周 濤， 陳 菲

(洛陽師范學(xué)院物理與電子信息學(xué)院，河南 洛陽 471000)

0 引言

四旋翼飛行器具有起降靈活、性價(jià)比高等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于航拍、電力巡檢、地理建模、偵察監(jiān)控、氣象探測等場合。四旋翼飛行器屬于典型的多輸入多輸出、強(qiáng)耦合的欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)對(duì)其高精度控制的難度較大。目前，四旋翼飛行器的控制問題已成為一個(gè)研究熱點(diǎn)。文獻(xiàn)[1]針對(duì)模型不確定和外界干擾的情況，設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)滑?？刂破鳎谕猸h(huán)中完成軌跡跟蹤并生成期望的升力和姿態(tài)角，并將非線性自抗擾控制用于內(nèi)環(huán)中姿態(tài)角跟蹤;文獻(xiàn)[2]針對(duì)無人機(jī)實(shí)際飛行過程中，氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)不準(zhǔn)確和外界風(fēng)擾引起的氣動(dòng)參數(shù)時(shí)變問題，通過在線估計(jì)氣動(dòng)參數(shù)，設(shè)計(jì)了一種線性二次型調(diào)節(jié)器飛行控制方法對(duì)轉(zhuǎn)速進(jìn)行補(bǔ)償;文獻(xiàn)[3]采用反步滑模法設(shè)計(jì)了四旋翼飛行器軌跡跟蹤控制器;文獻(xiàn)[4]針對(duì)四旋翼無人機(jī)軌跡追蹤問題，提出了一種基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的魯棒滑?？刂品椒?文獻(xiàn)[5]針對(duì)具有未知外界擾動(dòng)和系統(tǒng)不確定性的四旋翼飛行器，提出了一種基于模糊不確定觀測器的自適應(yīng)動(dòng)態(tài)面軌跡跟蹤控制方法;文獻(xiàn)[6]針對(duì)四旋翼無人機(jī)姿態(tài)控制中非線性、強(qiáng)耦合以及對(duì)擾動(dòng)敏感等問題，設(shè)計(jì)了一種基于自抗擾的動(dòng)態(tài)面控制器;文獻(xiàn)[7]針對(duì)四旋翼盤旋系統(tǒng)的姿態(tài)控制問題，設(shè)計(jì)了3 種離散型非線性自抗擾控制器;文獻(xiàn)[8]將改進(jìn)的非線性自抗擾控制器應(yīng)用于四旋翼飛行器姿態(tài)控制;文獻(xiàn)[9]設(shè)計(jì)了四旋翼無人機(jī)的姿態(tài)角滑?？刂?文獻(xiàn)[10]利用全局快速終端滑?？刂苾?yōu)化自抗擾控制中非線性誤差反饋控制律的功能，設(shè)計(jì)了基于改進(jìn)自抗擾控制的四旋翼姿態(tài)控制系統(tǒng)。

速度控制可使每個(gè)飛行器跟蹤同一個(gè)期望速度，同時(shí)在編隊(duì)中彼此之間保持固定的距離，從而實(shí)現(xiàn)四旋翼飛行器的編隊(duì)協(xié)同控制。本文提出一種四旋翼飛行器速度的線性自抗擾控制方法。首先，分析了四旋翼飛行器的動(dòng)力學(xué)模型;然后，進(jìn)行四旋翼飛行器的速度環(huán)自抗擾控制設(shè)計(jì)，利用李雅普諾夫函數(shù)證明速度環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定;接著，分析虛擬姿態(tài)角度求解，進(jìn)行姿態(tài)角的控制律設(shè)計(jì)和二階線性自抗擾控制系統(tǒng)的有界輸入有界輸出(BIBO)穩(wěn)定性分析;最后，分別進(jìn)行四旋翼飛行器的速度自抗擾控制和PD控制的仿真實(shí)驗(yàn)，以對(duì)比和驗(yàn)證速度自抗擾控制方案的有效性。

1 四旋翼飛行器的動(dòng)力學(xué)模型和速度控制雙閉環(huán)系統(tǒng)

1.1 四旋翼飛行器的動(dòng)力學(xué)模型

根據(jù)拉格朗日方程，“十”字型結(jié)構(gòu)布置的四旋翼飛行器簡化動(dòng)力學(xué)模型為[11]

(1)

式中:機(jī)體坐標(biāo)系相對(duì)于慣性坐標(biāo)系的歐拉角向量和位置向量中，ω=[θψφ]T，為飛行器3個(gè)姿態(tài)的歐拉角向量，θ為俯仰角(Pitch)，ψ為偏航角(Yaw)，φ為滾轉(zhuǎn)角(Roll)，P=[xyz]T，為飛行器質(zhì)心在慣性坐標(biāo)系中的位置向量;l為每個(gè)旋翼中心到飛行器質(zhì)心的距離;m為四旋翼飛行器的負(fù)載總質(zhì)量;I1，I2和I3分別為圍繞每個(gè)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;K1，K2和K3分別為平移運(yùn)動(dòng)的阻力系數(shù);K4，K5和K6分別為旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的阻尼系數(shù)；u1為機(jī)體在z軸上的總升力；u2為俯仰角的轉(zhuǎn)矩控制量；u3為偏航角的轉(zhuǎn)矩控制量；u4為滾轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)矩控制量。

1.2 四旋翼飛行器速度控制雙閉環(huán)系統(tǒng)

四旋翼飛行器速度控制雙閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)見圖1。

圖1 四旋翼飛行器速度控制雙閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Dual closed-loop system structure diagram of quadrotor aircraft speed control

由圖1可知，速度子系統(tǒng)控制為外環(huán)，姿態(tài)角子系統(tǒng)控制為內(nèi)環(huán)，指令信號(hào)計(jì)算模塊產(chǎn)生線速度指令信號(hào)vd和滾轉(zhuǎn)角指令信號(hào)φd，速度子系統(tǒng)控制器為姿態(tài)角子系統(tǒng)控制器提供期望的俯仰角θd和偏航角ψd。通常采用內(nèi)環(huán)收斂速度大于外環(huán)收斂速度的方法來保證雙閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

2 四旋翼飛行器的速度環(huán)設(shè)計(jì)和穩(wěn)定性分析

2.1 速度環(huán)的設(shè)計(jì)

定義如下的虛擬控制律變量

(2)

則飛行器質(zhì)心相對(duì)于慣性坐標(biāo)系平移運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型為

(3)

由式(3)可知，四旋翼飛行器的平移線速度控制模型為一階系統(tǒng)。因此，飛行器z軸線速度的控制律u1z可采用一階線性自抗擾控制器。

2.2 一階線性自抗擾控制(LADRC)的設(shè)計(jì)

對(duì)于一階系統(tǒng)

(4)

式中:x0為系統(tǒng)的狀態(tài)變量;參數(shù)b0>0;f0(x0,t)為未知的系統(tǒng)總擾動(dòng)量，包含內(nèi)部擾動(dòng)和外部擾動(dòng),其有界;u0為系統(tǒng)實(shí)際控制輸入量;y0為系統(tǒng)輸出。

設(shè)計(jì)系統(tǒng)式(4)對(duì)應(yīng)的二階線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器(ESO)為

(5)

式中:l1>0;l2>0。

經(jīng)過參數(shù)化，要求觀測器的增益滿足

s2+l1s+l2=(s+ω0)2

(6)

適當(dāng)調(diào)整參數(shù)ω0，可使z10→y0=x0，z20→f0(x0,t)，即狀態(tài)z20可以準(zhǔn)確估計(jì)系統(tǒng)總擾動(dòng)量。

假設(shè)一階系統(tǒng)式(4)的設(shè)定輸入為信號(hào)r0，其有界。取系統(tǒng)式(4)的實(shí)際控制輸入量u0為

(7)

式中，u00取為

u00=kp 0(r0-z10)

(8)

式中，kp 0>0。取反饋控制律的增益為kp 0=ωc，ωc為控制器的帶寬。

2.3 四旋翼飛行器三軸速度環(huán)設(shè)計(jì)

(9)

飛行器質(zhì)心相對(duì)于慣性坐標(biāo)系x軸和y軸線速度的控制律u1x，u1y，均采用比例(P)加前饋控制形式，即

(10)

(11)

式中:η1>0;η2>0。

2.4 飛行器平移運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

定理1如果控制律u1z，u1x，u1y分別取式(9)、式(10)和式(11)時(shí)，則飛行器質(zhì)心相對(duì)于慣性坐標(biāo)系的平移運(yùn)動(dòng)閉環(huán)控制系統(tǒng)式(3)漸近穩(wěn)定。

證明如下。

將控制律u1x，u1y和u1z分別代入系統(tǒng)式(3)，可得

(12)

取李雅普諾夫函數(shù)為

(13)

則有

(14)

求解式(14)可得

V(t)=e-2ωctV(t0)

(15)

3 虛擬姿態(tài)角度求解

在式(2)中，假設(shè)滿足控制律式(9)～(11)的俯仰角和偏航角分別為θd和ψd。首先，需要計(jì)算兩個(gè)姿態(tài)角的給定值θd和ψd，然后，實(shí)現(xiàn)θ對(duì)θd的跟蹤，ψ對(duì)ψd的跟蹤。

由式(2)可得[11]

(16)

由式(16)可分別計(jì)算出ψd和θd。其中，偏航角的給定值ψd為

(17)

俯仰角的給定值θd為

(18)

因此，式(1)的控制律u1為

(19)

4 3個(gè)姿態(tài)角控制律設(shè)計(jì)和穩(wěn)定性分析

4.1 飛行器姿態(tài)角運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型

姿態(tài)角子系統(tǒng)控制目標(biāo)是：當(dāng)t→∞時(shí)，實(shí)現(xiàn)θ→θd，ψ→ψd和φ→φd。

由式(1)可知，飛行器姿態(tài)角的動(dòng)力學(xué)模型為

(20)

由式(20)可知，3個(gè)姿態(tài)角控制對(duì)象均為二階系統(tǒng)。因此，可用3個(gè)二階線性自抗擾控制器控制3個(gè)姿態(tài)角，控制量分別對(duì)應(yīng)于u2，u3和u4。

4.2 二階線性自抗擾控制的設(shè)計(jì)

4.2.1 三階線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的設(shè)計(jì)

對(duì)于二階系統(tǒng)

(21)

式中:x1,x2為系統(tǒng)的狀態(tài)變量;b1>0;f1(x1,x2,t)為系統(tǒng)未知的總擾動(dòng)量，可以是線性函數(shù)或者非線性函數(shù)，包括內(nèi)部擾動(dòng)和外部擾動(dòng)，其有界;u為系統(tǒng)實(shí)際控制輸入量;y1為系統(tǒng)輸出。

(22)

(23)

式中:z=[z1z2z3]T;L=[β1β2β3]T，β1>0，β2>0，β3>0。

經(jīng)過參數(shù)化，要求觀測器的增益滿足

s3+β1s2+β2s+β3=(s+ω01)3

(24)

適當(dāng)調(diào)整參數(shù)ω01，可使z1→x1，z2→x2，z3→f1(x1,x2,t)，即狀態(tài)z3可以準(zhǔn)確估計(jì)系統(tǒng)總擾動(dòng)量。

4.2.2 反饋控制律的設(shè)計(jì)

取二階系統(tǒng)式(22)的實(shí)際控制輸入量u為

(25)

式中，

u01=kp(r-z1)-kdz2

(26)

式中：r為二階系統(tǒng)的設(shè)定輸入信號(hào)，其有界；kp>0；kd>0。

經(jīng)參數(shù)化，要求反饋控制律的增益滿足

s2+kds+kp=(s+ωc1)2

(27)

4.3 二階LADRC閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

證明如下。

將式(25)和式(26)代入系統(tǒng)式(22)可得[12]

(28)

式(23)的LESO可改為

(29)

由式(28)和式(29)可得

(30)

式(30)中的特征值的算式為

(31)

式中，E為6×6的單位矩陣。

由式(31)可知，二階LADRC控制系統(tǒng)式(30)的特征值同時(shí)包含二階閉環(huán)系統(tǒng)式(28)的特征值和式(29)LESO的特征值，分別與矩陣(A+BH)和(A-LC)對(duì)應(yīng)。

由式(27)可知，二階控制系統(tǒng)式(21)的兩個(gè)閉環(huán)重極點(diǎn)在左半平面的-ωc1處。同時(shí)，LESO誤差系統(tǒng)的3個(gè)特征值全部在左半平面的-ω01處。因此，定理2的結(jié)論成立。證畢。

4.4 飛行器俯仰角二階LADRC設(shè)計(jì)

以飛行器俯仰角θ控制為例，分析其二階LADRC設(shè)計(jì)。由式(20)可得，俯仰角控制對(duì)象的動(dòng)力學(xué)模型為

(32)

由式(25)、式(26)和式(27)可知，控制量u2為

(33)

5 仿真實(shí)驗(yàn)

5.1 采用PD控制的系統(tǒng)仿真實(shí)驗(yàn)

圖2 3個(gè)方向線速度的跟蹤(PD)Fig.2 Linear speed tracking of three directions (PD)

圖3 3個(gè)姿態(tài)角的收斂過程(PD)Fig.3 Convergence of three attitude angles (PD)

圖2表明，約6 s后，飛行器x軸和y軸方向的線速度才能跟蹤上給定值；約2 s后，飛行器z軸方向的線速度能跟蹤上給定值。圖3表明，約6 s后，俯仰角θ和滾轉(zhuǎn)角φ收斂，跟蹤誤差變??；偏航角ψ收斂得較快。

5.2 采用LADRC控制的系統(tǒng)仿真實(shí)驗(yàn)

控制律u1z采用一階LADRC加前饋補(bǔ)償，參數(shù)為ω0=60，ωc=15；u2，u3和u4均采用二階LADRC，俯仰角、滾轉(zhuǎn)角跟蹤二階LADRC的參數(shù)均為ω01=55，ωc1=30；偏航角跟蹤二階LADRC的參數(shù)為ω01=100，ωc1=50?？刂坡蓇1x，u1y采用P加前饋控制，η1=η2=3.0。四旋翼飛行器3個(gè)方向線速度的跟蹤曲線如圖4所示，3個(gè)姿態(tài)角的收斂過程如圖5所示。

圖4 3個(gè)方向線速度的跟蹤(LADRC)Fig.4 Linear speed tracking of three directions (LADRC)

圖5 3個(gè)姿態(tài)角的收斂過程(LADRC)Fig.5 Convergence of three attitude angles (LADRC)

圖4表明，約1.5 s后，飛行器x軸和y軸方向的線速度能跟蹤上給定值，跟蹤誤差??；約0.3 s后，飛行器z軸方向的線速度跟蹤誤差很小。圖5表明，約0.4 s后，俯仰角θ和滾轉(zhuǎn)角φ收斂，跟蹤誤差很??；偏航角ψ收斂得較快。

6 結(jié)論

本文提出一種四旋翼飛行器速度的線性自抗擾控制方法。四旋翼飛行器相對(duì)于慣性坐標(biāo)系z軸線速度采用一階自抗擾控制加前饋補(bǔ)償，x軸和y軸線速度采用P加前饋控制，并證明了三軸速度環(huán)控制系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，3個(gè)方向姿態(tài)角跟蹤分別采用二階線性自抗擾控制。最后，仿真實(shí)驗(yàn)表明，與PD控制的系統(tǒng)相比，四旋翼飛行器的速度自抗擾控制系統(tǒng)3個(gè)方向的線速度跟蹤更快，無超調(diào)，跟蹤誤差小；3個(gè)姿態(tài)角的收斂速度更快，跟蹤誤差小。提出的四旋翼飛行器速度自抗擾控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡單、精度高，具有重要的工程應(yīng)用價(jià)值。