統(tǒng)計(jì)含義”，對(duì)樣本數(shù)據(jù)的分析提出了新的要求.

1.2 七了解、八理解、三會(huì)和五掌握

七了解:隨機(jī)事件的并、交與互斥的含義;兩個(gè)隨機(jī)事件獨(dú)立的含義;總體、樣本、樣本量的概念;數(shù)據(jù)的隨機(jī)性;簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的含義及其解決問(wèn)題的過(guò)程;樣本與總體的關(guān)系;分層隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)和適用范圍，分層隨機(jī)抽樣的必要性.

八理解:古典概型;概率的性質(zhì);集中趨勢(shì)參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義;離散程度參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義;百分位數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義;樣本點(diǎn)、有限樣本空間、隨機(jī)事件;樣本點(diǎn)和有限樣本空間的含義;隨機(jī)事件與樣本點(diǎn)的關(guān)系.

三會(huì):用頻率估計(jì)概率;計(jì)算樣本均值和樣本方差;計(jì)算古典概型中簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的概率.

五掌握:分層隨機(jī)抽樣的樣本均值和樣本方差;隨機(jī)事件概率的運(yùn)算法則;抽簽法;隨機(jī)數(shù)法;各層樣本量比例分配的方法.

重點(diǎn)提升數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

2 數(shù)學(xué)思想方法引領(lǐng)下的復(fù)習(xí)

2.1 數(shù)形結(jié)合，厘清基本概念

借助樹(shù)狀圖、表格或者坐標(biāo)系等工具進(jìn)行直觀(guān)表達(dá)，厘清基本概念和基本問(wèn)題，有利于分析、解決問(wèn)題.

例1(北師大版《必修3》)小明家的晚報(bào)在下午5:30～6:30之間的任何一個(gè)時(shí)間隨機(jī)地被送到，小明一家人在下午6:00～7:00之間的任何一個(gè)時(shí)間隨機(jī)地開(kāi)始晚餐，那么晚報(bào)在晚餐開(kāi)始之前被送到的概率是多少?

解析

設(shè)晚報(bào)被送到的時(shí)間為x時(shí)，晚餐開(kāi)始的時(shí)間為y時(shí)，則

如圖1所示，表示區(qū)域是邊長(zhǎng)為1的正方形，面積S＝1;事件:“晚報(bào)在晚餐之前被送到”即為x≤y，設(shè)事件A:“晚報(bào)在晚餐之前被送到”，表示區(qū)域?yàn)殛幱安糠?，面積

圖1

點(diǎn)評(píng)

解答本題的關(guān)鍵是能通過(guò)所給的條件準(zhǔn)確作出可行域.在利用幾何概型的概率公式求概率時(shí)，幾何“測(cè)度”可以是長(zhǎng)度、面積、體積、角度等，其中幾何度量為長(zhǎng)度、面積、體積時(shí)的等可能性主要體現(xiàn)在點(diǎn)落在區(qū)域Ω上的任何位置都是等可能的.

2.2 分類(lèi)討論，凸顯概率模型

例2(2021年全國(guó)甲卷理10)將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為( ).

解析

方法1將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，可利用插空法，4個(gè)1產(chǎn)生5個(gè)空，若2個(gè)0相鄰，有＝5種排法，若2個(gè)0不相鄰，有＝10種排法，故2個(gè)0不相鄰的概率為故選C.

方法24個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，共有種排法.2個(gè)0不相鄰，先將4個(gè)1全排列，再用插空法將2個(gè)0放入，共有＝10種排法，故2個(gè)0不相鄰的概率為.故選C.點(diǎn)評(píng)

計(jì)數(shù)原理問(wèn)題能體現(xiàn)分類(lèi)討論的思想，隨機(jī)事件中樣本點(diǎn)的計(jì)算和隨機(jī)變量取值下的概率計(jì)算也會(huì)用到分類(lèi)討論.

2.3 函數(shù)與方程，強(qiáng)化基礎(chǔ)

例3(2017年全國(guó)Ⅱ卷理13)一批產(chǎn)品的二等品率為0.02，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件數(shù)，則D(X)＝_________.

解析

由于是有放回的抽樣，所以X服從二項(xiàng)分布，即X～B(100，0.02)，則

點(diǎn)評(píng)

本題考查離散型隨機(jī)變量方差的求法、二項(xiàng)分布的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、函數(shù)與方程思想，比較基礎(chǔ).

2.4 化歸轉(zhuǎn)化，以舊攻新

例4(2017年全國(guó)Ⅰ卷文19)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線(xiàn)的生產(chǎn)過(guò)程，檢驗(yàn)員每隔30 min從該生產(chǎn)線(xiàn)上隨機(jī)抽取一個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸(單位:cm).表1是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)依次抽取的16個(gè)零件的尺寸.

表1

其中xi為抽取的第i個(gè)零件的尺寸，i＝1，2，…，16.

(1)求(xi，i)(i＝1，2，…，16)的相關(guān)系數(shù)r，并回答是否可以認(rèn)為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過(guò)程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小(若|r|＜0.25，則可以認(rèn)為零件的尺寸不隨生產(chǎn)過(guò)程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小).

(ⅰ)從這一天抽檢的結(jié)果看，是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查?

附:樣本(xi，yi)(i＝1，2，…，n)的相關(guān)系數(shù)

解析

(1)(xi，i)(i＝1，2，…，16)的相關(guān)系數(shù)為r＝

因?yàn)閨r|＜0.25，因此可以認(rèn)為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過(guò)程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小.

(2)(ⅰ)由于ˉx＝9.97，s≈0.212，由樣本數(shù)據(jù)可以看出抽取的第13個(gè)零件的尺寸在(ˉx－3s，ˉx＋3s)以外，因此需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查.

剔除第13個(gè)數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為

這條生產(chǎn)線(xiàn)當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值為0.09.

點(diǎn)評(píng)

解答創(chuàng)新題時(shí)，一要通過(guò)轉(zhuǎn)化，化“新”為“舊”;二要通過(guò)深入分析，多方聯(lián)想，以“舊”攻“新”;三要?jiǎng)?chuàng)造性地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，以“新”克“新”，應(yīng)特別關(guān)注創(chuàng)新題型的切入點(diǎn).

2.5 函數(shù)思想，攻堅(jiān)克難

例5(2021年新高考Ⅱ卷21)一種微生物群體可以經(jīng)過(guò)自身繁殖不斷生存下來(lái)，設(shè)一個(gè)這種微生物為第0代，經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第2代……該微生物每代繁殖的個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù)，P(X＝i)＝pi(i＝0，1，2，3).

(1)已知p0＝0.4，p1＝0.3，p2＝0.2，p3＝0.1，求E(X);

(2)設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過(guò)多代繁殖后臨近滅絕的概 率，p是 關(guān) 于x的 方 程p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一個(gè)最小正實(shí)根，求證:當(dāng)E(X)≤1時(shí)，p＝1，當(dāng)E(X)＞1時(shí)，p＜1;

(3)根據(jù)你的理解說(shuō)明(2)問(wèn)結(jié)論的實(shí)際含義.

解析

(1)E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1.

(2)證法1(函數(shù)零點(diǎn)法)

設(shè)f(x)＝p0＋p1x＋p2x2＋p3x3－x(x∈[0，1])，則f′(x)＝p1＋2p2x＋3p3x2－1.

當(dāng)μ＝E(X)≤1時(shí)，對(duì)于任意的x∈[0，1]都有f′(x)≤f′(1)＝μ－1≤0，則f(x)在[0，1]上單調(diào)遞減，又因?yàn)閒(1)＝p0＋p1＋p2＋p3－1＝0，所以f(x)在[0，1]上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，故p＝1.

當(dāng)μ＝E(X)＞1時(shí)，對(duì)于任意的x∈[0，1]都有f″(x)＝2p2＋6p3x≥2p2≥0，則f′(x)在[0，1]上單調(diào)遞增.因?yàn)閒′(0)＝p1－1＜0，且f′(1)＝μ－1＞0，所以f′(x)在[0，1]上有唯一零點(diǎn)λ∈[0，1)，當(dāng)x∈[0，λ]時(shí)，f′(x)≤0，則f(x)在[0，λ]上單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(λ，1]時(shí)，f′(x)＞0，則f(x)在[λ，1]上單調(diào)遞增，又因?yàn)閒(0)＝p0≥0，f(λ)＜f(1)＝0，所以f(x)在[0，1)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)p∈[0，λ]，故p＜1.

綜上所述，當(dāng)E(X)≤1時(shí)，p＝1;當(dāng)E(X)＞1時(shí)，p＜1.

證法2(因 式 分 解 法)p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x，由p0＋p1＋p2＋p3＝1，得

設(shè)f(x)＝p3x2＋(p2＋p3)x－p0，則f(x)的對(duì)稱(chēng)軸又f(0)＝－p0＜0，f(1)＝p1＋2p2＋3p3－1＝E(X)－1，所以當(dāng)E(X)≤1時(shí)，f(1)≤0，故f(x)的正實(shí)根大于或等于1，故原方程的最小正實(shí)根p＝1;當(dāng)E(X)＞1時(shí)，f(1)＞0，故f(x)的正實(shí)根小于1，故原方程的最小正實(shí)根p＜1.

(3)意義:每一個(gè)該種微生物繁殖后代的平均數(shù)不超過(guò)1，則若干代必然滅絕，若繁殖后代的平均數(shù)超過(guò)1，則若干代后被滅絕的概率小于1，該微生物會(huì)多代繁殖下去.

點(diǎn)評(píng)

表面看這屬于滅絕概率問(wèn)題，但經(jīng)過(guò)分析發(fā)現(xiàn)是三次函數(shù)問(wèn)題，不管是零點(diǎn)分析法，還是因式分解法，都是用函數(shù)思想進(jìn)行研究，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求得其最小值點(diǎn).

2.6 偶然與必然，呈現(xiàn)問(wèn)題規(guī)律

概率統(tǒng)計(jì)研究過(guò)程是在偶然中尋找必然，再用必然規(guī)律解決偶然問(wèn)題.主要是收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)和分析數(shù)據(jù)等處理數(shù)據(jù)的能力，從數(shù)據(jù)中提取信息，用信息說(shuō)明問(wèn)題、下結(jié)論或者分析結(jié)論，從而用數(shù)據(jù)說(shuō)話(huà).

例6(2021年新高考Ⅰ卷18)某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有A，B兩類(lèi)問(wèn)題.每位參加比賽的同學(xué)先在兩類(lèi)問(wèn)題中選擇一類(lèi)并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束;若回答正確則從另一類(lèi)問(wèn)題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，無(wú)論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類(lèi)問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得20分，否則得0分;B類(lèi)問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得80分，否則得0分.

己知小明能正確回答A類(lèi)問(wèn)題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類(lèi)問(wèn)題的概率為0.6，且能正確回答問(wèn)題的概率與回答次序無(wú)關(guān).

(1)若小明先回答A類(lèi)問(wèn)題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列;

(2)為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類(lèi)問(wèn)題?請(qǐng)說(shuō)明理由.

解析

(1)由題可知，X的所有可能取值為0，20，100，則

因此，X的分布列如表2所示.

表2

(2)由(1)知，E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4.若小明先回答B(yǎng)類(lèi)問(wèn)題，記Y為小明的累計(jì)得分，則Y的所有可能取值為0，80，100，有

所以E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6.因?yàn)?4.4＜57.6，所以小明應(yīng)選擇先回答B(yǎng)類(lèi)問(wèn)題.

點(diǎn)評(píng)

通過(guò)“分布”與“期望”兩個(gè)方面獲取隨機(jī)變量的規(guī)律，在偶然中尋找必然，在尋找規(guī)律的過(guò)程中，還要求樣本均值、樣本方差、相關(guān)系數(shù)等，比如，2021年全國(guó)甲卷理科第17題考查了2×2列聯(lián)表，要求根據(jù)數(shù)據(jù)求K2，以判斷甲、乙機(jī)床的質(zhì)量差異.